imported>Tosha: /* Замечания */

2026-02-09T17:35:51Z

Замечания

Новая страница

{{значения|Мера}}
'''Ме́ра мно́жества''' — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу [[Множество|множества]] при некотором распределении массы по [[Пространство (математика)|пространству]]. Понятие меры множества возникло в [[Теория функций вещественной переменной|теории функций вещественной переменной]] при развитии понятия [[интеграл]]а<ref>{{Книга:Математическая энциклопедия|3|автор=[[Сазонов, Вячеслав Васильевич|Сазонов В. В.]]|статья=Мера множества|ссылка=|страницы=636}}</ref>.

Собственно, мера — это некоторая [[числовая функция]], ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера как функция должна также обладать свойством [[Аддитивное отображение|аддитивности]] — мера [[Объединение множеств|объединения]] ''непересекающихся'' множеств должна равняться [[Сумма (математика)|сумме]] их мер. Не всякое множество ''измеримо'' — для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует.

Частным случаем меры является [[мера Лебега]] для подмножеств <math>\R^n</math>, обобщающая понятие [[объём]]а <math>(n=3)</math>, [[площадь|площади]] <math>(n=2)</math> или [[длина|длины]] <math>(n=1)</math> на случай множеств, более общих, чем просто ограниченные гладкой поверхностью.

== Определения ==
Пусть задано множество <math>X</math> с некоторым выделенным классом подмножеств <math>\mathcal{F}</math>, предполагается, что данный класс подмножеств является иногда [[кольцо (теория множеств)|кольцом множеств]] или [[Алгебра (теория множеств)|алгеброй множеств]], в наиболее общем случае — [[полукольцо#Полукольцо множеств|полукольцом множеств]].

Функция <math>\mu\colon\mathcal{F}\to[0,\;\infty]</math> называется '''мерой''' (иногда '''объёмом'''), если она удовлетворяет следующим аксиомам:
# <math>\mu(\varnothing)=0</math> — мера [[Пустое множество|пустого множества]] равна нулю;
# Для любых непересекающихся множеств <math>A,B\in\mathcal{F},</math> <math>A\cap B=\varnothing</math>
#: <math>\mu(A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)</math> — мера объединения непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств (''аддитивность, конечная аддитивность'').
====Замечания====
*Первая [[аксиома]] является удобной, но в некотором смысле избыточной: достаточно предположить, что существует хотя бы одно множество с ''конечной'' мерой, из чего будет следовать, что мера пустого множества будет равна нулю (в противном случае добавление к любому множеству конечной меры пустого множества изменило бы меру, несмотря на то, что множество не изменилось).

*Непосредственно из второй аксиомы (в случае кольца множеств) следует, что мера объединения любого ''конечного'' числа непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств:
*: <math>\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right)=\sum\limits_{i=1}^n \mu(A_i)</math>.
:В случае определения над полукольцом множеств, данное свойство конечной аддитивности обычно принимается вместо второй аксиомы, так как из попарной аддитивности конечная аддитивность в общем случае не следует<ref>Контрпример для случая полукольца: пусть <math>X</math> = <math>\{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>\mathcal{F}</math> = <math>\{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 2\}, X\}</math>, и определим функцию <math>\mu</math> следующим образом: <math>\mu(\varnothing)=0</math>, <math>\mu(\{1\})=\mu(\{2\})=\mu(\{3\})=\mu(\{4\})=1</math>, <math>\mu(\{1, 2\})=2</math>, <math>\mu(X)=3</math>. Попарная аддитивность и аксиомы полукольца здесь выполняются, но конечной аддитивности нет.</ref>.

=== Счётно-аддитивная мера ===
Из (конечной) аддитивности меры в общем случае не следует, что аналогичное свойство выполнено и для ''счётного'' объединения непересекающихся множеств. Выделяют специальный важный класс мер, называемых ''счётно-аддитивными'' мерами.

Пусть задано множество <math>X</math> с выделенной [[сигма-алгебра|<math>\sigma</math>-алгеброй]] <math>\mathcal{F}</math>.

Функция <math>\mu\colon\mathcal{F}\to[0,\;\infty]</math> называется ''счётно-аддитивной'' (или ''<math>\sigma</math>-аддитивной'') ''мерой'', если она удовлетворяет следующим аксиомам:
# <math>\mu(\varnothing)=0.</math>
# (''[[σ-аддитивность|<math>\sigma</math>-аддитивность]]'') Если <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{F}</math> — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из <math>\mathcal{F}</math>, то есть <math>E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j</math>, то:
: <math>\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n)</math>.

==== Замечания ====

* Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается ''счётно-аддитивная мера''.

* Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.

* Если мера всего пространства конечна, то есть <math>\mu(X)<\infty</math>, то такая мера сама по себе называется '''конечной'''. В противном случае мера '''бесконечна'''.

* Обычно измеримые относительно заданной меры множества составляют собственный подкласс в классе всех подмножеств пространства <math>X</math>. И, хотя существует несколько общих схем, позволяющих продолжать меры на бо́льшие классы измеримых множеств, иногда продолжение меры возможно лишь ценой утраты ключевых свойств. Например, [[мера Лебега]] в конечномерных [[Евклидово пространство|евклидовых пространствах]] является инвариантной относительно движений этого пространства. Всякое продолжение меры Лебега на класс всех подмножеств евклидова пространства уже не может быть инвариантным даже относительно одних только сдвигов (смотри [[Мера Лебега#Измеримые множества|пример неизмеримого множества]]). Так что с практической точки зрения такие продолжения теряют ценность.

* На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с Борелевской <math>\sigma</math>-алгебры на множество всех ограниченных подмножеств, сохраняющее ''конечную'' аддитивность меры и такую, что конгруэнтные множества имеют равную меру. Начиная с размерности 3 этого сделать невозможно.

== Связанные определения ==
* Тройка <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> называется '''пространством с мерой''', если <math>(X,\;\mathcal{F})</math> есть [[измеримое пространство]], а <math>\mu\colon\mathcal{F}\to\R</math> — определённая на нём мера.
* Если <math>\mu</math> является [[вероятность|вероятностной мерой]], то такое пространство с мерой называется [[вероятностное пространство|вероятностным пространством]].
* '''Носитель меры''' ― наименьшее [[замкнутое множество]], на котором сосредоточена мера. Носитель меры <math>\mu</math> обычно обозначается <math>\operatorname{supp}(\mu)</math>. Точнее говоря, <math>\operatorname{supp}(\mu)</math> это дополнение к наибольшему [[открытое множество|открытому множеству]] <math>\Omega</math> такого, что <math>\mu(\Omega)=0</math>.

== Свойства ==
Из определения следует, что мера обладает как минимум следующими свойствами (предполагается, что мера задана как минимум на [[полукольцо|полукольце]] множеств):

* Мера пустого множества равна нулю
*: <math>\mu(\varnothing)=0</math>
** Это свойство либо предполагается в определении меры в качестве аксиомы, либо предполагается, что существует хотя бы одно множество, мера которого ''конечна''. Непосредственно из этого и следует, что мера пустого множества должна быть равна нулю (иначе добавление пустого множества к множеству конечной меры увеличит меру этого множества, хотя множество при этом не изменится). Случай бесконечности меры всех множеств не представляет никакого интереса и практического смысла. Поэтому наличие множеств конечной меры подразумевается изначально.
** Из равенства меры множества нулю в общем случае не следует, что это множество пусто. Принято говорить о ''[[Множество меры 0|множествах меры ноль]]''.

* Монотонность — мера подмножества не больше меры самого множества
*: <math> A \subseteq B \Rightarrow \mu(A)\leqslant\mu(B)</math>
: Это интуитивно понятное свойство — чем «меньше» множество, тем меньше его «размер».

* Мера разности вложенных множеств равна разности мер этих множеств
*: <math> A \subseteq B \Rightarrow \mu(B \backslash A)=\mu(B)-\mu(A)</math>

* Мера объединения двух произвольных множеств равна сумме мер этих множеств минус мера их пересечения (если последняя определена):
*: <math> \mu(A \cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu (A \cap B)</math> ([[формула включений-исключений]])

=== Свойства счётно-аддитивных мер ===
Счётно-аддитивные меры, в дополнение к указанным, обладают также следующими свойствами.

* Непрерывность: мера предела бесконечной последовательности вложенных множеств равна пределу последовательности мер этих множеств:
*: <math> A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3... \supseteq A=\bigcap^\infty_{n=1} A_n \Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_n)=\mu(A)</math>
** Здесь предполагается, что мера первого множества конечна.
* Также имеет место данное свойство для «обратной» последовательности множеств
*: <math> A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3... \subseteq A=\bigcup^\infty_{n=1} A_n \Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_n)=\mu(A)</math>

* Счётная монотонность означает, что мера подмножества счётного объединения множеств не больше суммы мер этих множеств:
*: <math>A\subseteq \bigcup^\infty_{i=1}A_i \Rightarrow \mu(A) \leqslant \sum^\infty_{i=1} \mu(A_i)</math>

== Примеры ==
* [[Мера Жордана]] — пример конечно-аддитивной меры.
* [[Мера Лебега]] — пример счётно-аддитивной меры.
* [[Вероятность]] — пример конечной меры.
* [[Мера Хаусдорфа]]
* [[Мера Бореля]]
* [[Мера Хаара]]
* [[Ультрафильтр]] может быть определён как конечно-аддитивная мера со значениями в множестве из двух элементов <math>\{0,1\}</math>

== Продолжение мер ==
Определять меру в явном виде на каждом множестве из соответствующей сигма-алгебры (кольца или алгебры) множеств зачастую сложно и не нужно, поскольку меру достаточно определить на каком-нибудь классе измеримых множеств, а затем с помощью стандартных процедур (и при известных условиях) продолжить на кольцо, алгебру или сигма-алгебру множеств, порождённые этим классом.

=== Продолжение с полукольца ===
Класс [[измеримое множество|измеримых множеств]] по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или [[сигма-алгебра|сигма-алгеброй]] множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо.

Пусть начальный класс измеримых множеств <math>\mathcal{F}_0</math> имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из <math>\mathcal{F}_0</math> их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из <math>\mathcal{F}_0</math>, то есть найдётся конечный набор ''непересекающихся'' множеств <math>C_1, C_2, ..., C_n</math> из <math>\mathcal{F}_0</math>, таких что
: <math>A\setminus B = C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_n</math>.

Пусть <math>\mathcal{F}</math> означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из <math>\mathcal{F}_0</math>. Класс <math>\mathcal{F}</math> [[Замыкание (алгебра)|замкнут относительно]] операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим <math>\mathcal{F}_0</math> (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция <math>\mu</math> на <math>\mathcal{F}_0</math> однозначно продолжается до аддитивной функции на <math>\mathcal{F}</math>, тогда и только тогда, когда её значения согласованы на <math>\mathcal{F}_0</math>. Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств <math>A_1, A_2, ... , A_n</math> и <math>B_1, B_2, ..., B_m</math> из <math>\mathcal{F}_0</math>, если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер:
: Если <math>\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i = \bigcup\limits_{j=1}^{m}B_j</math>, то <math>\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(A_i) = \sum\limits_{j=1}^{m}\mu(B_j)</math>.

=== Пример ===
Пусть <math>\mathcal{F}_1</math> и <math>\mathcal{F}_2</math> — классы измеримых множеств на пространствах <math>X_1</math> и <math>X_2</math>, имеющие структуру полукольца. Множества вида <math>A\times B</math>, где <math>A\in \mathcal{F}_1</math>, <math>B\in \mathcal{F}_2</math> образуют полукольцо <math>\mathcal{F}</math> множеств на пространстве <math>X = X_1\times X_2</math>.

Если на <math>\mathcal{F}_1</math> и <math>\mathcal{F}_2</math> заданы меры <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math>, то на <math>\mathcal{F}</math> определена аддитивная функция <math>\mu(A\times B) = \mu_1(A)\mu_2(B)</math>, удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее <math>\mathcal{F}</math>, называется [[Произведение мер|прямым произведением мер]] <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math> и обозначается <math>\mu = \mu_1 \otimes \mu_2</math>. Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера <math>\mu</math> будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри [[Теорема Фубини]]).

== Вариации и обобщения ==
Один из вариантов обобщения понятия — [[заряд (теория меры)|заряд]], который может принимать отрицательные значения

Иногда меру рассматривают как произвольную конечно-аддитивную функцию с областью значений в [[абелева полугруппа|абелевой полугруппе]]: для счётно-аддитивной меры естественная область значений — топологическая абелева [[полугруппа]] ([[топология]] нужна для того, чтобы можно было говорить о сходимости ряда из мер счётного числа измеримых частей, на которые в определении счётной аддитивности разбивается измеримое множество). Примером нечисловой меры является мера со значениями в [[Векторное пространство|линейном пространстве]], в частности, проекторонозначная мера, участвующая в геометрической формулировке [[Спектральная теорема|спектральной теоремы]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор = Вулих, Б. З.|заглавие = Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла)|издательство = Наука|место = М.|год = 1973|страниц = 352}}
* [[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]] Теория меры. — М.: [[Издательство иностранной литературы]], 1953. — 282 с. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (книга в 2011 году является библиографической редкостью)
* [[А. Н. Колмогоров]], С. В. Фомин. Элементы теории функций и [[Функциональный анализ|функционального анализа]] Наука, 1976.
* [[Богачёв, Владимир Игоревич|Богачёв В. И.]] Основы теории меры, 2-е изд., в двух томах, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва-Ижевск, 2006.
* Богачёв В. И., [[Богачёв, Владимир Игоревич|Смолянов О. Г.]] Действительный и функциональный анализ. Издательства: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
* Богачёв В. И., Гауссовские меры, Наука, [[Москва]], 1997.
* Богачёв В. И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2008.

{{вс}}
{{Интегральное исчисление}}

[[Категория:Теория меры]]

Мера множества - История изменений

imported>Tosha: /* Замечания */