imported>Артём4637: Убрано лишнее слово

2026-02-20T17:09:32Z

Убрано лишнее слово

Новая страница

'''Мо́дуль над кольцом''' — обобщение понятия [[векторное пространство|векторного пространства]] с [[Поле (алгебра)|полей]] на [[Кольцо (математика)|кольца]]; [[абелева группа]] с заданным согласованным умножением на элементы заданного кольца. Одно из основных понятий [[Общая алгебра|общей алгебры]].

Модули позволяют адаптировать на многие алгебраические структуры стандартные понятия линейной алгебры, такие как [[базис]] и [[линейное отображение]], а также предоставляют единообразный язык для работы с такими структурами. Например, модули над [[Кольцо целых|кольцом целых чисел]] <math>\Z</math> — это в точности [[Абелева группа|абелевы группы]], а модули над [[Кольцо многочленов|кольцом многочленов]] <math>k[x]</math> над некоторым полем <math>k</math> — в точности векторные пространства над <math>k</math> с фиксированным [[Линейный оператор|линейным оператором]].

Понятие модуля лежит в основе [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебры]], которая играет важную роль в различных областях [[Математика|математики]], таких как [[алгебраическая геометрия]], [[гомологическая алгебра]] и [[теория представлений]].

В [[Векторное пространство|векторном пространстве]] множество [[скаляр]]ов образует [[поле (математика)|поле]], и [[умножение на скаляр]] удовлетворяет нескольким [[аксиома]]м, таким как [[дистрибутивность]] умножения. В модуле же требуется только, чтобы скаляры образовывали [[Кольцо (математика)|кольцо]] (ассоциативное, [[Кольцо с единицей|с единицей]]), аксиомы же остаются теми же самыми. Значительная часть теории модулей состоит из попыток обобщить на них известные свойства векторных пространств, иногда для этого приходится ограничиваться модулями над «хорошо ведущими себя» кольцами, такими как [[область главных идеалов|области главных идеалов]]. Однако в целом модули устроены более сложно, чем векторные пространства. Например, не в каждом модуле можно выбрать [[базис (математика)|базис]], и даже [[свободный модуль|те, в которых это возможно]], могут иметь несколько базисов с различным числом элементов (в случае некоммутативного кольца).

== Определения ==
<math>R</math>-модуль определяется для заданного кольца <math>R</math> (как правило, считающееся [[Коммутативное кольцо|коммутативным]] с единичным элементом <math>1\in R</math>) как [[абелева группа]] <math>M</math> с операцией умножения на элементы кольца <math> R </math>:
: <math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm</math>,
которая удовлетворяет следующим условиям (для любых <math>m, m_1, m_2 \in M</math> и <math>r, r_1, r_2 \in R</math>):
: <math> (r_1r_2)m=r_1(r_2m)</math>,
: <math>1m=m</math>,
: <math>r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2</math>,
: <math>(r_1+r_2)m=r_1m + r_2m</math>.

{{Якорь|Левый модуль|Правый модуль}}В случае некоммутативного кольца такие модули часто называются ''левыми''. ''Правыми'' модулями называют в этом случае такие объекты, у которых условие первое заменено следующим:
: <math>(r_1r_2)m=r_2(r_1m)</math>,
что гораздо удобнее формулировать, записывая элемент кольца справа от элемента модуля <math>m</math>:
: <math>m(r_1r_2)=(mr_1)r_2</math>.

В случае коммутативного кольца <math>R</math> определения левого и правого модуля совпадают, и их называют просто модулями.

Любое кольцо <math>R</math> можно рассматривать как модуль над собой (в некоммутативном случае оно является также правым модулем над собой).

== Связанные определения и свойства ==
[[Подмодуль|Подмодулем]] модуля <math> M_R </math> называется подгруппа <math> B </math> группы <math> M </math>, замкнутая относительно умножения на элементы из <math> R </math>, то есть такая, что:
: <math>\forall b \in B,\ r \in R : rb \in B</math>.

Если кольцо <math>R</math> рассматривать как левый модуль над собой, то его подмодули являются [[идеал (алгебра)|левыми идеалами]]; если кольцо рассматривать как правый модуль, то правыми идеалами. В коммутативном случае понятие левого и правого идеалов совпадают.

[[Гомоморфизм]]ом, или <math> R</math>-гомоморфизмом <math>, R</math>-модулей <math>A</math> и <math>B</math> называется [[гомоморфизм групп]] <math>\phi: A \to B</math>, для которого выполнено дополнительное условие <math>\phi(ra) = r\phi(a) \forall a \in A, r \in R</math>. Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через <math>Hom_R (A,\ B)</math>. На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, <math>-</math> и <math>+</math> следующими равенствами:
: <math>0a = 0,\ (-\phi)a = - (\phi a),\ (\phi + \psi)a = \phi a + \psi a</math>.

{{якорь|Фактормодуль}}Если <math>N</math> — подмодуль модуля <math>M</math>, можно рассмотреть ''фактормодуль'' <math>M/N</math> как множество [[класс эквивалентности|классов эквивалентности]] элементов <math>M</math>, определив отношение эквивалентности между элементами:
: <math>a\sim b</math> тогда и только тогда, когда <math>b-a</math> принадлежит <math>N</math>.
Элементы фактормодуля обычно обозначают как <math>[a]=\{a+n: n\in N\}=a+N</math>. Операции [[Сложение|сложения]] и [[Умножение|умножения]] определяются формулами<math>(a+N)+(b+N)=(a+b+N),\quad r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)</math>.

== Примеры ==
{{Якорь|Нулевой модуль}}''Нулевой модуль'' — простейший из возможных модулей над заданным кольцом <math>R</math>, порождённый над [[Тривиальная группа|тривиальной группой]], состоящей лишь из нуля.

Любая [[абелева группа]] — модуль над кольцом целых чисел. Любая <math>n</math>-ограниченная абелева группа (то есть такая абелева группа <math>A</math>, что <math>nA=0</math>) — модуль над кольцом <math>\Z_n</math> [[Классы вычетов|классов вычетов]] по модулю <math>n</math>.

[[Линейное пространство]] над полем <math>F</math> является модулем над <math>F</math>. Линейное пространство <math>V</math> — модуль над кольцом всех своих [[Линейное преобразование|линейных преобразований]] <math>L(V)</math>.

[[Дифференциальная форма|Дифференциальные формы]] на гладком многообразии <math>M</math> снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на <math>M</math>.

Если <math>I</math> — левый [[Идеал (алгебра)|идеал]] кольца <math>R</math>, он будет левым модулем над этим кольцом. Аналогично, правые идеалы будут правыми модулями.

== Типы модулей ==
* [[Конечнопорождённый модуль|Конечнопорождённые модули]]
* ''Циклические модули'': модуль называется циклическим, если он порожден одним элементом.
* [[Свободный модуль|Свободные модули]]
* [[Проективный модуль|Проективные модули]]
* [[Инъективный модуль|Инъективные модули]]
* ''Неразложимые модули'': модуль называется неразложимым, если он ненулевой и его нельзя разложить в [[прямая сумма|прямую сумму]] двух ненулевых модулей.
* ''Вполне разложимые модули'': модули, которые можно разложить в прямую сумму неразложимых.
* [[Простой модуль|Простые модули]]
* [[Полупростой модуль|Полупростые модули]]
* [[Артинов модуль|Артиновы модули]]
* [[Нётеров модуль|Нётеровы модули]]

== История ==
{{нет ссылок в разделе|дата=2019-01-05}}
Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, то есть <math>\Z</math>-модули) появляются уже у [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] как группы классов бинарных квадратичных форм.
Общее понятие модуля встречается впервые в 1860—1880-х годах в работах [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] и [[Кронекер, Леопольд|Кронекера]], посвящённых арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций.
Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп ([[Пирс, Бенджамин|Пирс]], [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]]), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец.
Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца.
Лишь позднее в работах [[Нётер, Эмми|Нётер]] и {{iw|Крулль, Вольфганг|Крулля|de|Wolfgang Krull}} было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.

== Литература ==
* {{книга |автор=Ван дер Варден Б. Л. |заглавие=Алгебра |место=М. |издательство=Наука |год=1975}}
* {{книга |автор=Зарисский О., Самюэль П. |заглавие=Коммутативная алгебра |том=1 |место=М. |издательство=ИЛ |год=1963}}
* {{книга |автор=Ленг С. |заглавие=Алгебра |место=М. |издательство=Мир |год=1967}}

[[Категория:Модули над кольцами|*]]

Модуль над кольцом - История изменений

imported>Артём4637: Убрано лишнее слово