imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 85.91.216.248 - R:5B ORES: 0.8864

2025-12-18T21:35:06Z

автоматическая отмена правки участника 85.91.216.248 - R:5B ORES: 0.8864

Новая страница

{{дзт|Момент}}
{{дзт|Сила}}
{{Физическая величина
| Название = Момент силы
| Символ = <math>\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]</math>
| Размерность = L2MT−2
| СИ = [[Ньютон-метр|Н·м]]
| СГС = [[Дина (единица измерения)|Дина]]-[[сантиметр]]
| Примечания = [[Аксиальный вектор|Псевдовектор]]
}}
'''Моме́нт си́лы''' ('''момент силы относительно точки''') — [[Вектор (математика)|векторная]] [[физическая величина]], характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как [[векторное произведение]] [[радиус-вектор]]а точки приложения силы <math>\vec{r}</math> и вектора [[Сила (физическая величина)|силы]] <math>\vec{F}</math>. [[Момент (физика)|Моменты]] сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: '''кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент'''.

Момент силы обозначается символом <math>\vec{M}</math> или, реже, <math>\vec{\tau}</math> (тау).

Единица измерения в [[Международная система единиц|СИ]]: [[Ньютон-метр|Н⋅м]]. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач [[Статика|статики]] и задач, связанных с [[Вращательное движение|вращением]] деталей ([[рычаг]]ов и др.) в [[Техническая механика|технической механике]]. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось <math>M_{\parallel}</math>; такая проекция называется '''моментом силы относительно оси'''.

Наличие момента силы влечёт изменение [[момент импульса|момента импульса]] тела <math>\vec{L}</math> относительно того же начала O со временем <math>t</math>: имеет место соотношение <math>\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}</math>. В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

== Определение, общие сведения ==
В [[физика|физике]] момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

[[Файл:Вращающий момент.webm|thumb|Видеоурок: вращающий момент|192x192px]]
В простейшем случае, если сила <math>\vec{F}</math> приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины <math>F</math> на расстояние <math>x</math> от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:
: <math> M = Fx </math>.
Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам [[Архимед]]а). При этом равновесие достигается в ситуации <math>F_1x_1 = F_2x_2</math>.

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения <math>Fx</math> требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в [[Сопротивление материалов|сопромате]]).

=== Момент силы относительно точки ===
[[Файл:Гаечный ключ.jpg|thumb|right|Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя, перпендикулярно плоскости чертежа.]]
В общем случае момент силы <math>\vec{F}</math>, приложенной к телу, определяется как [[векторное произведение]]
: <math>\vec M = \left[\vec r\times\vec F\right]</math>,
где <math>\vec{r}</math> — [[радиус-вектор]] точки приложения силы. Вектор <math>\vec{M}</math> перпендикулярен векторам <math>\vec{r}</math> и <math>\vec{F}</math>.

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется [[момент импульса]] тела <math>\vec{L}</math>, то начало O всегда выбирается одинаковым для <math>\vec{L}</math> и <math>\vec{M}</math>.

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:
: <math>\vec M = \sum_i\left[\vec{r}_i\times\vec{F}_i\right]</math>,
где <math>\vec{r}_i</math> — радиус-вектор точки приложения <math>i</math>-й силы <math>\vec{F}_i</math>. В случае силы, распределённой с плотностью <math>d\vec{F}/dV</math>,
: <math>\vec M = \int\limits_V\left[\vec{r}\times\frac{d\vec{F}}{dV}\right]dV</math>.
Если <math>d\vec{F}/dV</math> (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

=== Момент силы относительно оси ===
Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента <math>\vec{M}</math> на ось, то есть
: <math>M_{\parallel} = \vec{M}\cdot \vec{e}_o</math>,
где <math>\vec{e}_o</math> — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как
: <math>M_{\parallel} = \pm\left|\vec{r}_{\perp}\times\vec{F}_{\perp}\right|</math>,
где через <math>\vec{r}_{\perp}</math> и <math>\vec{F}_{\perp}</math> обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы <math>\vec{M}</math>, величина момента силы относительно оси <math>M_{\parallel}</math> не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а <math>M_{\parallel}</math> (как и <math>\vec{M}</math>) именоваться «моментом силы».

=== Единицы измерения ===
Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения [[ньютон-метр]] в системе [[СИ]]. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность <math>\vec{M}</math> (Н·м) совпадает с размерностями [[Энергия|энергии]] и [[механическая работа|механической работы]].

== Некоторые примеры ==

=== Формула момента рычага ===
[[Файл:Moment arm-ru.svg|thumb|Момент, действующий на рычаг]]
Момент силы, действующей на рычаг, равен
: <math>\vec{M} = r F \sin\alpha\cdot\vec{e}_o</math>
или, если записать момент силы относительно оси,
: <math>M_{\parallel} = r F\sin\alpha</math>,
где <math>\alpha</math> — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно <math>r\sin\alpha</math>. Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при <math>\alpha = \pi/2 </math>. При сонаправленности <math>\vec{F}</math> и рычага момент равен нулю.

=== Статическое равновесие ===
Чтобы покоившийся объект сохранил состояние [[Механическое равновесие|механического равновесия]] после приложения к нему сил, наряду с равенством нулю суммы этих сил, должна быть нулевой сумма моментов сил (правило моментов):

: <math>\sum_i \vec{M}_i = \sum_i \left[\vec{r}_i\times\vec{F}_i\right] = 0</math>,

где <math>\vec{r}_i</math> — радиус-вектор места приложения силы <math>\vec{F}_i</math>. Если <math>\sum \vec{F}_i = 0</math>, то выбор начала отсчёта <math>\vec{r}_i</math> не принципиален.

В двумерном случае, когда тело плоское и силы действуют в его плоскости (скажем, <math>xy</math>), правило моментов превращается в условие на компоненту момента в третьем измерении <math>\sum M_{i z} = 0</math>.

Вариант правила для случая тела, «насаженного» на закреплённую ось: вращение отсутствует при нулевой сумме моментов <math>M_{\parallel i}</math> относительно этой оси:

: <math>\sum_i M_{\parallel i} = \left|\sum_i \left[\vec{r}_{i \perp}\times\vec{F}_{i \perp}\right]\right| = 0</math>,

то есть если суммы моментов сил, стремящихся повернуть рассматриваемое тело по и против часовой стрелки, равны.

=== Движение твёрдого тела ===
Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение [[момент инерции|момента инерции]] и [[угловая скорость|угловой скорости]] относительно центра масс и линейного движения центра масс.
: <math>\vec{L}_o = I_c\,\vec\omega + [M(\vec{r}_o - \vec{r}_c), \vec{v}_c]</math>.

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе [[Теорема Кёнига (механика)|координат Кёнига]], так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если <math>I</math> — постоянная величина во времени, то
: <math>\vec M = I\frac{d\vec\omega}{dt} = I\vec\alpha,</math>
где <math>\vec\alpha</math> — [[угловое ускорение]], измеряемое в [[радиан]]ах в [[секунда|секунду]] за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

: <math>\vec{M_c} = I_c\frac{d\vec\omega}{dt} + [\vec w, I_c\vec w].</math>

== Связь с другими величинами ==

=== С моментом импульса ===
[[Файл:Torque animation (20 fps interpolated).gif|thumb|right|Зависимости между [[сила|силой]] {{math|''F''}}, моментом силы {{math|τ}} ({{math|''M''}}), [[импульс]]ом {{math|''p''}} и [[момент импульса|моментом импульса]] {{math|''L''}} в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные [[Гравитация|тяжестью]] и [[трение]]м, не учитываются).]]
Момент силы — [[производная функции|производная]] [[момент импульса|момента импульса]] <math>\vec L = \vec{r}\times\vec{p}</math> относительно точки O по времени:
: <math>\vec M = \frac{d\vec L}{dt}</math>,
Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:
: <math>M_{\parallel} = \frac{dL_{\parallel}}{dt}</math>.
Если момент силы <math>\vec{M}</math> или <math>M_{\parallel}</math> равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси [[Закон сохранения момента импульса|сохраняется]].

=== С мощностью ===
Если [[сила]] совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает [[механическая работа|механическую работу]] и развивает [[мощность]] <math>\vec{F}\cdot\vec{v}</math> (где <math>\vec{v}</math> — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность
: <math>P = \vec M \cdot \vec\omega</math>.
В системе [[СИ]] мощность <math>P</math> измеряется в [[ватт]]ах, угловая скорость <math>\vec{\omega}</math> — в [[Угловая скорость|радианах в секунду]].

=== С механической работой ===
Если под действием момента силы <math>\vec{M}</math> происходит поворот тела на угол <math>d\varphi</math>, то совершается механическая работа
: <math>dA = \left|\vec{M}\right|d\varphi</math>.
Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол <math>\varphi_2-\varphi_1</math> получим
: <math>A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left|\vec M\right| d\varphi = \left|\vec M\right| (\varphi_2-\varphi_1) = \left|\vec M\right|\int_{t_1}^{t_2} \omega(t)dt</math>.
В системе [[СИ]] работа <math>A</math> измеряется в [[Джоуль|джоулях]], угол — в [[радиан]]ах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и [[джоуль]] — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию <math>2\pi</math> джоуля.

== Измерение момента силы ==
Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — [[торсиометр]]ов. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении [[Деформация|деформации]] некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — [[Тензометрический датчик|тензометрическими]], [[Магнитоупругие датчики|магнитоупругими]], а также измерителями малых перемещений — оптическими, [[Ёмкостный датчик|ёмкостными]], [[Индуктивный датчик|индуктивными]], [[ультразвук]]овыми, механическими.

Существуют специальные [[Динамометрический ключ|динамометрические ключи]] для измерения крутящего момента затягивания [[Резьбовое соединение|резьбовых соединений]] и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в [[Гаечный ключ|гаечных ключах]], [[шуруповёрт]]ах, винтовых [[микрометр (измерительный прибор)|микрометрах]] и др.

== Из истории понятия ==
Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы <math>\vec F</math> на рычаг <math>\vec r</math>, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок <math>dl</math>, которому соответствует бесконечно малый угол <math>d\varphi</math>. Обозначим через <math>d\vec{l}</math> вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка <math>dl</math> и равен ему по модулю. Угол между векторами <math>\vec F</math> и <math>d\vec{l}</math> равен <math>\beta</math>, а угол между векторами <math>\vec r</math> и <math>\vec F</math> равен <math>\alpha</math>.

Следовательно, бесконечно малая работа <math>dA</math>, совершаемая силой <math>\vec F</math> на бесконечно малом участке <math>dl</math>, равна скалярному произведению вектора <math>d\vec{l}</math> и вектора силы, то есть <math>dA = \vec F \cdot d\vec{l}</math>.

Теперь попытаемся выразить модуль вектора <math>d\vec{l}</math> через радиус-вектор <math>\vec r</math>, а проекцию вектора силы <math>\vec F</math> на вектор <math>d\vec{l}</math> — через угол <math>\alpha </math>.

Так как для бесконечно малого перемещения рычага <math>dl</math> можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу <math>\vec r</math>, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: <math>dl = r \mathrm{tg}\,d\varphi</math>, где в случае [[Приближение малых углов|малого угла]] справедливо <math>\mathrm{tg}\,d\varphi = d\varphi</math> и, следовательно, <math>\left|d\vec{l}\right| = \left|\vec r\right| d\varphi</math>.

Для проекции вектора силы <math>\vec F</math> на вектор <math>d\vec{l}</math> видно, что угол <math>\beta =\frac{\pi}{2} - \alpha</math>, а так как <math>\cos{\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)} = \sin\alpha</math>, получаем, что <math>\left|\vec F\right|\cos\beta = \left|\vec F\right|\sin\alpha</math>.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: <math>dA = \left|\vec r\right|d\varphi\left|\vec F\right|\sin\alpha</math>, или <math>dA = \left|\vec r\right|\left|\vec F\right|\sin\alpha\, d\varphi</math>.

Видно, что произведение <math>\left|\vec r\right|\left|\vec F\right|\sin\alpha</math> есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов <math>\vec r</math> и <math>\vec F</math>, то есть <math>\left|\vec r\times\vec F\right|</math>, которое и было принято обозначить за момент силы <math>M</math>, или модуль вектора момента силы <math>\left|\vec M\right|</math>.

Теперь полная работа записывается просто: <math>A = \int\limits_0^\varphi \left|\vec r\times\vec F\right| d\varphi</math>, или <math>A = \int\limits_0^\varphi \left|\vec M\right| d\varphi</math>.

== См. также ==
* [[Момент инерции]]
* [[Момент импульса]]
* [[Теорема Вариньона (механика)|Теорема Вариньона]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{нет источников|дата=2014-11-30}}

[[Категория:Сила]]
[[Категория:Векторные величины]]
[[Категория:Теоретическая механика]]

Момент силы - История изменений

imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 85.91.216.248 - R:5B ORES: 0.8864