imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2026-01-25T10:03:20Z

Bot: http → https

Новая страница

Для любой [[Функция (математика)|функции]] <math>f</math>, определённой на множестве <math>E</math>, можно ввести понятие '''модуля непрерывности''' этой функции, обозначаемого <math>\omega_f(\delta)</math>. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная
: <math>\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon(x_1,\;x_2\in E)\land|x_1-x_2|<\delta\},</math>
или [[грань числового множества|верхней грани]] [[колебание функции|колебания функции]] по всем подотрезкам из <math>E</math> длиной меньше <math>\delta</math>. Также в литературе встречаются другие обозначения: <math>\omega(f,\;\delta)</math> и (реже) <math>\omega(\delta,\;f)</math>.

== Свойства модуля непрерывности ==
Введённая функция обладает рядом интересных свойств.
* При любом <math>\delta</math> она неотрицательна.
* Функция не убывает.
* Функция [[Полуаддитивность|полуаддитивна]], если <math>E</math> выпукло:
*: <math>\omega_f(\delta_1+\delta_2)\leqslant\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2).</math>
* По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:
*: <math>\omega_f(0)\stackrel{\mathrm{def}}{=}0.</math>
* [[Теорема о равномерной непрерывности]] может быть сформулирована следующим образом. Если функция <math>f</math> определена на отрезке <math>[a,\;b]</math> и непрерывна на нём, то <math>\lim_{\delta\to 0+}{\omega_f(\delta)}=0</math>, и наоборот. Данный предел обозначается также <math>\omega_f(0+)</math>.
* Если <math>f(x)</math> непрерывна на <math>[a,\;b]</math>, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке <math>[0,\;b-a]</math>.

== Связанные понятия ==
Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:
* принадлежность классам [[Липшицево отображение|Липшица]] и [[Условие Гёльдера|Гёльдера]];
* [[Гладкая функция|гладкость]];
* [[дифференцируемость]];
* возможности эффективного [[Теория приближений|приближения]] функции полиномами ([[неравенство Джексона — Стечкина]])
* и многих других.

== Вариации и обобщения ==

=== Модули непрерывности высших порядков ===
Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется [[Конечные разности|конечная разность]] первого порядка от функции <math>f</math>.
: <math>\omega_f(\delta)=\sup\{|\Delta^1_h(f,\;x)|\colon(x\in E)\land|h|<\delta\}.</math>
Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка <math>n</math>, то получим определение модуля непрерывности порядка <math>n</math>. Обычное обозначение для таких модулей — <math>\omega_n(f,\;\delta)</math>.

==== Свойства ====
* Если <math>k</math> — целое число, то <math>\omega_n(f,\;k\delta)\leqslant k^n\omega_n(f,\;\delta).</math>

=== Неклассические модули непрерывности ===
Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим [[Разностный оператор|разностным оператором]] с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

== Ссылки ==
* [https://ahiin.livejournal.com/92005.html Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера]

{{rq|
{{нет источников|дата=2013-09-08}}
{{нет иллюстрации|дата=2013-09-08}}
}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Функции]]
[[Категория:Теория приближений]]

Модуль непрерывности - История изменений

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https