imported>QBA-bot: Защитил страницу Момент импульса: повторяющиеся неконсенсусные правки ([Редактирование=только автоподтверждённые] (истекает 11:04, 1 декабря 2025 (UTC)) [Переименование=только автоподтверждённые] (истекает 11:04, 1 декабря 2025 (UTC)))

2025-11-24T11:04:37Z

Защитил страницу Момент импульса: повторяющиеся неконсенсусные правки ([Редактирование=только автоподтверждённые] (истекает 11:04, 1 декабря 2025 (UTC)) [Переименование=только автоподтверждённые] (истекает 11:04, 1 декабря 2025 (UTC)))

Новая страница

{{Другие значения термина|Момент}}
{{Физическая величина
| Название = Момент импульса
| Символ = <math>\vec L = \vec r \times \vec p\,</math>
| Размерность = L2MT−1
| СИ = [[метр|м]]2·[[кг]]/[[секунда|с]]
| СГС = [[сантиметр|см]]2·[[грамм|г]]/[[секунда|с]]
| Примечания = [[псевдовектор]]
}}
'''Моме́нт и́мпульса''' ('''момент импульса относительно точки''', также: '''кинетический момент''', '''угловой момент''', '''орбитальный момент''', '''момент количества движения''') — [[векторная величина|векторная физическая величина]], характеризующая количество [[Вращательное движение|вращательного движения]] и зависящая от того, сколько [[Масса|массы]] вращается, как она распределена в пространстве и с какой [[Угловая скорость|угловой скоростью]] происходит вращение<ref>{{cite web|date=2013-03|title=Spin|first=Jim|last=Pivarski|work=Symmetry Magazine|url=http://www.symmetrymagazine.org/article/march-2013/spin|access-date=2014-04-28|archive-date=2014-04-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20140415120820/http://www.symmetrymagazine.org/article/march-2013/spin|url-status=live}}</ref>.

Для одной материальной точки ''момент импульса'' равен векторному произведению [[радиус-вектор|радиус-вектора]] точки на её [[импульс (механика)|импульс]], для системы точек — сумме таких произведений. Стандартное обозначение: <math>\mathbf{L}</math>, единица измерения в [[Международная система единиц|СИ]]: м2кг/с. Величина <math>\mathbf{L}</math> зависит от выбора положения начала отсчёта радиус-векторов O.

''Момент импульса'' [[Замкнутая система (механика)|замкнутой системы]] [[Закон сохранения момента импульса|сохраняется]]. Он является одним из трёх [[Аддитивность (математика)|аддитивных]] ([[энергия]], [[импульс]], ''момент импульса'') [[интегралы движения|интегралов движения]]. При наличии внешних сил [[Производная функции|производная]] ''момента импульса'' по времени равна моменту сил (относительно того же начала O).

Понятие ''момента импульса'' преимущественно используется в задачах, связанных с реальным [[Вращательное движение|вращением]] (особенно при наличии центральной или осевой симметрии; тогда О обычно выбирается в центре или на оси). Но величина <math>\mathbf{L}</math> может быть вычислена и в других ситуациях, например для прямолинейного движения частицы мимо произвольной точки O, не лежащей на линии движения и условно принимаемой за центр. Несмотря на некоторую созвучность с названиями других видов моментов — скажем, [[момент силы|момента силы]] или [[момент инерции|момента инерции]] — момент импульса отличается от них и по смыслу, и по размерности.

В случае вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси часто используется не сам ''момент импульса'', а его проекция <math>L_{\parallel}</math> на эту ось — такая величина называется '''моментом импульса относительно оси'''.

== История определения ==
Составной термин ''момент импульса'' является общепринятым и корректным, несмотря на кажущуюся его избыточность и тавтологичность (в основе обоих физических терминов [[Момент (физика)|момент]] и [[импульс]] лежит понятие [[Механическое движение|движения]]). Если ''импульс'' задаёт [[поступательное движение]], то ''момент импульса'' связывается уже с вращательным движением («движением движения» именно в этом смысле). Таким образом, благодаря данному термину от линейного движения (''импульс''а) отличается его вращательное подобие.

Понятие ''момента импульса'' было изначально введено в классической механике, но имеет обобщения в квантовой механике и электродинамике.

== Момент импульса в классической механике ==
[[Файл:Torque animation.gif|frame|right|Связь между силой F, моментом силы τ, импульсом <math>\scriptstyle{\mathbf p}</math> и моментом импульса <math>\scriptstyle{\mathbf L}</math>]]

=== Определение. Вычисление ===
Момент импульса <math>\mathbf L</math> материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется [[Векторное произведение|векторным произведением]] её [[радиус-вектор]]а и [[импульс]]а:
: <math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times m\mathbf{v}</math>,
где <math>\mathbf r</math> — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного начала отсчёта, <math>\mathbf{p} = m\mathbf{v}</math> — импульс частицы, <math>\mathbf{v}</math> — её [[скорость]], <math>m</math> — [[масса]].

Так как момент импульса задаётся [[Векторное произведение|векторным произведением]], он является [[псевдовектор]]ом, перпендикулярным обоим векторам <math>\mathbf r</math> и <math>\mathbf p</math>.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких материальных точек, рассчитывается как
: <math>\mathbf{L} = \sum\limits_i \mathbf{L}_i =\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i </math>.
Здесь индекс <math>i</math> нумерует точки.

Момент импульса можно вычислить относительно любого начала отсчета O (получающиеся при этом разные значения <math>\mathbf{L}</math> связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определённости) его вычисляют относительно центра масс, закреплённой точки вращения твердого тела или другой чем-то выделенной точки.

Выбор точки O иногда связан с характером задачи. Так, при рассмотрении орбитального движения планеты вокруг Солнца за начало отсчёта естественно взять Солнце, а при анализе её же собственного вращения — центр этой планеты. Естественно, получатся два разных момента импульса: <math>\mathbf{L}_{\mathrm{orbit}}</math> и <math> \mathbf{L}_{\mathrm{spin}}</math>.

Чтобы рассчитать момент импульса [[тело (физика)|тела]], его надо мысленно разбить на бесконечно малые кусочки <math>dm = \rho(\mathbf{r})dV</math> (<math>\rho</math> — плотность) и просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять [[Интеграл Римана — Стилтьеса|интеграл]]:
: <math>\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf{dL}} = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \, dm} = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \, \rho dV}</math>.

На практике <math>\rho</math> задаётся как функция трёх координат и необходимо выполнение тройного интегрирования:
: <math>\mathbf L = \iiint{(x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k) \times \mathbf v \, \rho(x, y, z)\,dx\,dy\,dz}</math>.
Если считать, что <math>\rho(x,y,z)</math> — [[обобщённая функция]], включающая, возможно, и [[дельта-функция|дельтообразные]] члены, то эта формула применима и к распределённым, и к дискретным системам.

=== Случай фиксированной оси ===
Важным случаем использования понятия «момент импульса» является движение вокруг неизменной оси. В такой ситуации часто рассматривают не сам момент импульса (псевдовектор), а его [[Проекция (геометрия)|проекцию]] на [[ось вращения|ось]] как [[псевдоскаляр]], знак которого зависит от направления вращения:
: <math>L_{\parallel} = \pm|\mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p_{\perp}}|</math>.
Параллельность-перпендикулярность (<math>\parallel</math>, <math>\perp</math>) имеются в виду по отношению к оси; <math>\mathbf{r} = \mathbf{r_{\perp}} + \mathbf{r_{\parallel}}</math>, <math>\mathbf{p} = \mathbf{p_{\perp}} + \mathbf{p_{\parallel}}</math>. При этом <math>r_{\perp}</math> — расстояние от оси до материальной точки, называемое «плечом». Величина указанной проекции, в отличие от самого момента, не меняется при сдвиге начала отсчёта O на оси. Для распределённой системы
: <math>L_{\parallel} = \pm\left|\int{\mathbf{r_{\perp}} \times \mathbf{v_{\perp}}\,\rho dV}\right|</math>.
Если при этом все точки тела движутся по окружностям (вращаются) с одинаковой угловой скоростью <math>\omega</math>, то есть численно <math>v = \omega r_{\perp}</math>, то для материальной точки массой <math>m</math> или для системы будет, соответственно,
: <math>L_{\parallel} = \pm\omega mr_{\perp}^2\quad</math> или <math>\quad L_{\parallel} = \pm \omega\int{r_{\perp}^2\,\rho dV}</math>.
Величину <math>L_{\parallel}</math> иногда называют моментом импульса относительно оси. Символ параллельности у <math>L</math> и знак перед выражением могут опускаться, если очевидно, о чём идёт речь.

Для абсолютно твёрдого тела, величина последнего интеграла называется [[момент инерции|моментом инерции]] относительно оси вращения и обозначается <math>I</math>. Тогда запись обретает вид <math>\,L_{\parallel}= \pm I\omega\,</math> или, в векторной форме, <math>\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega}</math>. Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, а вращение происходит вокруг другой, но параллельной ей оси, то необходимый момент инерции находится по [[Теорема Штейнера|теореме Штайнера]].

=== Сохранение момента импульса ===
[[Закон сохранения момента импульса]]: суммарный момент импульса относительно любой неподвижной точки для [[Замкнутая система (механика)|замкнутой системы]] остается постоянным со временем.

[[Производная функции|Производная]] момента импульса по времени есть [[момент силы]]:
: <math>\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_i\frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \times \mathbf{p}_i + \sum_i\mathbf{r}_i \times \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \sum_i\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i = \mathbf{\tau_{ext}} </math>,
Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного по всем частицам <math>i</math>) момента внешних сил:
: <math>\mathbf{L} = \mathrm{const} \leftrightarrow \mathbf{\tau_{ext}} = 0</math>,
где <math>\mathbf{\tau_{ext}}</math> — момент сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется.) Аналогичный закон сохранения справедлив для момента импульса относительно фиксированной оси.

По [[теорема Нётер|теореме Нётер]] закон сохранения момента импульса следует из [[Изотропия|изотропии]] пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол <math>\delta \varphi</math>, радиус-вектор частицы с номером <math>i</math> изменятся на <math>\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i</math>, а скорости — <math>\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i</math>. [[Лагранжиан|Функция Лагранжа]] <math>\mathcal L</math> системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

: <math>\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0. </math>

С учётом <math>\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}</math>, где <math>\mathbf p_i</math> — импульс <math>i</math>-й частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

: <math>\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.</math>

Теперь, пользуясь свойством [[смешанное произведение|смешанного произведения]], совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

: <math>\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0, </math>

где <math>\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i</math> — момент импульса системы. Ввиду произвольности <math>\delta \varphi</math>, из равенства <math>\delta \mathcal L = 0</math> следует <math>\frac{d \mathbf L}{dt} = 0.</math>

=== Смежные понятия ===
При рассмотрении задач, связанных с вращением, фигурируют понятия, частично упоминавшиеся выше:
* '''момент импульса относительно оси''' (термин состоит из четырёх слов) — проекция момента импульса на ось;
* [[Момент инерции|момент инерции твёрдого тела]] (см. также [[Список моментов инерции|моменты инерции некоторых тел]]);
* [[момент силы]] (он же: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент);
* '''импульс момента силы''' <math>\int\limits_{t_1}^{t_2} \mathbf{r} \times \mathbf{F}(t) \;dt</math> (единица измерения — [[Ньютон (единица измерения)|Н]]·[[метр|м]]·[[секунда|с]]) — мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во [[Вращательное движение|вращательном движении]]).
Несмотря на созвучность с «моментом импульса», эти понятия не синонимичны термину «момент импульса» и несут самостоятельный смысл.

== Момент импульса в электродинамике ==
При описании движения заряженной частицы в [[электромагнитное поле|электромагнитном поле]] наряду с обычным (реальным, «кинетическим») импульсом широко используется [[канонический импульс]] <math>\mathbf{P}</math>. Последний не является [[Калибровочная инвариантность|инвариантным]], и поэтому канонический момент импульса <math>\mathbf{r} \times \mathbf{P} </math> также не инвариантен. Обычный и канонический импульсы в системе [[Международная система единиц|СИ]] связаны как

: <math>\mathbf{p} = \mathbf{P} - q \mathbf{A} </math>,

где <math>q</math> — [[электрический заряд]], <math>\mathbf{A}</math> — [[векторный потенциал]]. [[Функция Гамильтона|Гамильтониан]] (инвариантный) заряженной частицы массой <math>m</math> в электромагнитном поле можно выразить через канонический импульс:

: <math> H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{P} - q \mathbf{A}\right)^2 + q\varphi</math>,

где <math>\varphi</math> — [[скалярный потенциал]] (из такого вида потенциала следует [[закон Лоренца]]). Момент реального импульса, он же инвариантный момент импульса, или «кинетический момент импульса», определяется как

: <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \left( \mathbf{P} - q \mathbf{A} \right)</math>.

В системе [[СГС]] во всех формулах заменяется <math>\mathbf{A}</math> на <math>\mathbf{A}/c</math>, где <math>c</math> — [[скорость света]].

== Момент импульса в квантовой механике ==

=== Оператор момента ===
{{main|Оператор углового момента}}
В [[квантовая механика|квантовой механике]] момент импульса [[квантование (физика)|квантуется]], то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определёнными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на <math>\hbar</math> (<math>h</math> с чертой — [[постоянная Планка]], поделенная на <math>2 \pi </math>).

Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот [[спин]]овый момент импульса всегда кратен <math>\hbar/2</math> для [[фермион]]ов и <math>\hbar</math> для [[бозон]]ов. Например, [[электрон]] в состоянии покоя [[G-Фактор#g-Фактор электрона|имеет]] момент импульса <math>\hbar/2</math>.<ref name="electron_spin">[{{Cite web |url=http://nobelprize.org/physics/laureates/1955 |title=Информация с сайта Нобелевского комитета{{ref|en}} |access-date=2017-11-03 |archive-date=2008-05-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080518070912/http://nobelprize.org/physics/laureates/1955/ |url-status=live }} Информация с сайта Нобелевского комитета{{ref|en}}]</ref> 

В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных <math>r_x</math>, <math>r_y</math>, <math>r_z</math>, <math>p_x</math>, <math>p_y</math>, и <math>p_z</math>. Переводя это на квантовомеханические определения, используя [[принцип неопределенности|принцип неопределенности Гейзенберга]], получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с ''любой точностью''. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и какой-либо одной его компоненты (проекции).

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как [[оператор физической величины]] из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

: <math>\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}</math>,

где <math>\hat{\mathbf{r}}</math> и <math>\hat{\mathbf{p}}</math> — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без [[электрический заряд|электрического заряда]] и без [[спин]]а, оператор углового момента может быть записан как:

: <math>\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla)</math>,

где <math>\nabla</math> — [[оператор набла]]. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

: <math>[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0</math>,
где <math>\varepsilon_{ijk}</math> — [[символ Леви-Чивиты]];

и даже более важные подстановки с [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтонианом]] частицы без заряда и спина:
: <math>\left[L_i,\; H \right] = 0</math>.

=== Симметрия вращения ===
Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач [[сферическая симметрия|сферической симметрии]] в [[сферические координаты|сферических координатах]]. Тогда момент импульса в пространственном отображении:
: <math> -\frac{1}{\hbar^2} \mathbf{L}^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. </math>

Когда находят [[собственное значение|собственные значения]] этого оператора, получают следующее:
: <math> L^2 \mid l,\; m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) \mid l,\; m \rang, </math>
: <math> L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m \rang, </math>

где <math>l</math>, <math>m</math> — целые числа, такие что <math>-l \le m \le l,</math> а
<math>\lang \theta ,\; \varphi \mid l,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)</math>
— [[сферические функции]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = Биденхарн Л., Лаук Дж.
|заглавие = Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения
|том = 1
|город = М.
|издательство = Мир
|год = 1984
|страниц = 302
}}
* {{книга
|автор = Блохинцев Д. И.
|заглавие = Основы квантовой механики
|город = М.
|издательство = Наука
|год = 1976
|страниц = 664
}}
* {{книга
|автор = Боум А.
|заглавие = Квантовая механика: основы и приложения
|город = М.
|издательство = Мир
|год = 1990
|страниц = 720
}}
* {{книга
|автор = [[Варшалович, Дмитрий Александрович|Варшалович Д. А.]], Москалев А. Н., Херсонский В. К.
|заглавие = Квантовая теория углового момента
|город = Л.
|издательство = Наука
|год = 1975
|страниц = 441
|ссылка = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/VarshalovichMoskalevHersonskij1975ru.djvu
}}
* {{книга
|автор = Зар Р.
|заглавие = Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии
|город = М.
|издательство = Мир
|год = 1993
|страниц = 352
}}

[[Категория:Классическая механика]]
[[Категория:Физические величины]]
[[Категория:Углы|угловой момент]]

Момент импульса - История изменений