imported>Д.Ильин: img

2025-11-21T16:24:20Z

img

Новая страница

{{значения|Работа}}
{{Физическая величина
| Название = Работа
| Символ = <math>A, W</math>
| Размерность = '''L2MT−2'''
| СИ = [[Джоуль|Дж]]
| СГС = [[эрг]]
| Примечания = [[скалярная величина]]
}}
{{Физическая теория
| Name = Механическая работа
| Label = <math> A = \bold{F} \cdot \bold{S} = F \cdot S \cdot \cos\varphi </math>
| LabelId = Работа силы
| KeyItems = Ключевые статьи
| Topic1 = Работа в физике
| Items1 = Механическая работа [[Закон сохранения энергии]] [[Термодинамическая работа]] [[Первое начало термодинамики]]
| Topic2 = Размерность
| Items2 = [[Джоуль]] [[Эрг]]
| Scientists = [[Джоуль, Джеймс Прескотт|Джоуль]]
| ShowScientists = true
| cTopic = Третья тема
| Template = Физическая теория
}}
'''Механи́ческая рабо́та '''— [[физическая величина]] — [[скаляр]]ная количественная мера действия [[сила|силы]] (равнодействующей сил) на тело или сил на систему тел. Зависит от численной величины и направления силы (сил) и от [[Перемещение (кинематика)|перемещения]] тела (системы тел)<ref>{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |часть= Работа силы|ссылка часть= http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3206.html |заглавие=[[Физическая энциклопедия]] |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]] |издание= |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]] |год=1994 |том=4|страницы=193-194 |страниц=704 |серия= |isbn=5-85270-087-8 |тираж=40000}}</ref>.

При постоянной силе и прямолинейном движении [[Материальная точка|материальной точки]], работа рассчитывается как произведение величины силы на перемещение и на косинус угла между векторами перемещения и силы: <math>A = Fs\cos(F,s)</math>. В более сложных случаях (непостоянная сила, криволинейное движение) это соотношение применимо к малому промежутку времени, а для вычисления полной работы необходимо суммирование по всем таким промежуткам.

В механике совершение работы над телом является единственной причиной изменения его [[механическая энергия|энергии]]; в других областях физики энергия изменяется и за счёт иных факторов (например, в [[Термодинамика|термодинамике]] — теплообмена).

== Определение работы ==
По определению, «элементарная» (совершаемая за бесконечно малое время) работа — скалярное произведение действующей на материальную точку [[сила|силы]] <math>\vec{F}</math> на [[перемещение]] <math>d\vec{s}</math>, то есть
: <math>\delta A = \vec{F}\cdot d\vec{s} </math>.
Использование символа ''δ'' (а не <math>d</math>) обусловлено тем, что [[дифференциал (математика)| дифференциал ]] работы не обязательно полный.
Работа за конечный промежуток времени — [[интеграл]] элементарной работы:
: <math>A = \int \delta A </math>.
Если имеется система [[Материальная точка|материальных точек]], выполняется суммирование по всем точкам. При наличии нескольких сил их работа определяется как работа равнодействующей (векторной суммы) этих сил.

== Обозначения, размерность ==
Работа обычно обозначается заглавной буквой <math>A</math> (от {{lang-de|[[wikt:Arbeit|'''A'''rbeit]]}} — работа, труд) или заглавной буквой <math>W</math> (от {{lang-en|[[wikt:work|'''w'''ork]]}} — работа, труд).

[[Размерность физической величины|Единицей измерения (размерностью)]] работы в [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]] является [[джоуль]], в [[СГС]] — [[эрг]]. При этом
: 1 Дж = 1 [[кг]]·[[метр|м]]²/[[секунда|с]]² = 1 [[Ньютон (единица измерения)|Н]]·м;
: 1 эрг = 1 [[грамм|г]]·[[сантиметр|см]]²/[[секунда|с]]² = 1 [[Дина (единица измерения)|дин]]·[[Сантиметр|см]];
: 1 [[эрг]] = 10−7 [[Джоуль|Дж]].

== Вычисление работы ==
=== Случай одной материальной точки ===
[[Файл:Mehaaniline töö.svg|thumb|right]]
При прямолинейном движении [[Материальная точка|материальной точки]] и постоянном значении приложенной к ней [[сила|силы]], работа (этой силы) равна произведению проекции вектора силы на направление движения и длины вектора перемещения, совершённого точкой:
: <math>A = F_s s = F s\ \mathrm{cos}(F,s) = \vec F\cdot\vec s</math>
Здесь «<math>\,\cdot\,</math>» обозначает [[скалярное произведение]], <math>\vec s</math> — [[вектор перемещения]].

Если направление приложенной силы ортогонально перемещению тела или перемещение равно нулю, то работа этой силы равна нулю.

В общем случае, когда сила не постоянна, а движение не прямолинейно, работа вычисляется как [[Криволинейный интеграл#Механические приложения|криволинейный интеграл второго рода]] по траектории точки<ref>Это делается исходя из того, что можно разбить суммарное конечное перемещение на маленькие последовательные перемещения <math>d\vec{s}</math>, на каждом из которых сила будет почти постоянной, а значит можно будет воспользоваться определением для постоянной силы, введённым выше. Затем работы на всех этих перемещениях <math>d\vec{s}</math> суммируется, что и даёт в результате [[интеграл]].</ref>:
: <math>A = \int \vec F\cdot d\vec {s}</math>
(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из перемещений <math>d\vec{s}</math>, если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат<ref>Как это очень часто бывает. Например, в случае кулоновского поля, растягивающейся пружины, силы тяготения планеты итд.</ref>, интеграл определяется<ref>По сути через предыдущий, поскольку здесь <math>\vec F(t) = \vec F(\vec r(t))</math>; вектор же малого перемещения <math>d\vec{s}</math> совпадает с <math>d\vec{r}</math>.</ref> следующим образом:
: <math>A = \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1}\vec F\left(\vec r\right)\cdot d\vec{r}</math>,
где <math>\vec r_0</math> и <math>\vec r_1</math> — [[радиус-вектор]]ы начального и конечного положения тела. Например, если движение происходит в плоскости <math>xy</math>, а <math>\vec{F} = F_x\vec{e}_x + F_y\vec{e}_y</math> и <math>d\vec{r} = dx\vec{e}_x + dy\vec{e}_y</math> (<math>\vec{e}_x</math>, <math>\vec{e}_y</math> — [[Единичный вектор|орты]]), то последний интеграл обретёт вид <math>A = \int (F_x + F_y|dy/dx|)dx</math>, где производная <math>dy/dx</math> берётся для кривой <math>y(x)</math>, по которой движется точка.

Если сила <math>\vec{F}</math> является [[Консервативные силы|консервативной (потенциальной)]], результат вычисления работы будет зависеть только от начального и финального положения точки, но не от траектории, по которой она перемещалась.

=== Случай системы точек или тела ===
Работа сил по перемещению системы из <math>N</math> материальных точек определяется как сумма работ этих сил по перемещению каждой точки (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в работу этих сил над системой):
: <math> A = \sum A_n,\quad n = 1,2,..,N </math>.

Если тело не является системой дискретных точек, его можно разбить (мысленно) на множество [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малых]] элементов (кусочков), каждый из которых можно считать материальной точкой, и вычислить работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл:
: <math> A = \int \delta A(\vec{r}') = \iint\frac{d\vec{F}(\vec{r}')}{dV'}\cdot d\vec{r}(\vec{r}')dV' </math>,
где <math>dA(\vec{r}')</math> — работа по перемещению бесконечно малого фрагмента объёма тела <math>dV'</math>, локализованного около координаты <math>\vec{r}'</math> (в системе отсчёта тела), от начального до финального положения, <math>d\vec{F}/dV'</math> (Н/м3) — плотность действующей силы, а интегрирование проводится по всему объёму тела.

Эти формулы могут быть использованы как для вычисления работы конкретной силы или класса сил, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.

== Работа и кинетическая энергия ==
[[Кинетическая энергия]] вводится в механике в прямой связи с понятием работы.

С использованием [[Второй закон Ньютона|второго закона Ньютона]], позволяющего выразить силу через ускорение как <math>\vec{F}=m\vec{a}</math> (где <math>m</math> — масса материальной точки), а также соотношений <math>d\vec{s} = d\vec{r} = \vec{v}dt</math> и <math>d(v^2)/dt =
d(\vec{v}\cdot\vec{v})/dt = 2\vec{a}\cdot\vec{v}</math>, элементарная работа может быть переписана как
: <math>\delta A = m\vec{a}\cdot\vec{v}dt = \frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{2}\right) dt</math>.
При интегрировании от начального до финального момента получится
: <math>A = \Delta\left(\frac{mv^2}{2}\right)=\Delta E_k</math>,
где <math>E_k</math> — [[кинетическая энергия]]. Для материальной точки она определяется как половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости и выражается<ref>{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |часть=Кинетическая энергия |ссылка часть=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1614.html |заглавие=[[Физическая энциклопедия]] |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]] |издание= |место=М. |издательство=[[Советская энциклопедия]] |год=1990 |том=2 |страницы=360 |страниц=704 |серия= |isbn=5-85270-061-4 |тираж=100000}}</ref> как <math>E_k = mv^2/2</math>. Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

== Работа и потенциальная энергия ==
Сила называется [[Потенциальная сила|потенциальной]], если существует скалярная функция координат, известная как [[потенциальная энергия]] и обозначаемая <math>E_p</math>, такая, что
: <math> \vec{F} = - \nabla E_p</math>.
Здесь <math>\nabla</math> — [[набла|оператор набла]]. Если все силы, действующие на частицу, консервативны, и <math>E_p</math> является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий, соответствующих каждой силе, то
: <math>\vec{F} \cdot d\vec{s} = - \nabla E_p \cdot d\vec{s} = - dE_p
\Rightarrow - dE_p = dE_k \Rightarrow d(E_k + E_p) = 0</math>.
Данный результат известен как [[закон сохранения механической энергии]] и утверждает, что полная механическая энергия
: <math> E = E_k + E_p</math>
в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы, является постоянной во времени. Этот закон широко используется при решении задач [[Классическая механика|классической механики]].

== Работа силы в [[Теоретическая механика|теоретической механике]] ==
Пусть материальная точка <math>M</math> движется по непрерывно дифференцируемой кривой <math>G = \{r=r(s)\}</math>, где s — переменная длина дуги, <math>0\le s\le S</math>, и на неё действует [[сила]] <math>F(s)</math>, направленная по касательной к траектории в направлении движения (если сила не направлена по касательной, то будем понимать под <math>F(s)</math> проекцию силы на положительную касательную кривой, таким образом сведя и этот случай к рассматриваемому далее).


Величина <math>F(\xi _i)\triangle s_i, \triangle s_i = s_i - s_{i-1}, i=1,2,...,i_{\tau}</math>, называется ''элементарной работой'' [[сила|силы]] <math>F</math> на участке <math>G_i</math> и принимается за приближённое значение работы, которую производит сила <math>F</math>, воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую <math>G_i</math>. Сумма всех элементарных работ <math>\sum_{i=1} ^{i_{\tau}}F(\xi_i)\triangle s_i</math> является интегральной суммой Римана функции <math>F(s)</math>.

В соответствии с определением [[Интеграл Римана|интеграла Римана]], можем дать определение работе:

''Предел, к которому стремится сумма <math>\sum_{i=1} ^{i_{\tau}}F(\xi_i)\triangle s_i</math> всех элементарных работ, когда мелкость <math>|\tau |</math> разбиения <math>\tau</math> стремится к нулю, называется работой силы <math>F</math> вдоль кривой <math>G</math>.''

Таким образом, если обозначить эту работу буквой <math>A</math>, то, в силу данного определения,
: <math>A=\lim_{|\tau |\rightarrow 0} \sum_{i=1} ^{i_{\tau}}F(\xi_i)\triangle s_i = \int\limits_0 ^s F(s)ds</math>.

Если положение точки на траектории её движения описывается с помощью какого-либо другого параметра <math>t</math> (например, времени) и если величина пройденного пути <math>s=s(t)</math>, <math>a\leq t \leq b</math> является непрерывно дифференцируемой функцией, то из последней формулы получится
: <math>A=\int\limits_a ^b F[s(t)]s'(t)dt</math>.

== Работа в термодинамике ==
{{main|Термодинамическая работа}}
В термодинамике работа, совершённая газом при расширении<ref>Работа, совершаемая газом при его сжатии, очевидно отрицательна, но вычисляется по той же формуле. Работа, совершаемая газом (или над газом) без его расширения или сжатия (например, в процессе перемешивания мешалкой), в принципе может быть выражена подобной формулой, но всё же не прямо этой, так как она требует обобщения: дело в том, что в формуле <math>\int P dV</math> давление подразумевается одинаковым по всему объёму (что часто выполняется в термодинамике, поскольку речь там часто идёт о процессах, близких к равновесным), что и приводит к наиболее простой формуле (в случае же вращающейся мешалки, например, давление будет разным на передней и задней стороне лопасти, что приведёт к необходимому усложнению формулы, если мы захотим применить её к такому случаю; эти соображения относятся и ко всем другим неравновесным случаям, когда давление неодинаково в разных частях системы).</ref>, рассчитывается как интеграл давления по объёму:
: <math>A_{1 \rightarrow 2} = \int\limits_{V_1}^{V_2} p dV</math>.
Работа, совершённая над газом, совпадает с этим выражением по абсолютной величине, но противоположна по знаку.

* Естественное обобщение этой формулы применимо не только к процессам, где давление есть однозначная функция объёма, но и к любому процессу (изображаемому любой кривой в плоскости <math>PV</math>), в частности, к циклическим процессам.
* В принципе, формула применима не только к газу, но и к чему угодно, способному оказывать давление (надо только чтобы давление в сосуде было всюду одинаковым, что неявно подразумевается в формуле).

Эта формула непосредственно связана с механической работой, хотя, казалось бы, относится к другому разделу физики. Сила давления газа направлена ортогонально к каждой элементарной площадке и равна произведению давления <math>p</math> на площадь <math>dS</math> площадки.
При расширении сосуда, работа, совершаемая газом для смещения <math>h</math> одной такой элементарной площадки, составит
: <math>dA = p \cdot dS \cdot h</math>.
Это и есть произведение давления на приращение объёма вблизи элементарной площадки. После суммирования по всем <math>dS</math>, получится результат, где будет уже полное приращение объёма, как и в главной формуле раздела.

== См. также ==
* [[Закон сохранения энергии]]
* [[Теорема о кинетической энергии системы]]
* [[Механические приложения криволинейных интегралов]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''История механики с древнейших времён до конца XVIII в.'' В 2 т. М.: Наука, 1972.
* [[Кирпичёв, Виктор Львович|Кирпичёв В. Л.]] ''Беседы о механике.'' М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
* Льоцци М. ''История физики.'' М.: Мир, 1970.
* [[Мах, Эрнст|Мах Э.]] ''Принцип сохранения работы: История и корень его.'' СПб., 1909.
* [[Мах, Эрнст|Мах Э.]] ''Механика. Историко-критический очерк её развития.'' Ижевск: РХД, 2000.
* [[Тюлина, Ирина Александровна|Тюлина И. А.]] ''История и методология механики.'' М.: Изд-во МГУ, 1979.
{{rq|
{{стиль статьи|дата=2019-10-25}}
{{нет сносок|дата=2019-10-25}}
}}
[[Категория:Классическая механика]]
[[Категория:Физические величины]]
[[Категория:Энергия]]

Механическая работа - История изменений

imported>Д.Ильин: img