imported>Fendoxious в 21:55, 1 июня 2024

2024-06-01T21:55:56Z

Новая страница

'''Максимальным идеалом''' [[коммутативное кольцо|коммутативного кольца]] называется всякий [[собственный идеал]] кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.

== Свойства ==
* (Считаем далее, речь идёт о [[Кольцо с единицей|кольцах с единицей]].) Множество всех идеалов кольца индуктивно упорядочено по отношению включения, поэтому ([[Лемма Цорна]]) во всяком кольце максимальные идеалы существуют, более того, для всякого собственного идеала ''I'' кольца ''R'' существует максимальный идеал кольца ''R'', который его содержит.

* Если [[Элемент множества|элемент]] ''a'' кольца ''R'' не [[Обратимый элемент|обратим]], тогда все элементы кольца, кратные ему, образуют собственный идеал. Поэтому каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале. Если элемент ''a'' обратим, всякий идеал, который его содержит, совпадает со всем кольцом, поэтому обратимые элементы не содержатся ни в каком собственном идеале, соответственно и ни в каком максимальном.

* Если все необратимые элементы кольца ''R'' образуют идеал, он является максимальным, и притом единственным - других максимальных идеалов в кольце ''R'' нет. (Верно и обратное: если в кольце ''R'' максимальный идеал единствен, он включает в себя все необратимые элементы кольца.) В этом случае кольцо ''R'' называется [[локальное кольцо|локальным кольцом]].

* Характеристическое свойство максимального идеала: идеал <math>I</math> кольца <math>R</math> максимален тогда и только тогда, когда [[факторкольцо]] <math>R/I</math> является [[Поле (алгебра)|полем]] (в нём каждый ненулевой элемент обратим).

* Если кольцо ''R'' имеет структуру коммутативной [[банахова алгебра|банаховой алгебры]] над полем [[комплексное число|комплексных чисел]] '''С''', факторкольцо по максимальному идеалу ''R/I'' [[изоморфизм|изоморфно]] '''C'''. В этом случае идеал ''I'' определяет [[гомоморфизм]] кольца ''R'' в поле '''C''', ядром которого является идеал ''I''. <br> Для каждого ''a'' существует единственное число <math>\lambda_a</math>, такое что <math>a-\lambda_a e\in I</math> (''e'' - единица алгебры ''R''). Соответствие <math>a\to \lambda_a</math> и есть тот самый гомоморфизм.

* Из характеристического свойства следует, что всякий максимальный идеал является [[простой идеал|простым]].

== Примеры ==
* В кольце [[целое число|целых чисел]] '''Z''' максимальными идеалами являются все [[простой идеал|простые идеалы]]: если ''p'' - простое число, тогда идеал (''p'')=''p'''''Z''' максимален. Например, чётные числа образуют максимальный идеал, а числа, кратные 4 - образуют идеал, но не максимальный - этот идеал содержится в идеале чётных чисел.
* В [[кольцо многочленов|кольце многочленов]] ''k[X,Y]'', где ''k'' - [[алгебраически замкнутое поле]], максимальные идеалы имеют вид <math>I_{a,b} = \{f\in k[X,Y]: f(a,b) = 0 \},\quad a,b\in k</math>.
* Кольцо [[формальный степенной ряд|степенных рядов]] <math>k[[X]]</math> над полем ''k'' - [[локальное кольцо]]. Необратимые элементы - те, которые не содержат свободного члена. Они образуют идеал. Он - единственный максимальный идеал в этом кольце.

[[Категория:Теория колец]]

Максимальный идеал - История изменений

imported>Fendoxious в 21:55, 1 июня 2024