imported>Sldst-bot: Уточнение даты установки ш:Нет источников: 2009-12-01 (до 2024-10-20 ш:Rq с параметром sources)

2025-09-05T12:14:35Z

Уточнение даты установки ш:Нет источников: 2009-12-01 (до 2024-10-20 ш:Rq с параметром sources)

Новая страница

{{Другие значения|Маятник (значения)}}
[[Файл:Pendulo_simples.jpg|thumb|270px|Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, <math>\theta</math> — угол отклонения от вертикали в некоторый момент]]
'''Математи́ческий ма́ятник''' — [[Гармонический осциллятор|осциллятор]], представляющий собой [[механика#механическая система|механическую систему]], состоящую из [[материальная точка|материальной точки]] на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого [[Брус (механика)|стержня]] и находящуюся в однородном поле сил [[Гравитация|тяготения]]<ref name=FES>''{{книга|заглавие=Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия|часть=Маятник|год=1983|автор=Главный редактор А. М. Прохоров|язык=ru}}'' — Статья в Физическом энциклопедическом словаре</ref>. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. [[Период колебаний|Период]] малых собственных [[колебания|колебаний]] маятника длины <math>L</math>, подвешенного в поле тяжести, равен
<center><math>T_0 = 2\pi \sqrt{L \over g}</math></center>
и не зависит, в первом приближении, от [[Амплитуда|амплитуды]] колебаний и [[Масса|массы]] маятника. Здесь <math>g</math> — [[ускорение свободного падения]].

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный [[физический маятник]] при [[Физический маятник#Период малых колебаний физического маятника|малых амплитудах]] колеблется так же, как математический с [[Приведённая длина|приведённой длиной]].

== Характер движения маятника ==
Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной [[Степени свободы (физика)|степенью свободы]]. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).


При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса <math>L</math>, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса<ref name=FES />. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

== Уравнение колебаний маятника ==
[[Файл:Simple-Pendulum-Labeled-Diagram.png|thumb|140px|Маятник (схема с обозначениями)]]
Если в записи [[Второй закон Ньютона|второго закона Ньютона]] <math> m\vec{a} = \vec{F}</math> для математического маятника выделить [[тангенциальное ускорение|тангенциальную составляющую]] (<math> ma_{\tau} = F_{\tau}</math>), получится выражение
: <math> mL\ddot \theta = -mg\sin\theta </math>,
так как <math>a_{\tau} = \dot v = d/dt(Ld\theta/dt)</math>, а из действующих на точку сил [[Сила тяжести|тяжести]] и натяжения ненулевую компоненту <math>F_{\tau}</math> даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются [[обыкновенное дифференциальное уравнение|обыкновенным дифференциальным уравнением]] (ДУ) вида
: <math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0</math>,
где неизвестная функция <math>\theta(t)</math> ― это угол отклонения маятника в момент <math>t</math> от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, <math>L</math> ― длина подвеса, <math>g</math> ― [[ускорение свободного падения]]. Предполагается, что [[затухающие колебания|потерь энергии]] в системе нет. В области [[Приближение малых углов|малых углов]] <math>\sin\theta\approx\theta</math> это уравнение превращается в
: <math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \theta = 0</math>.
Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол <math>\theta</math> и его производную <math>\dot\theta</math> при <math>t=0</math>.

== Решения уравнения движения ==

=== Возможные типы решений ===
В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости <math>\dot\theta</math> от угла <math>\theta</math>. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.
<gallery>
File:Pendulum_0deg.gif|Маятник висит
File:Pendulum_45deg.gif|Малые колебания (размах 45°)
File:Pendulum_90deg.gif|Колебания с размахом 90°
File:Pendulum_135deg.gif|Колебания с размахом 135°
File:Pendulum_170deg.gif|Колебания с размахом 170°
File:Pendulum_180deg.gif|Фиксация в верхнем положении
File:Pendulum_190deg.gif|Движение близкое к сепаратрисе
File:Pendulum_220deg.gif|Вращение маятника
</gallery>

=== Гармонические колебания ===
Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена <math>\sin\theta\approx\theta</math>, называется гармоническим уравнением:
: <math>\ddot \theta + \omega_0^2 \theta = 0</math>,
где <math>\omega_0 = \sqrt{g/L}</math> ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл [[Собственная частота|собственной частоты]] колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» <math>x = L\sin\theta\approx L\theta</math> (ось <math>x</math> лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):
: <math>\ddot x + \omega_0^2 x = 0</math>.

Малые колебания маятника являются [[Гармонические колебания|гармоническими]]. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по [[Синус|синусоидальному закону]]<ref>Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.</ref>:
: <math>x = A \sin(\omega_0 t + \alpha)</math>,
где <math>A</math> — [[амплитуда]] колебаний маятника, <math>\alpha</math> — начальная [[Фаза колебаний|фаза]] колебаний.

Если пользоваться переменной <math>x</math>, то при <math>t=0</math> необходимо задать координату <math>x_0</math> и скорость <math>v_{x0}</math>, что позволит найти две независимые константы <math>A</math>, <math>\alpha</math> из соотношений <math>x_0 = A\sin\alpha</math> и <math>v_{x0} = A\omega_0\cos\alpha</math>.

=== Случай нелинейных колебаний ===
Вновь запишем полученное нами ДУ.

: <math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0</math>.

Выполним интегрирование обеих частей уравнения по <math>\theta</math>:

: <math>\int \ddot{\theta}d\theta +\int \frac{g}{L}\sin\theta d\theta = \int 0d\theta</math>.

Легко видеть, что

: <math>\int \ddot{\theta}d\theta=\int \dot{\theta}d\dot{\theta}=\frac{\dot{\theta}^2}{2}</math>.

Тогда

: <math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\frac{g}{L}\cos\theta={\rm const}</math>.

Получившаяся постоянная интегрирования равна<math>\,\varepsilon = \frac{E}{mL^2}</math>, где <math>E</math> — энергия математического маятника. Теперь подставим <math>\omega_0 = \sqrt{g/L}</math>:

: <math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\omega_0^2\cos\theta=\varepsilon</math>.

Прибавим к обеим частям <math>\omega_0^2</math>:

: <math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}+\omega_0^2(1-\cos\theta)=\varepsilon+ \omega_0^2</math>.

С учётом соотношения <math>1-\cos\theta=2\sin^2 \frac{\theta}{2}</math>,

: <math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}+2\omega_0^2\sin^2 \frac{\theta}{2}=\varepsilon+ \omega_0^2</math>.

Как легко видеть, в этом уравнении можно разделить переменные. Для этого заметим, что

: <math>{d\theta \over dt} = \sqrt{2\varepsilon+ 2\omega_0^2-4\omega_0^2\sin^2 \frac{\theta}{2}}</math>.

Теперь разделяем переменные:

: <math>\int {d{\theta\over 2} \over \sqrt{{\varepsilon+ \omega_0^2 \over 2}-\omega_0^2\sin^2 \frac{\theta}{2}}} =t+{\rm const} </math>.

Если умножить обе части уравнения на <math>\omega_0</math> и обозначить <math>\varkappa^2 = \frac{\varepsilon+\omega_0^2}{2\omega_0^2}</math> (физический смысл этого коэффициента — максимальный синус угла отклонения маятника), имеем:

: <math>\int {d{\theta\over 2} \over \sqrt{\varkappa^2-\sin^2 \frac{\theta}{2}}} = \omega_0 t+{\rm const} </math>.

С заменой <math>\sin\varphi={\sin \frac{\theta}{2} \over \varkappa}</math> получается

: <math>\int {\varkappa \cos\varphi d{\varphi} \over \varkappa\sqrt{1 - \sin^2\varphi} \sqrt{1 - \varkappa^2 \sin^2\varphi}} = \int {d{\varphi} \over\sqrt{1 - \varkappa^2 \sin^2\varphi}} = \omega_0 t+{\rm const}</math>.

Учитывая произвольность константы, можно утверждать, что

: <math>\sin \varphi = \operatorname{sn}(\omega_0 t + {\rm const}; \varkappa)</math>,

где <math>\operatorname {sn}</math> — это [[Эллиптические функции Якоби|синус Якоби]]. Для <math>\varkappa < 1</math> он является периодической функцией, при малых <math>\varkappa</math> совпадает с обычным тригонометрическим синусом. Выполняя обратную замену и полагая константу равной нулю(чего всегда можно добиться правильным выбором начала отсчёта времени), получим закон движения для больших амплитуд

: <math>\sin \frac{\theta}{2} = \varkappa \cdot \operatorname{sn}(\omega_0 t; \varkappa),</math>.

Период колебаний нелинейного маятника составляет
: <math>T = \frac{2\pi}{\Omega}, \quad \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega_0}{K(\varkappa)}</math>,
где ''K'' — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:
: <math>T = T_0 \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \dots \right\}
</math>
где <math>T_0 = 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math> — период малых колебаний, <math>\theta_0</math> — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:
: <math>T = T_0 \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right)</math>.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «[[Notices of the American Mathematical Society|Заметки американского математического общества]]» 2012 года<ref>{{статья |автор=Adlaj S. |заглавие=An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse |ссылка=http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf#page=3 |язык=en |издание=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]] |тип= |год=2012 |том=59 |номер=8 |страницы=1096—1097 |doi= |issn=1088-9477 |archivedate=2016-05-06 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160506161654/http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf#page=3 }}</ref>:

: <math>T = \frac{2\pi}{M\big(\cos(\theta_0/2)\big)} \sqrt\frac{L}{g}</math>,

где <math>M(s)</math> — [[АГС метод Гаусса|арифметико-геометрическое среднее]] чисел 1 и <math>s</math> (здесь <math>s = \cos(\theta_0/2)</math>).

=== Движение по сепаратрисе ===
Движение маятника по [[сепаратриса|сепаратрисе]] является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

== Факты ==
Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.
* Если амплитуда колебания маятника близка к <math>\pi</math>, то есть движение маятника на [[Фазовая плоскость|фазовой плоскости]] близко к [[сепаратриса|сепаратрисе]], то под действием малой ''периодической'' вынуждающей силы система демонстрирует ''[[Теория хаоса|хаотическое поведение]]''. Это одна из простейших механических систем, в которой [[хаос]] возникает под действием периодического возмущения<ref>{{Статья|автор=В. В. Вечеславов|заглавие=Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений|ссылка=http://journals.ioffe.ru/articles/viewPDF/8247|язык=|издание=Журнал технической физики|тип=|год=2004|месяц=|число=|том=74|номер=5|страницы=1—5|issn=|archivedate=2017-02-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170214185919/http://journals.ioffe.ru/articles/viewPDF/8247}}</ref>.
* Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется [[Маятник Капицы|маятником Капицы]].
* В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли ([[маятник Фуко]]).

== См. также ==
* [[Физический маятник]]
* [[Маятник Фуко]]
* [[Маятник Дубошинского]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20040603152226/http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lab.htm Коллекция Java-апплетов], моделирующая поведение математических маятников, в частности [https://web.archive.org/web/20040603082649/http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/vpend.htm маятника Капицы].
* [http://school-physics.spb.ru/tiki-index.php?page=virt_mechanics_pendulum Java-апплет], моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением [[Фазовая траектория|фазовой траектории]].
* [https://www.youtube.com/watch?v=XGq0FuX_Azc Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР]

{{Нет источников |дата=2009-12-01}}

[[Категория:Динамика]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения]]
[[Категория:Модели в физике]]
[[Категория:Маятники]]

Математический маятник - История изменений

imported>Sldst-bot: Уточнение даты установки ш:Нет источников: 2009-12-01 (до 2024-10-20 ш:Rq с параметром sources)