imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5) (Movses - 28729

2026-02-23T09:47:43Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5) (Movses - 28729

Новая страница

{{о|мощности континуума и континуальных множествах|общетопологическом понятии|Континуум (топология)}}
'''Мощность континуума''' — [[Мощность множества|мощность]] (или [[кардинальное число]]) множества всех [[Вещественное число|вещественных чисел]]<ref>''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]'' Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 11</ref>. Обозначается строчной [[C (латиница)|латинской буквой c]] во [[Фрактура|фрактурном]] начертании: <math>\mathfrak c</math>. ''Континуальное множество'' — множество мощности континуума<ref>{{Cite web |url=http://padaread.com/?book=37523&pg=41 |title=Математика справочник Куринной Г. Ч. |archive-date=2021-10-18 |access-date=2020-02-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211018131545/http://padaread.com/?book=37523&pg=41 |url-status=live }}</ref>. [[Континуум (топология)|Континуум]] в топологии — [[Связное пространство|связное]] [[Компактное пространство|компактное]] [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] [[топологическое пространство]] — равномощен множеству всех вещественных чисел; в связи с этим иногда континуумом называют всякое континуальное множество или же собственно мощность континуума.

Мощность континуума, как мощность [[булеан]]а [[Счётное множество|счётного множества]], является [[Бесконечность|бесконечной]] мощностью, превосходящей [[Счётная мощность|счётную]]. В теориях множеств с [[аксиома выбора|аксиомой выбора]], в том числе в [[ZFC]], континуум, как и любая бесконечная мощность, является [[Алеф (теория множеств)|алефом]], и, при обозначении [[Ординал|ординального номера]] континуума в ряду алефов буквой <math>\zeta</math> (<math>\mathfrak c=\aleph_\zeta</math>), выполняется <math>\zeta>0</math>, то есть <math>\aleph_0<\aleph_1\leqslant\aleph_\zeta=\mathfrak c</math>. Предположение, что не существует мощностей, промежуточных между счётной и континуумом, называется [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезой]]. В теории множеств с аксиомой выбора она формулируется, как <math>\mathfrak c = \aleph_1</math> или <math>\beth_1 = \aleph_1</math> или <math>\zeta=1</math>, где <math>\zeta</math> — ранее введённый номер континуума в ряду алефов. Обобщённая континуум-гипотеза формулируется, как <math>\beth_\xi=\aleph_\xi</math> для любого ординала <math>\xi</math>.

== Свойства ==
В ряду бесконечных булеанов <math>\beth_\xi</math><ref>Ряд бесконечных булеанов определяется, как <math>\beth_0=\aleph_0</math>; <math>\beth_{\xi+1}=\left|\operatorname{\mathcal P}\left(\beth_\xi\right)\right|</math>; <math>\beth_{\sup u}=\sup_{\xi\in u} \beth_\xi</math>.</ref> мощность континуума — <math>\mathfrak c=\beth_1</math>. Счётная [[декартова степень]] континуального множества имеет мощность континуума: <math>\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c</math>, и, следовательно, любая ненулевая [[Конечная мощность|конечная]] декартова степень континуума — также континуальна: <math>\mathfrak c^n=\mathfrak c</math>.

В теории множеств с аксиомой выбора мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых само не более чем континуально, не превосходит континуума, то есть <math>\aleph_{\zeta+1}=\mathfrak c^+</math> регулярен.

Мощность объединения не более чем счётного семейства не более чем счётных множеств не более чем счётна, то есть сечение<ref>Разбиение секомого [[Предпорядок|предпорядка]] на два дизъюнктных класса: верхний и нижний. Любой элемент, меньше либо равный какому-либо из нижнего, сам находится в нижнем, больше либо равный какому-либо из верхнего, сам находится в верхнем. Если какой-либо из классов пуст — сечение несобственное.</ref> класса мощностей (как [[Большой предикат|большого]]<ref>предполагается использование какого-либо способа разрешения формальных сложностей, связанных с большими объектами: теории с классами, погружение в универсальное множество и им подобные</ref> [[Частичный порядок|частичного порядка]]), нижний класс которого есть не более чем счётные мощности, непреодолимо «по [[Пифагор]]у»<ref>«Сам сказал: единица порождает существование, двоица — неопределённое множество.»</ref>, то есть в теории множеств с аксиомой выбора <math>\aleph_1</math> регулярен. Как следствие, континуум (как и <math>\aleph_1</math>) недостижим «по Пифагору» от не более чем счётных мощностей — не может быть получен объединением не более чем счётного числа не более чем счётных.

При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, в теории множеств с аксиомой выбора [[конфинальность]] континуума — несчётна.

== Примеры ==
Любой непрерывный отрезок вещественной прямой равномощен всему множеству вещественных чисел, поэтому мощность континуума имеют все точки вещественной прямой <math>(-\infty,+\infty)</math> (множество вещественных чисел <math>\R</math>). По свойству счётной степени континуума все точки плоскости <math>\R^2</math>, <math>n</math>‑мерного пространства <math>\R^n</math>, [[Гильбертово пространство|гильбертова пространства]] <math>\R^\infty</math> — континуумы. Континуальны множество всех [[Иррациональное число|иррациональных]] чисел, множество всех [[Трансцендентное число|трансцендентных]] чисел.

[[Булеан|Множество всех подмножеств]] счётного множества имеет мощность континуума; континуально множество всех частичных порядков на счётном множестве. Множества всех [[Счётное множество|счётных множеств]] [[Натуральное число|натуральных]] чисел и [[Вещественное число|вещественных]] — континуальны.

Множество всех [[Непрерывная функция|непрерывных функций]] <math>\R \to \R</math> континуально; при этом множество всех возможных функций из <math>\R</math> в <math>\R</math> имеет мощность <math>2^\mathfrak c</math>.

Множества всех [[Открытое множество|открытых]], всех [[Замкнутое множество|замкнутых]], всех [[Борелевское множество|борелевских]] подмножеств евклидова пространства обладают мощностью континуума.

[[Канторово множество]] — исторически первый пример [[дисконтинуум]]а — континуально.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]]|заглавие=Введение в теорию множеств и общую топологию|место=М.|издательство=ГИИТЛ|год=1948}}

[[Категория:Мощность множеств]]
[[Категория:Бесконечность]]
__NOTOC__

Мощность континуума - История изменений

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5) (Movses - 28729