imported>Matsievsky: /* Связанные определения */

2024-10-20T00:42:43Z

Связанные определения

Новая страница

[[Файл:RtoC CoverMap.jpg|thumb|right|Пример накрытия: накрытие <math>\R\to S^1</math> окружности <math>S^1</math> спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел <math>\R</math>]]
'''Накрытие''' — непрерывное [[сюръекция|сюръективное]] отображение <math>p:X\to Y</math> [[Линейно связное пространство|линейно связного пространства]] <math>X</math> на линейно связное пространство <math>Y</math>, такое, что у любой точки <math>y \in Y </math> найдётся окрестность <math>U\subset Y</math>, полный прообраз которой <math>p^{-1}(U)</math> представляет собой объединение попарно непересекающихся [[область (математика)#О|областей]] <math>V_k\subset X</math>:

: <math>p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots</math>,

причём на каждой области <math>V_k</math> отображение <math>p:\,V_k\to U</math> является [[гомеоморфизм]]ом между <math>V_k</math> и <math>U</math>.

== Формальное определение ==
[[Файл:Covering space diagram.svg|thumb|250px|right]]
Отображение <math>p:X\to Y</math> [[линейно связное пространство|линейно связного пространства]] <math>X</math> на линейно связное пространство <math>Y</math> называется ''накрытием'', если у любой точки <math>y\in Y</math> имеется окрестность <math>U\subset Y</math>, для которой существует [[гомеоморфизм]] <math>h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma</math>, где <math>\Gamma</math> — [[дискретное пространство]], такое что если <math>\pi:U\times \Gamma\to U</math> обозначает естественную проекцию, то
: <math>p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h</math>.

== Связанные определения ==
* Пространство <math>Y</math> называется '''''базой накрытия''''', а <math>X</math> — '''''пространством накрытия''''' (или '''''накрывающим пространством''''').
* Прообраз <math>p^{-1}(y)</math> точки <math>y \in Y</math> называют '''''слоем''''' над точкой <math>y</math>.
* Число областей <math>V_k</math> в полном прообразе <math>p^{-1}(U)</math> называется '''''числом листов'''''.
** Если это число конечно и равно <math>n</math>, то накрытие называется '''''<math>n</math>-листным'''''.
* Накрытие <math>p\colon \tilde Y \to Y</math> называется [[Универсальное накрытие|универсальным]], если для любого другого накрытия <math>q\colon X\to Y</math> существует накрытие <math>s\colon \tilde Y \to X</math> такое, что <math>p=q\circ s</math>.

== Примеры ==
* Пусть <math>S^1</math> обозначает единичную окружность комплексной плоскости <math>S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}</math>.
** <math>p: {\mathbb R}\to S^1</math>, <math>p:x\mapsto e^{2\pi i x}</math>.
** <math>p:S^1\to S^1</math>, <math>p:z\mapsto z^k</math>, где <math>k\neq 0</math>, <math>k \in {\mathbb Z}</math>.

== Свойства ==
* Накрытия являются [[локальный гомеоморфизм|локальными гомеоморфизмами]]
* Накрытия являются частным случаем [[локально тривиальное расслоение|локально тривиальных расслоений]]. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
* Все двулистные накрытия регулярны.
* Универсальное накрытие регулярно.

== Связь с фундаментальной группой ==
Обычно накрытие рассматривается в предположении связности <math>X</math> и <math>Y</math> и также локальной односвязности <math>Y</math>.
При этих предположениях устанавливается связь между [[Фундаментальная группа|фундаментальными группами]] <math>\pi_1(X,x_0)</math> и <math>\pi_1(Y, y_0)</math>: если <math>p(x_0)=y_0</math>, то индуцированный гомоморфизм <math>p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0)</math>, отображает <math>\pi_1(X,x_0)</math> изоморфно на подгруппу в <math>\pi_1(Y, y_0)</math> и, меняя точку <math>x_0</math> в <math>p^{-1}(y_0)</math>, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы <math>H</math> (то есть <math>H</math> — [[нормальный делитель]]), то накрытие называется '''регулярным'''.
В этом случае возникает свободное действие группы <math>G=\pi_1 (Y, y_0)/H</math> на <math>X</math>, причём <math>p</math> оказывается факторотображением на пространство орбит <math>Y</math>.
Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым),
но это так для конечных групп.
Это действие порождается поднятием петель: если петле <math>q:[0,1] \to Y</math>, <math>q(0)=q(1)=y_0</math>, сопоставить единственный путь <math>\tilde q: [0,1]\to X</math>, для которого
<math>\tilde q(0) = x_0</math> и <math>p\tilde q=q</math>, то точка <math>\tilde q(1)</math> будет зависеть только от
класса этой петли в <math>G</math> и от точки <math>x_0</math>.
Таким образом, элементу из <math>G</math> отвечает перестановка точек в <math>p^{-1}(y_0)</math>.
Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки <math>y_0</math>.
Это определяет [[гомеоморфизм]] <math>X</math>, коммутирующий с <math>p</math>.

[[Файл:Hawaiian earrings.png|thumb|[[Гавайская серьга]] — пример пространства, не имеющего универсального накрытия]]
[[Файл:Неодносвязное универсальное накрытие.svg|thumb|Пространство неодносвязного универсального накрытия]]

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в <math>p^{-1}(y_0)</math>, то есть имеется действие <math>\pi_1(Y, y_0)</math> на <math>p^{-1}(y_0)</math>, называемое '''монодромией накрытия'''.
Частным случаем регулярного накрытия является '''универсальное накрытие''', для которого <math>G=\pi_1(Y, y_0)</math> или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе <math>H\subset \pi_1(Y, y_0)</math> однозначно строится накрытие <math>p:X\to Y</math>, для которого образ <math>\pi_1(X, x_0)</math> есть <math>H</math>.

Для любого отображения <math>f</math> линейно связного пространства <math>(Z, z_0)</math> в <math>(Y, y_0)</math>
поднятие его до отображения <math>\tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0)</math> существует тогда и только тогда, когда образ <math>f(\pi_1(Z, z_0))</math> лежит в <math>H</math>.
Между накрытиями <math>Y</math> имеется отношение [[частичный порядок|частичного порядка]] (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в <math>\pi_1(Y, y_0)</math>.
В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным
элементом.

== Литература ==
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.'' Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
* ''[[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]], Ефремович В. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm Наглядная топология]. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).

[[Категория:топология]]

Накрытие - История изменений

imported>Matsievsky: /* Связанные определения */