imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T08:01:41Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

{{перенаправление|Полином|Полином (гидроакустическая станция)|о гидроакустической станции}}
[[Файл:Septic graph.svg|thumb|right|250px|<center>[[График функции|График]] многочлена 7-й степени <math>y=x^7-14x^5+49x^3-36x</math>.</center>]]
'''Многочле́н''' (или '''полино́м''', от {{lang-el|[[поли-|πολυ-]]}} «много» + {{lang-la|[[wikt:nomen#Латинский|nomen]]}} «имя»<ref>{{книга |часть=Полином |заглавие=Советский энциклопедический словарь |издание=2-е изд. |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1982 |страниц=1600}}</ref>) — фундаментальное понятие в [[Алгебра|алгебре]] и [[Математический анализ|математическом анализе]]. В простейшем случае многочленом называется [[Функция (математика)|функция]] [[Вещественное число|вещественной]] или [[Комплексное число|комплексной]] переменной <math>x</math> следующего вида{{sfn |Винберг|1980|с=5}}:
: <math>P(x)=c_0 + c_1x^1 + c_2x^2 + \dots + c_nx^n</math>, где <math>c_i</math> — фиксированные [[коэффициент]]ы, причём <math>c_n\neq0</math>.
Максимальная степень <math>n</math> среди слагаемых-[[одночлен]]ов называется '''[[Степень многочлена|степенью многочлена]]'''. Если нет ни одного слагаемого, то такой многочлен называется нуль-многочленом, его степень точно не определена, но при этом считается меньшей любого неотрицательного числа.

Примеры:
:: <math>7x^2 + 4x - 8</math> (многочлен второй степени)
:: <math>x^5 - x</math> (многочлен пятой степени)

В более общем случае{{переход|Многочлены от нескольких переменных}} многочлен может содержать степени нескольких независимых переменных{{sfn|БРЭ}} <math>x_1, x_2, ... x_n,</math> например:
:: <math>x^2 + 11xy - 3x + 82y + 1</math> (многочлен от двух переменных <math>(x, y)</math> второй степени)

Многочлены как функции можно складывать, перемножать, а в некоторых случаях и делить один на другой{{sfn |Курош|1968|с=130—135}}{{переход|Деление многочленов}}

Коэффициенты многочлена могут быть не обязательно числовыми{{переход|Вариации и обобщения}}.

== Многочлены от одной переменной ==
В этом разделе, если не оговорено иное, под ''многочленом'' всюду понимается многочлен от одной переменной.
<gallery class="center" caption="Графики многочленов разной степени" widths="150px" heights="150px">
Exemplo de função afim crescente.jpg|Многочлен 1-й степени {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x'' + 1}}
Polynomialdeg2.svg|Многочлен 2-й степени {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''2 − ''x'' − 2}} {{math|{{=}} (''x'' + 1)(''x'' − 2)}}
Polynomialdeg3.svg|Многочлен 3-й степени {{math|''f''(''x'') {{=}} {{sfrac|''x''3|4}} + {{sfrac|3''x''2|4}} − {{sfrac|3''x''|2}} − 2}} {{math|{{=}} {{sfrac|1|4}} (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 2)}}
</gallery>

=== Основные понятия ===
Общий вид многочлена{{sfn|Винберг|1980|с=5}} от одной переменной <math>x</math>:
: <math>P(x)=c_0 + c_1x^1 + c_2x^2 + \dots + c_nx^n</math>,
где <math>c_i</math> — фиксированные числовые [[коэффициент]]ы, причём <math>c_n\neq0</math>.

Таким образом, многочлен есть сумма [[одночлен]]ов разных степеней. Максимальная степень <math>n</math> среди слагаемых-одночленов называется '''степенью многочлена''', а коэффициент <math>c_n</math> при этом одночлене называется ''старшим'' коэффициентом{{sfn |Цыпкин|1983|с=88}}. Степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей. Одночлен <math>c_0</math>, не содержащий переменной, называется '''свободным членом''' многочлена.

Допускается многочлен, вообще не содержащий переменных, то есть [[Математическая константа|числовая константа]]: <math>P(x)=c</math>; его степень считается равной нулю. Исключением является '''нулевой многочлен''', тождественно равный нулю: <math>P(x)=0</math>, его степень не определяется (иногда считается равной <math>-1</math> или <math>-\infty</math>)<ref>{{Cite web|lang=en|url=https://mathworld.wolfram.com/ZeroPolynomial.html|title=Zero Polynomial|author=Eric W. Weisstein |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2021-05-28|archive-date=2021-05-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20210501162138/https://mathworld.wolfram.com/ZeroPolynomial.html|url-status=live}}</ref>, но в любом случае считается меньшей степени любого другого многочлена. В частности, это означает, что константные многочлены — это в точности многочлены степени не выше 0.

Некоторые классы многочленов имеют специальные названия{{sfn|БРЭ}}{{sfn |Цыпкин|1983|с=88}}.
* Многочлен первой степени <math>P(x)=c_0 + c_1x</math> называется ''линейным двучленом'' или [[бином]]ом.
* Многочлен второй степени из трёх членов <math>P(x)=c_0 + c_1x + c_2 x^2</math> называется [[квадратный трехчлен|квадратным трёхчленом]].
* Многочлен третьей степени называется [[Кубическое уравнение|кубическим]].
* Многочлен называется '''[[Приведённый многочлен|приведённым]]''' (также '''нормированным''' или '''унитарным'''), если его старший коэффициент <math>c_n</math> равен единице.

=== Деление многочленов ===
{{См. также|Деление многочленов столбиком}}
'''Определение'''{{sfn |Цыпкин|1983|с=90—91}}: говорят, что многочлен <math>P(x)</math> делится (нацело) на многочлен <math>Q(x)</math>, если существует такой многочлен <math>G(x)</math>, что <math>P(x) = Q(x)G(x)</math>.

Как и при делении [[Целое число|целых чисел]], <math>P(x)</math>, <math>Q(x)</math> и <math>G(x)</math> называются делимым, делителем и частным соответственно.

Основные свойства деления многочленов (вполне аналогичные свойствам деления целых чисел){{sfn |Цыпкин|1983|с=90—91}}.
# [[Транзитивность]]: если <math>P(x)</math> делится на <math>K(x)</math> и <math>K(x)</math> делится на <math>Q(x)</math>, то <math>P(x)</math> делится на <math>Q(x)</math>.
# Частное от деления <math>P(x)</math> на <math>Q(x)</math> также является делителем <math>P(x)</math>.
# Если оба многочлена делятся на <math>Q(x)</math>, то их сумма и разность также делится на <math>Q(x)</math>.
# Если <math>P(x)</math> делится на <math>Q(x)</math>, то его произведение на любой другой многочлен также делится на <math>Q(x)</math>.
# Степень частного равна разности степеней делимого и делителя.
# Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени (то есть на ненулевое число).
# Многочлены <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> делятся друг на друга тогда и только тогда, когда <math>P(x) = c Q(x)</math>, где <math>c</math> — ненулевая константа.
Как и для целых чисел, можно определить понятие [[Наибольший общий делитель#Вариации и обобщения|наибольшего общего делителя (НОД)]] двух многочленов <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> — это многочлен, который является делителем как <math>P(x)</math>, так и <math>Q(x)</math> и при этом делится на любой другой общий делитель этих многочленов. НОД всегда существует и определён с точностью до числового множителя. Если степень НОД равна нулю (то есть это число), многочлены <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> называются [[Взаимно простые числа#Вариации и обобщения|взаимно простыми]]{{sfn |Цыпкин|1983|с=90—91}}. Для нахождения НОД можно использовать аналог [[Алгоритм Евклида#Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов|алгоритма Евклида]]{{sfn |Цыпкин|1983|с=93—94}}.

=== Деление с остатком ===
{{main|Деление многочленов}}
Любой многочлен <math>P(x)</math> можно разделить на ненулевой многочлен меньшей степени <math>Q(x)</math> ''с остатком'', то есть представить его в виде:
:<math>P(x) = Q(x) G(x) + R(x)</math>
где степень R(x) (многочлена-остатка) меньше, чем степень делителя <math>Q(x)</math>. Многочлен <math>G(x)</math> называется ''неполным частным''. Многочлены <math>G(x)</math> и <math>R(x)</math> для заданных <math>P(x)</math>, <math>Q(x)</math> определены однозначно{{sfn |БРЭ}}.

'''Пример''': остаток от деления многочлена <math>x^4 + 3 x^3 + 7</math> на <math>x^2 + 1</math> равен <math>(-3x + 8)</math>:

: <math>x^4 + 3 x^3 + 7 =</math>
:: <math>= (x^2 + 1) (x^2 + 3 x - 1) + (-3x + 8)</math>

'''Теорема Безу''': остаток от деления многочлена <math>P(x)</math> на [[двучлен]] <math>(x-a)</math> равен <math>P(a)</math>.

=== Корни многочлена ===
{{main|Корень многочлена}}
Решения уравнения <math>P(x) = 0</math> называются '''[[Корень многочлена|корнями]]''' (ненулевого) многочлена <math>P(x)</math>.

'''Свойства''':
* Коэффициенты многочлена связаны с его корнями [[Формулы Виета|формулами Виета]]{{sfn |Курош|1968|с=158—159}}.
* ([[Основная теорема алгебры]]): всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле [[Комплексное число|комплексных чисел]]<ref>{{книга |часть=Алгебры основная теорема |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия |том=1 |год=1977 |страницы=199—200 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}</ref>.
* Всякий отличный от константы многочлен <math>P(x)</math> с вещественными коэффициентами может быть разложен в произведение{{sfn |Цыпкин|1983|с=97—99}}:
: — своего старшего коэффициента <math>a_n</math>;
: — нескольких линейных двучленов вида <math>(x - c_k)</math> где <math>c_k</math> — вещественные корни <math>P(x)</math>, если они существуют;
: — нескольких [[Приведённый многочлен|приведённых]] квадратных трёхчленов, соответствующих парам [[Сопряжённые числа|сопряжённых]] комплексных корней <math>P(x)</math>, если они существуют.
: Это разложение однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Пример:
: <math>x^3 - 3x^2 + 5x - 15 = (x - 3) (x^2 + 5)</math>

Здесь первая скобка справа соответствует вещественному корню <math>x=3,</math> а вторая — паре сопряжённых комплексных корней <math>\pm{i}\sqrt{5}</math>.

=== Приводимость и каноническое разложение многочлена ===
Многочлен называется '''приводимым''', если он является произведением двух многочленов положительных степеней, и '''неприводимым''' — в противном случае.

Любой многочлен, кроме нуль-многочлена, над любым полем имеет каноническое разложение в произведение неприводимых множителей, которое однозначно с точностью до порядка сомножителей и константных множителей. При этом кратное повторение одного или более сомножителей с точностью до константных множителей имеет место в точности тогда, когда многочлен не является взаимно простым со своей [[Производная многочлена|производной]].

== Многочлены от нескольких переменных ==
Многочлен от нескольких переменных <math>\{x_1, x_2, \dots, x_n\}</math> — это конечная сумма [[одночлен]]ов вида{{sfn |Цыпкин|1983|с=97—98}}::
: <math>a x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots , x_n^{k_n} </math>,
Далее предполагается, что все подобные одночлены объединены, и все коэффициенты при одночленах ненулевые.

Степенью каждого одночлена называется сумма степеней входящих в него переменных, а максимальная степень среди слагаемых-одночленов называется '''степенью многочлена''' от нескольких переменных. Коэффициент при этом одночлене называется ''старшим'' коэффициентом. Очевидно, степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей{{sfn |Цыпкин|1983|с=97—99}}.

Одночлен, не содержащий переменных, называется '''свободным членом''' многочлена.

Многочлен, все члены которого имеют одну и ту же степень, называется [[Однородный многочлен|однородным многочленом]] или формой ([[Линейная форма|линейной]], [[Квадратичная форма|квадратичной]], кубической {{итд}}, в зависимости от степени). Например, <math>x^2+xy+y^2</math> — однородный многочлен двух переменных, а <math>x^2+y+1</math> не является однородным.

== Изучение и применение ==
[[Файл:График многочленов Бернулли.png|thumb|right|<center>Графики [[Многочлены Бернулли|многочленов Бернулли]]</center>]]
Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической [[Алгебра|алгебры]]».

С изучением многочленов исторически связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение [[Ноль (число)|нуля]], [[отрицательное число|отрицательных]], а затем и [[комплексное число|комплексных чисел]], а также появление [[теория групп|теории групп]] как раздела математики и выделение классов [[специальные функции|специальных функций]] в [[Математический анализ (современный раздел математики)|математическом анализе]]. С помощью многочлена вводятся понятия «[[алгебраическое уравнение]]», «[[алгебраическая функция]]» и «[[алгебраическое число]]».

Одно из важнейших применений алгебры многочленов связано с тем, что любую [[Непрерывная функция|непрерывную функцию]] можно с произвольно малой ошибкой заменить на многочлен ([[Аппроксимационная теорема Вейерштрасса|теорема Вейерштрасса]]). Это позволяет приближённо выражать многочленами широкие классы функций {{sfn |БРЭ}}.

Многочлены также играют ключевую роль в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]]. Её ключевым объектом являются множества, определённые как решения [[Система уравнений|систем]] [[Полиномиальное уравнение|полиномиальных уравнений]].

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]], [[алгебра|алгебре]], [[теория узлов|теории узлов]] и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

== Вариации и обобщения ==

=== Кольцо многочленов ===
{{main|Кольцо многочленов}}
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого [[Коммутативное кольцо|коммутативного кольца]] <math>R</math> (чаще всего [[поле (алгебра)|поля]], например, поля [[вещественное число|вещественных]] или [[комплексное число|комплексных чисел]]). В этом случае относительно операций сложения и умножения многочлены образуют [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] (более того ассоциативно-коммутативную [[Алгебра над кольцом|алгебру над кольцом]] <math>R</math> без [[Делитель нуля|делителей нуля]]), которое обозначается <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>.

Понятие многочлена можно определить для произвольного поля, даже нечислового. Множество всех многочленов с коэффициентами из данного поля образует кольцо — [[кольцо многочленов]] над данным полем; это кольцо не имеет [[Делитель нуля|делителей нуля]], то есть произведение ненулевых многочленов не может дать нулевой многочлен{{sfn|БРЭ}}.

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из того же поля, называется '''приводимым''' (над данным полем), в противном случае — '''[[Неприводимый многочлен|неприводимым]]'''.

Кольцо многочленов над произвольной [[область целостности|областью целостности]] само является областью целостности.

Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым [[факториальное кольцо|факториальным кольцом]] само является факториальным.

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью [[простое число|простых чисел]] в кольце [[целое число|целых чисел]]. Например, верна теорема: если произведение многочленов <math>pq</math> делится на неприводимый многочлен <math>\lambda</math>, то '''''p''''' или '''''q''''' делится на <math>\lambda</math>. Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен <math>x^4-2</math>, неприводимый в поле [[Рациональное число|рациональных чисел]], разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного <math>x</math> разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени ([[основная теорема алгебры]]).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого <math>n>2</math> существуют многочлены от <math>n</math> переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Кольцо многочленов от одного переменного над полем является [[кольцо главных идеалов|кольцом главных идеалов]], то есть любой его [[Идеал (алгебра)|идеал]] может быть порождён одним элементом. Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является [[евклидово кольцо|евклидовым кольцом]].

Если в определении допустить также отрицательные степени переменных, то полученный объект называется [[Многочлен Лорана]].

=== Полиномиальная функция ===
Пусть <math>A</math> — [[алгебра над кольцом]] <math>R.</math> Произвольный многочлен <math>p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> определяет полиномиальную функцию
: <math>p_R\colon A\to A.</math>
Чаще всего рассматривают случай <math>A=R.</math>

В случае, если <math>R</math> — поле [[Вещественное число|вещественных]] или [[Комплексное число|комплексных чисел]] (или любое другое поле с [[Бесконечное множество|бесконечным числом элементов]]), функция <math>f_p\colon R^n\to R</math> полностью определяет многочлен ''p''. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены <math>p_1(x)\equiv x</math> и <math>p_2(x)\equiv x^2</math> из <math>\Z_2[x]</math> определяют тождественно равные функции <math>\Z_2\to\Z_2</math>.

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется [[Целая рациональная функция|целой рациональной функцией]].

== См. также ==

* [[Базис Грёбнера]]
* [[Квазимногочлен]]
* [[Позином]]
* [[Сплайн]]
* [[Степенной ряд]]
* [[Теорема Гаусса — Люка]]
* [[Теорема о рациональных корнях]].
* [[Тригонометрический многочлен]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Родственные проекты|Тема=Многочлен|Викисловарь=многочлен}}
* {{книга |автор=[[Винберг, Эрнест Борисович|Винберг Э. Б.]] |заглавие=Алгебра многочленов |место=М. |издательство=Просвещение
|год=1980 |страниц=176 |ref=Винберг}}
* {{книга |автор=[[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]] |заглавие=Курс высшей алгебры |издание=9-е изд
|место=М. |год=1968 |издательство=Наука |ref=Курош}}
* {{книга |автор=Мишина А. П., Проскуряков И. В. |заглавие=Высшая алгебра, 2 изд |место=М. |год=1965}}
* {{книга |автор=[[Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.]] |заглавие=Многочлены |место=М. |издательство=[[МЦНМО]] |год=2003
|издание=3-е изд |страниц=336 |isbn=5-94057-077-1}}
* {{книга |автор=[[Солодовников, Александр Самуилович|Солодовников А. С,]] Родина М. А. |заглавие=Задачник-практикум по алгебре |место=М. |издательство=Просвещение |год=1985 |страниц=127}}
* {{книга |автор=[[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев Д. К]]., Соминский И. С. |заглавие=Сборник задач по высшей алгебре |место=М. |год=1977}}
* {{книга |автор=Цыпкин А. Г. |издание=3-е изд. |заглавие=Справочник по математике для средних учебных заведений
|место=М. |издательство=Наука |год=1983 |страниц=480 |ref=Цыпкин}}

== Ссылки ==
* {{БРЭ |статья=Многочлен |автор=Маркушевич А. И. |ref=БРЭ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2220871 |архив= |архив дата= }}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Многочлены| ]]

Многочлен - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}