imported>Mikhail Ryazanov: /* Замечания */ оформление

2025-02-07T08:54:00Z

Замечания: оформление

Новая страница

'''Метрика Хаусдорфа''' есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых [[компактное пространство|компактных]] подмножеств [[метрическое пространство|метрического пространства]].
Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге [[Хаусдорф, Феликс|Феликса Хаусдорфа]] «Теория множеств», первое издание 1914 года.
Двумя годами позже та же метрика описывается в книге [[Бляшке, Вильгельм|Вильгельма Бляшке]] «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

== Определение ==
Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> суть два непустых компактных подмножества метрического пространства <math>M</math>. Тогда расстояние по Хаусдорфу, <math>d_H(X,\;Y)</math>, между <math>X</math> и <math>Y</math> есть минимальное число <math>r</math> такое, что замкнутая <math>r</math>-окрестность <math>X</math> содержит <math>Y</math> и также замкнутая <math>r</math>-окрестность <math>Y</math> содержит <math>X</math>.

===Замечания===
Другими словами, если <math>|xy|</math> обозначает расстояние между точками <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> то
: <math>d_H(X, Y) = \max\Big\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|, \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\Big\}.</math>

Эквивалентное определение:
: <math>d_H(X, Y) = \sup_{m\in M}\big\{|\operatorname{dist}_X(m) - \operatorname{dist}_Y(m)|\big\},</math>
где <math>\operatorname{dist}_X\colon M \to \R</math> обозначает функцию расстояния до множества <math>X</math>.

== Свойства ==
Пусть <math>F(M)</math> обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства <math>M</math> с метрикой Хаусдорфа:
* Топология пространства <math>F(M)</math> полностью определяется топологией <math>M</math>.
* (Теорема выбора Бляшке) <math>F(M)</math> компактно тогда и только тогда, когда компактно <math>M</math>.
* <math>F(M)</math> полно тогда и только тогда, когда <math>M</math> полное.

== Вариации и обобщения ==
* Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех [[замкнутое множество|замкнутых]] подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
* Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только [[псевдометрика|псевдометрикой]] и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
* В [[евклидова геометрия|евклидовой геометрии]], часто применяется '''метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности'''. Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> два компактных подмножества евклидова пространства, тогда <math>D_H(X,\;Y)</math> определяется как минимум <math>d_H\bigl(I(X),\;Y\bigr)</math> по всем движениям евклидова пространства <math>I</math>. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
* [[Метрика Громова — Хаусдорфа]] аналогична ''метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности''. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

== Литература ==

*{{книга|автор=[[Бляшке, Вильгельм|Бляшке]]|заглавие=Круг и шар|год=1967|серия=|ссылка=https://web.archive.org/web/20111017234552/http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/krug%26shar.htm|место=М.|издательство=Наука|тираж=|страниц=|isbn=}}
* ''Скворцов В. А.'' [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.16.pdf Примеры метрических пространств] // [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php Библиотека «Математическое просвещение»] {{Wayback|url=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php |date=20140112045039 }}. — 2001. — Выпуск 9.
* ''Хаусдорф'' «Теория множеств»
* Фейеш Тот, Ласло Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с. Тираж 4500 экз.
{{ВС}}
[[Категория:Метрическая геометрия]]

Метрика Хаусдорфа - История изменений

imported>Mikhail Ryazanov: /* Замечания */ оформление