imported>Tosha: откат правок 2A00:1370:8184:B354:ED1D:350:3D30:CFF9 (обс.) к версии Изумруд

2024-01-27T19:12:47Z

откат правок 2A00:1370:8184:B354:ED1D:350:3D30:CFF9 (обс.) к версии Изумруд

Новая страница

'''Мера Жордана''' — один из способов формализации понятия [[длина|длины]], [[Площадь фигуры|площади]] и [[Объём (геометрия)|<math>n</math>-мерного объёма]] в <math>n</math>-мерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]].

== Определение ==
Меру Жордана можно определить как единственную [[Конечно-аддитивная мера|конечно-аддитивную меру]], определённую на [[Кольцо (теория множеств)|кольце многогранников]] и удовлетворяющую следующим условиям:
#Меры [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтных]] многогранников равны.
#Мера [[Единичный куб|единичного куба]] равна единице.

Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется ''кольцом квадрируемых множеств''.

== Построение ==
[[Файл:Jordan illustration.png|right|thumb|Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.]]
Мера Жордана <math>m\Delta</math> параллелепипеда <math>\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]</math> в <math>\R^n</math> определяется как произведение
: <math>m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).</math>
Для ограниченного множества <math>E\subset\R^n</math> определяются:
* [[внешняя мера]] Жордана
*: <math>m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E</math>
* внутренняя мера Жордана
*: <math>m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing</math>, если <math>k\neq m,</math>
здесь <math>\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N</math> — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество <math>E</math> называется '''измеримым по Жордану''' (или '''квадрируемым'''), если <math>m_eE=m_iE</math>. В этом случае мера Жордана равна <math>mE=m_eE=m_iE</math>.

== Свойства ==

* Множества, измеримые по Жордану, образуют [[Кольцо (теория множеств)|кольцо]], на котором мера Жордана является [[Конечно-аддитивная мера|конечно-аддитивной мерой]].
* Мера Жордана инвариантна относительно [[движение (математика)|движений]] евклидова пространства.
* Множество <math>F</math> измеримо по Жордану, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многогранников <math>P</math> и <math>Q</math> таких, что
*:<math>P\subset F\subset Q</math> и <math>mP+\varepsilon>m Q</math>.
* Ограниченное множество <math>E\subset\R^n</math> измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его [[Граница (топология)|граница]] имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]]). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа [[Гладкая кривая|гладких кривых]] и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой [[кривая Жордана|кривой Жордана]], которые не измеримы по Жордану.
* Внешняя мера Жордана одна и та же для <math>E</math> и <math>\bar E</math> (замыкания множества <math>E</math>) и равна [[мера Бореля|мере Бореля]] <math>\bar E</math>.

== История ==
Приведённое понятие меры ввели [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] ([[1887]]) и [[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордан]] ([[1892]]). Впоследствии понятие было обобщено [[Лебег, Анри Леон|Лебегом]] на более широкий класс множеств.

== Пример множества, неизмеримого по Жордану ==
Рассмотрим меру Жордана <math>m</math>, определённую на <math>\R</math>. Пусть <math>A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}</math> — множество точек единичного отрезка., <math>\Q</math> — подмножество рациональных точек множества <math>A</math>, тогда <math>\Q</math> — неизмеримое по Жордану множество, так как <math>m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q</math>, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество [[Мера Лебега|измеримо по Лебегу]]).

== Литература ==
* {{книга
|заглавие = Элементы теории функций и функционального анализа
|автор= [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А.Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С.В.]]
|издание = изд. четвёртое, переработанное
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1976 год|1976]]
|страниц = 544
}}
* ''Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д.'' Сборник задач по математическому анализу, глава 3;
* ''Peano, G.'' Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
* ''Jordan, C.'' Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

== См. также ==
* [[Мера множества]]
* [[Мера Лебега]]
* [[Мера Хаусдорфа]]
* [[Мера Бореля]]

{{Интегральное исчисление}}

[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Теория меры]]

Мера Жордана - История изменений

imported>Tosha: откат правок 2A00:1370:8184:B354:ED1D:350:3D30:CFF9 (обс.) к версии Изумруд