imported>Bezik: Удалена Категория:Типы математических объектов с помощью HotCat

2025-08-23T15:09:06Z

Удалена Категория:Типы математических объектов с помощью HotCat

Новая страница

{{значения|Множество (значения)}}
'''Мно́жество''' — одно из ключевых понятий [[Математика|математики]], представляющее собой набор, '''совокупность''' каких-либо (вообще говоря любых) объектов — '''элементов''' этого множества<ref>{{книга|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu|заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)|год=1982|часть=Множество|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]|том=3|страницы=762|archive-date=2013-10-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20131016140955/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu}}</ref>. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы<ref name="Stoll">{{Cite book|last=Stoll|first=Robert|title=Sets, Logic and Axiomatic Theories|year=1974|publisher=W. H. Freeman and Company|pages=[https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol/page/5 5]|url=https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol|url-access=registration}}</ref>.

[[Файл:Example of a set.svg|thumb|Несколько многоугольников на [[Диаграмма Эйлера|диаграмме Эйлера]]]]

Изучением общих свойств множеств занимаются [[теория множеств]], а также смежные разделы математики и [[Математическая логика|математической логики]]. Примеры: множество жителей заданного города, множество [[Непрерывная функция|непрерывных функций]], множество решений заданного уравнения. Множество может быть [[Пустое множество|пустым]] и [[Непустое множество|непустым]], [[Частично упорядоченное множество|упорядоченным]] и неупорядоченным, [[Конечное множество|конечным]] и [[Бесконечное множество|бесконечным]]. Бесконечное множество может быть [[Счётное множество|счётным]] или [[Несчётное множество|несчётным]]. Более того, как в [[Наивная теория множеств|наивной]], так и в [[Аксиоматическая теория множеств|аксиоматической]] теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую терминологию и идеологию.

== История понятия ==
[[Файл:Setexample.jpg|мини]]
{{main|История теории множеств}}
Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены [[Больцано, Бернард|Бернардом Больцано]], который сформулировал некоторые из её принципов<ref name="Russ2004">{{cite book|author=Steve Russ|title=The Mathematical Works of Bernard Bolzano|url=https://books.google.com/books?id=zp7cLQn0x3gC&pg=PR28|date=9 December 2004|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-151370-1}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=zp7cLQn0x3gC&pg=PR28 |date=20220427071142 }}</ref><ref name="EwaldEwald1996">{{cite book|author1=William Ewald|author2=William Bragg Ewald|title=From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA249|year=1996|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-850535-8|page=249}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA249 |date=20220422125721 }}</ref><ref name="RusnockSebestík2019">{{cite book|author1=Paul Rusnock|author2=Jan Sebestík|title=Bernard Bolzano: His Life and Work|url=https://books.google.com/books?id=-hqJDwAAQBAJ&pg=PA430|date=25 April 2019|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-255683-7|page=430}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=-hqJDwAAQBAJ&pg=PA430 |date=20220417154802 }}</ref>.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Георг Кантор]] опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию [[Порядковое число|трансфинитных чисел]] (кардинальных и порядковых)<ref>«Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens — welche Elemente der Menge genannt werden — zu einem Ganzen.» {{cite web |url=http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |title=Archived copy |access-date=2011-04-22 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110610133240/http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |archive-date=2011-06-10 }}</ref>. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», и назвал эти объекты [[элемент множества|элементами множества]].
Множество всех объектов, обладающих свойством <math>A(x)</math> (то есть [[Предикат|утверждением, истинность которого зависит от значения переменной]] <math>x</math>), он обозначил <math>\{x \mid A(x)\}</math>, а само свойство <math>A(x)</math> назвал ''характеристическим свойством'' множества <math>X</math>.

Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к [[Парадоксы теории множеств|парадоксам]] — в частности, к [[Парадокс Рассела|парадоксу Рассела]].

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году [[теория множеств]] была [[Аксиоматика теории множеств|аксиоматизирована]] независимо [[Рассел, Бертран|Бертраном Расселом]] и [[Цермело, Эрнст|Эрнстом Цермело]]. В дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их характер. Они известны как [[Парадокс Рассела#Теория типов Рассела|теория типов Рассела]] и [[Система Цермело — Френкеля|теория множеств Цермело]]. Впоследствии теория множеств Кантора стала называться [[Наивная теория множеств|наивной теорией множеств]], а теорию (в частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — [[аксиоматическая теория множеств|аксиоматической теорией множеств]].

В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC ([[Аксиоматика теории множеств|аксиомы Цермело — Френкеля]] с [[аксиома выбора|аксиомой выбора]]). Однако при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются [[класс (теория множеств)|классами]] (различных порядков).

== Элемент множества ==
Объекты, из которых состоит множество, называют '''элементами множества''' или '''точками множества'''. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами [[Латинский алфавит|латинского алфавита]], их элементы — строчными. Если <math>a</math> — элемент множества <math>A</math>, то пишут <math>a \in A</math> («<math>a</math> принадлежит <math>A</math>») или <math>A \ni a</math> («<math>A</math> содержит <math>a</math>»).
Если <math>a</math> не является элементом множества <math>A</math>, то пишут <math>a \notin A</math> («<math>a</math> не принадлежит <math>A</math>»).

Если всякий элемент множества <math>A</math> содержится в <math>B</math>, то пишут <math>A\subset B</math> («<math>A</math> лежит в <math>B</math>, является его [[подмножество]]м»). Согласно теории множеств, если <math>X\subset Y</math>, то для всякого элемента <math>a\in Y</math> определено либо <math>a\in X</math>, либо <math>a\not\in X</math>.

Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть <math>\{6, 11\} = \{11, 6\}</math>. Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись <math>A=\{11, 11, 6, 11, 6\}</math>, вообще говоря, не имеет смысла, если <math>A</math> — множество. Однако корректной будет запись множества <math>B = \{11, \{11\}, \{6, 11\}, 6\}</math>.

Множества <math>A</math> и <math>B</math> называют ''равными, или одинаковыми,'' (и пишут <math>A=B</math>), если их численность одинакова и указанные множества состоят из одних и тех же элементов. Другими словами, множества <math>A</math> и <math>B</math> называют ''равными'', если для любого объекта <math>x</math> верно, что <math>x \in A</math> тогда и только тогда, когда <math>x \in B</math>, а это означает, что из принадлежности <math>x</math> одному множеству следует принадлежность второму, и наоборот.

Численностью множеств (конечных) занимается наука ''арифметика'', не обращая внимания на другие свойства множеств.

Множества можно сравнить по количеству их элементов. Множества <math>A</math> и <math>B</math> называют ''равносильными (равномощными, или эквивалентными), т. е. равными по силе,'' (и пишут <math>A \sim B</math>), если численность у них совпадает. В широком математическом смысле это значит, что можно установить взаимное однозначное (т. е. парное) соответствие между ними.

== Задание множества ==
Существуют два основных [[Форма записи множества|способа задания множеств]]: перечислением элементов и их описанием.

=== Перечисление ===
Первый способ требует задать (перечислить) все элементы, входящие в множество. Например, множество <math>Y</math> неотрицательных [[Чётные и нечётные числа|чётных чисел]], меньших 10, задастся: <math>Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}.</math> Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

=== Описание ===
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать перечислением (например, если множество содержит бесконечное число элементов). В таком случае его можно описать свойствами принадлежащих ему элементов.

Множество <math>Y\subset X</math> задано, если указано условие <math>A(x)</math>, которому удовлетворяют все элементы <math>x\in X:x\in Y</math>, и которому не удовлетворяют <math>x\in X:x\notin Y</math>. Обозначают <math>Y=\big\{x\in X: A(x)\big\}.</math>

Например, [[график функции]] <math>f\colon X\to Y</math> можно задать следующим образом:
: <math>\Gamma=\big\{(x,y)\in X\times Y: f(x)=y\big\},</math>
где <math>\times</math> — [[Прямое произведение|декартово произведение]] множеств.

== Отношения между множествами ==
[[Файл:Venn A subset B.svg|thumb|[[Диаграмма Эйлера]] для <math>A \subset B</math>]]
Для множеств <math>A</math> и <math>B</math> могут быть заданы [[Отношение (теория множеств)|отношения]]:
* <math>A</math> включено в <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> принадлежит также и множеству <math>B</math>:
*: <math>A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \left(a \in A\Rightarrow a \in B \right)</math>
* <math>A</math> включает <math>B</math>, если <math>B</math> включено в <math>A</math>:
*: <math>A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A</math>
* <math>A</math> равно <math>B</math>, если <math>A</math> и <math>B</math> включены друг в друга:
*: <math>A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \;\, \text{и}\;\, B \subseteq A</math>
** Для любых множеств <math>A = A</math>
** Если <math>A = B</math>, то <math>B = A</math>
** Если <math>A = B</math>, <math>B = C</math>, то <math>A = C</math>.
Подмножество <math>A</math> называется ''собственным'' ''подмножеством'' <math>B</math> (и пишут <math>A \subset B</math>), если <math>A \neq B</math>.

Иногда различают строгое включение (<math>A \subset B</math>) от нестрогого (<math>A \subseteq B</math>), различающиеся тем, что из <math>A \subset B\not\Rightarrow A=B</math>. Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, отчего встречаются записи произвольных включений знаками строгого включения. Иногда употребляют символ <math>\subsetneq</math> как символ строгого включения.

== Операции над множествами ==
[[Файл:Venn0001.svg|thumb|[[Диаграмма Венна]] для <math>A \cap B</math>]]
[[Файл:Venn0111.svg|thumb|[[Диаграмма Венна]] для <math>A \cup B</math>]]
[[Файл:Venn0100.svg|thumb|[[Диаграмма Венна]] для <math>A \setminus B</math>]]
[[Файл:Venn0110.svg|thumb|[[Диаграмма Венна]] для <math>A \bigtriangleup B</math>]]
[[Файл:Venn1110.svg|thumb|[[Диаграмма Венна]] для <math>(A \cap B)^\complement</math>]]
Для наглядного представления операций часто используются [[диаграммы Венна]], на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

=== Основные операции ===
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — произвольные множества.

[[Пересечение множеств|Пересечение]] (множество ''общих'' точек):
: <math>A \cap B\;\, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \;\, \{x \mid x \in A\;\, \text{и}\;\, x \in B\} = \{x \mid x \in A,\, x \in B\}</math>.
[[Объединение множеств|Объединение]] (множество ''всех'' точек):
: <math>A \cup B \;\, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \;\, \{x \mid x \in A\;\, \text{или}\;\, x \in B\} = \{x, y \mid x \in A,\, y \in B\}</math>.
Объединение непересекающихся <math>A</math> и <math>B</math> (<math>A \cap B = \varnothing</math>) также обозначают <math>A + B = A \cup B</math>.

[[Разность множеств|Разность]] (множество точек первого ''без'' второго):
: <math>A \setminus B \;\, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \;\, \{x \mid x \in A\;\, \text{и}\;\, x \notin B\} = \{x \mid x \in A,\, x \notin B\}</math>.

[[Симметрическая разность]]:
: <math>A \bigtriangleup B \equiv A \mathbin{\dot{-}} B = (A \cup B) \setminus(A \cap B)</math>;

Пусть <math>\mathbb {U} </math> — универсальное множество и <math>A</math> — произвольное его подмножество (<math>A \subseteq \mathbb {U} </math>).

[[Дополнение множества|Дополнение]] множества <math>A</math> (до множества <math>\mathbb {U} </math>) (множество <math>\mathbb {U} </math> без <math>A</math>):
: <math>\overline A \equiv A^\complement =\complement\left(A\right) = \mathbb {U} \setminus A \;\, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \;\, \{x \in \mathbb {U} \mid x \notin A\} </math>.

[[Булеан]] <math>A</math> (множество ''всех подмножеств''):
: <math>\mathfrak B \left(A\right) = 2^A = \{X \mid X \subseteq A\}</math>.

Для операций над множествами также справедливы [[законы де Моргана]]:
: <math>A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)</math>,
: <math>A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)</math>.

=== Приоритет операций ===
Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — [[Пересечение множеств|пересечения]], затем — [[Объединение множеств|объединения]], [[Разность множеств|разности]] и [[Симметрическая разность|симметрической разности]]{{Нет АИ|30|9|2019}}. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и [[Вычитание|вычитания]], для которых, в частности, верно, что <math>(a+b)-c = a + (b-c)</math>, для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если <math>A=\{1,3\}</math>, <math>B=\{1,2\}</math>, <math>C=\{2,3\}</math>, то <math>(A\cup B)\setminus C=\{1\}</math>, но, в то же время, <math>A\cup (B\setminus C)=\{1, 3\}</math>.

== Декартово произведение ==
{{main|Прямое произведение}}'''Декартовым''' (или '''прямым''') '''произведением''' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называют ''упорядоченное'' множество, обозначаемое <math>(A\times B)</math>, элементами которого являются всевозможные пары элементов исходных множеств; <math>A\times B = \left\{\left(a,b\right) \mid a\in A\;\, \text{и}\;\,b\in B\right\}</math>.

Удобно представить, что элементы декартова произведения заполняют таблицу элементов, столбцы которой описывают все элементы одного множества, а строки, соответственно, другого.

== Мощность ==
{{main|Мощность множества}}
[[Мощность множества]] — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление [[биекция|биекции]], были равномощны. Обозначается <math>|A|</math> или <math>\sharp A</math>. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные [[Кардинальное число|кардинальные числа]], соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если <math>A \subseteq B</math>, то <math>|A| \leqslant |B|</math>) и распространяющие свойства мощности булеана конечного множества: <math>|2^A| = 2^{|A|}</math> на случай бесконечных множеств. Само обозначение <math>2^A</math>во многом мотивировано этим свойством.

Наименьшая бесконечная мощность обозначается <math>\aleph_0</math>, это мощность [[Счётное множество|счётного множества]] (биективного <math>\mathbb N</math>). Мощность [[Континуум (теория множеств)|континуального множества]] (биективного <math>\mathbb R</math> или <math>2^\mathbb{N}</math>) обозначаетсяя <math>\mathfrak c</math> или <math>2^{\aleph_0}</math>. Во многом определение мощности континуума строится на [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезе]] — предположении об отсутствии промежуточных мощностей между счётной мощностью и мощностью континуума.

== Некоторые виды множеств и сходных объектов ==
'''Специальные множества'''
* '''''[[Пустое множество]]''''' — множество, не содержащее ни одного элемента.
* '''''[[Синглетон (математика)|Одноэлементное множество]]''''' — множество, состоящее из одного элемента.
* '''''[[Универсальное множество]]''''' (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с [[Парадокс Рассела|парадоксом Рассела]] данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества и объекты, участвующие в рассматриваемой задаче».

=== Сходные объекты ===
* [[Кортеж (математика)|Кортеж]] (в частности, [[упорядоченная пара]]) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
* [[Мультимножество]] (в теории [[Сеть Петри|сетей Петри]] называется «комплект») — множество с кратными элементами.
* Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
* [[Вектор (алгебра)|Вектор]] — элемент [[Линейное пространство|линейного пространства]], содержащий конечное число элементов некоторого [[Поле (алгебра)|поля]] в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
* [[Последовательность]] — [[Функция (математика)|функция]] одного [[Натуральное число|натурального]] переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
* [[Нечёткое множество]] — [[математический объект]], подобный множеству, принадлежность которому задаётся не [[Отношение (теория множеств)|отношением]], а [[Функция (математика)|функцией]]. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

=== По иерархии ===
{{falseredirect|Семейство множеств}}
{{Якорь|Семейство множеств}}
* '''''Система множеств''''' (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества)<ref>{{Cite web |url=https://studopedia.ru/3_4_sistemi-mnozhestv.html |title=Студопедия — Теория множеств |access-date=2020-05-02 |archive-date=2020-11-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201125173927/https://studopedia.ru/3_4_sistemi-mnozhestv.html |url-status=live }}</ref>.
** [[Алгебра множеств]], [[кольцо множеств]] — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
** [[Булеан]] — множество всех подмножеств данного множества.
* '''''[[Семейство (математика)|Семейство]] множеств''''' — индексированный аналог системы множеств.
* [[Подмножество]]
* [[Надмножество]]

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Викисловарь|множество}}
{{Викисловарь|совокупность}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Куратовский, Казимир|К. Куратовский]], [[Мостовский, Анджей|А. Мостовский]]|заглавие=Теория множеств|ответственный=Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова|место=М.|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|ref=Куратовский, Мостовский}}
* {{книга|автор=Столл Р. Р.|заглавие=Множества. Логика. Аксиоматические теории.|место=М.|издательство=Просвещение|год=1968|страниц=232|ответственный = Перевод с английского [[Гастев, Юрий Алексеевич|Ю. А. Гастева]] и И. Х. Шмаина под редакцией [[Шиханович, Юрий Александрович|Ю. А. Шихановича]]}}

{{Логика}}
{{Теория множеств}}
{{Внешние ссылки}}
[[Категория:Теория множеств]]

Множество - История изменений

imported>VitalikBot: Обновление шаблона {{improve}}; langs: chu-ru

imported>Bezik: Удалена Категория:Типы математических объектов с помощью HotCat