imported>Roxiffe-bot: правильное оформление ударений

2024-11-04T01:17:23Z

правильное оформление ударений

Новая страница

'''Наиме́ньшее о́бщее кра́тное''' (<math>\mathrm{HOK}</math>) двух [[целое число|целых чисел]] <math>m</math> и <math>n</math> есть наименьшее [[натуральное число]], которое делится на <math>m</math> и <math>n</math> без остатка, то есть [[Делимость#Связанные определения|кратно]] им обоим. Обозначается одним из следующих способов:
* <math>\mathrm{HOK}(m, n)</math>;
* <math>[m, n]</math>;
* <math>\mathrm{LCM}(m, n)</math> или <math>\mathrm{lcm}(m, n)</math>    (от {{lang-en|least common multiple}}).
Пример: <math>\mathrm{HOK}(16, 20) = 80</math>.

'''Наименьшее общее кратное''' для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений <math>\mathrm{HOK}</math> — приведение [[Дробь (математика)|дробей]] к общему [[Знаменатель дроби|знаменателю]].

== Свойства ==
* [[Коммутативность (математика)|Коммутативность]]: <math>\mathrm{lcm}(a, b) = \mathrm{lcm}(b, a)</math>.
* [[Ассоциативность (математика)|Ассоциативность]]: <math>\mathrm{lcm}(a, \mathrm{lcm}(b, c)) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a, b), c)</math>.
* Связь с [[Наибольший общий делитель|наибольшим общим делителем]] <math>\mathrm{gcd}(a,b)</math>:
*: <math>\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a \cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}.</math>
* В частности, если <math>a</math> и <math>b</math> — [[взаимно-простые числа]], то <math>\operatorname{lcm}(a, b) = a \cdot b.</math>
* <math>\operatorname{lcm}(a_1^n, a_2^n, ..., a_k^n) = (\operatorname{lcm}(a_1, a_2, ..., a_k))^n</math> при <math>n \geqslant 0 .</math>
* Наименьшее общее кратное двух целых чисел <math>m</math> и <math>n</math> является [[Делимость|делителем]] всех других [[Делимость#Связанные определения|общих кратных]] <math>m</math> и <math>n</math>. Более того, множество [[Делимость#Связанные определения|общих кратных]] <math>m</math>, <math>n</math> совпадает с множеством [[Делимость#Связанные определения|кратных]] для <math>\mathrm{HOK}(m, n)</math>.
* [[Асимптотика|Асимптотики]] для <math>\operatorname{lcm}(1, 2, \ldots, n)</math> могут быть выражены через некоторые [[Теория чисел|теоретико-числовые]] функции. Так:
** [[Функции Чебышёва|функция Чебышёва]] <math>\psi(x)=\ln \operatorname{lcm}(1, 2,\ldots, \lfloor x\rfloor) ;</math>
** <math>\operatorname{lcm} (1, 2, \ldots, n)\leqslant g\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\sim e^{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}\ln\frac{n(n+1)}{2}}} ,</math> что следует из определения и свойств [[Функция Ландау|функции Ландау]] <math>g(n)</math>;
** <math>\operatorname{lcm} (1, 2, \ldots, n)\sim e^{n+o(1)} ,</math> что следует из [[Теорема о распределении простых чисел|закона распределения простых чисел]].

== Нахождение НОК ==
<math>\mathrm{HOK}(a, b)</math> можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен [[наибольший общий делитель]], можно использовать его связь с <math>\mathrm{HOK}</math>:
:<math>\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}</math>

2. Пусть известно [[каноническое разложение]] обоих чисел на [[простое число|простые]] множители:
:: <math>a=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},</math>
:: <math>b=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},</math>
где <math>p_1,\dots,p_k</math> — различные простые числа, а <math>d_1,\dots,d_k</math> и <math>e_1,\dots,e_k</math> — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда <math>\mathrm{HOK}(a, b)</math> вычисляется по формуле:
:: <math>\operatorname{lcm}(a,b)=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.</math>
Другими словами, разложение <math>\mathrm{HOK}</math> содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел <math>a, b</math>, причём из показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример для бо́льшего количества чисел:
:<math>56\; \, \; \,= 2^3 \cdot 3^0 \cdot 7^1</math>
:<math>9\; \, \; \,= 2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^0</math>
:<math>21\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^1.</math>
:<math>\operatorname{lcm}(56,9,21) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504.</math>

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть также сведено к нескольким последовательным вычислениям <math>\mathrm{HOK}</math> от двух чисел:
* <math>\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c);</math>
* <math>\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n).</math>

== См. также ==
* [[Наибольший общий делитель]]

== Литература ==
* {{книга |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Основы теории чисел
|издательство=ГИТТЛ |место=М.-Л. |год=1952 |страниц=180
|ссылка=http://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu }}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|LeastCommonMultiple|Least Common Multiple}}

{{ВС}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Делимость и остатки]]

Наименьшее общее кратное - История изменений

imported>Roxiffe-bot: правильное оформление ударений