imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов

2025-11-15T11:07:52Z

унификация языковых шаблонов

Новая страница

[[Файл:Linear Function Graph.svg|thumb|right|Изображение графиков двух функций с точкой пересечения, координаты которой при подстановке в каждое уравнение дадут одно и то же значение]]
'''Линейное уравнение''' — это [[алгебраическое уравнение]], у которого полная степень составляющих его [[многочлен]]ов равна 1. Линейное уравнение можно представить:
* в общей форме: <math>a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0</math>;
* в канонической форме: <math>a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = -b</math>,

где <math>x_1, \ldots, x_n</math> — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а <math>b, a_1, \ldots, a_n</math> — постоянные или коэффициенты, которые являются [[Вещественное число|действительными числами]]. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты <math>a_1, \ldots, a_n</math> не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный [[многочлен]] к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.

Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что <math>a_1\ne 0</math>). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системы координат]] в [[Двумерное пространство|двумерном (евклидовом) пространстве]]. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с ''n'' переменными образуют [[гиперплоскость]] (подпространство размерности ''n-1'') в [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] с размерностью ''n''.

Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и [[Инженерное дело|инженерном деле]] отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является [[Система линейных алгебраических уравнений|системой линейных алгебраических уравнений]].

== Уравнение с одной переменной ==
=== Математическое описание ===
Уравнение имеет вид: <math>ax+b=0,</math> его решение сводится к виду: <math>x=-\frac ba</math> в общем случае, когда {{mvar|''a'' ≠ 0}}. «Неизвестной» называется в данном случае переменная {{mvar|x}}. Если {{math|1=''a'' = 0}}, то возможны два варианта. В случае, если {{mvar|b}} тоже равняется нулю, решений бесконечно много, поскольку любое число является решением. Но если {{mvar|''b'' ≠ 0}}, то у уравнения не может быть корней, поскольку <math>\not \exist x \in \mathbb R : 0 \cdot x = - b \ne 0</math>. В последнем случае подобное уравнение является {{нп3|Противоречивые и непротиворечивые уравнения|противоречивым|en|Consistent and inconsistent equations}} (т.е. нельзя подобрать переменную, чтобы было верным равенство)<ref>[https://economy-ru.info/info/94530/ Уравнение противоречивое] {{Wayback|url=https://economy-ru.info/info/94530/ |date=20180119103242 }} {{ref|ru}}</ref>.

=== Примеры решения ===
Дано линейное уравнение в виде результата умножения двух чисел; известен один из множителей, второй неизвестен, но известен результат.
:<math>3 \cdot x = 24</math>

В данном случае для того, чтобы найти неизвестный множитель <math>x</math>, результат умножения ''24'' нужно разделить на известный множитель ''3''. Результатом операции деления будет ''8'' как корень данного уравнения.
:<math>x = \frac{24}{3} = 8</math>.

Линейное уравнение такого типа, как
:<math>0 \cdot x = 7,</math>
не имеет решения, так как результат умножения любого числа на 0 всегда даёт 0. Вместе с тем уравнение вида
:<math>0 \cdot x = 0</math>
имеет бесконечно много решений. Следовательно, для него <math>x</math> может быть любым числом.

== Уравнение с двумя переменными ==
=== Описание в общей и канонической формах ===
В случае, если в уравнении есть две переменные, линейное уравнение можно представить в общей форме: <math>ax+by+c=0</math>, где переменными являются величины {{mvar|x}} и {{mvar|y}}, а коэффициентами — {{mvar|a}}, {{mvar|b}} и {{mvar|c}}. В канонической формах это уравнение имеет вид <math>Ax + By = C,</math> при {{math|1=''A'' = ''a'', ''B'' = ''b''}} и {{math|1=''C'' = –''c''}}{{sfn|Barnett, Ziegler, Byleen|2008|p=15}}.

''Решением'' или ''корнями'' такого уравнения называют такую пару значений переменных <math>(x;y)</math>, которая обращает его в [[Тождество (математика)|тождество]]. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет [[бесконечное множество]].

Существуют и другие формы линейного уравнения, к которым его можно привести с помощью простых алгебраических преобразований (прибавления одной и той же величины к уравнению, умножения или деления на одно и то же число, не равное нулю и т.д.)

==== Пример ====
[[Файл:Superposition qtl4.svg|thumb|График функции для рассматриваемого уравнения <math>3 \cdot x + 4 \cdot y = 12</math>]]
Дано линейное уравнение:
:<math>3 \cdot x + 4 \cdot y = 12</math>

Для определения множества всех решений можно преобразовать уравнение в функцию с зависимостью <math>y</math> от <math>t</math>. В таком случае получится
:<math>x = t</math> и <math>y = (12 - 3 \cdot t)/4</math> при <math>t \in \mathbb{R}</math>

Так выводится график данной функции, включающий все пары ''x'' и ''y'', обращающим уравнение в верное равенство:
:<math>f(x) = (12 - 3 \cdot x)/4 = -(3/4) \cdot x + 3</math>.

=== [[Линейная функция]] ===
В случае, если {{math|''b'' ≠ 0}}, то уравнение <math>ax+by+c=0</math> можно привести к такому виду, чтобы значение {{mvar|y}} зависело от {{mvar|x}}. Уравнение может быть представлено в таком случае в форме [[Линейная функция|линейной функции]] <math>y = kx + m</math>, где <math>k=-\frac{a}{b};\ m=-\frac{c}{b}</math> (или сразу <math>y=-\frac ab x-\frac cb.</math>). [[График функции]] в данном случае (т.е. геометрическая модель или иллюстрация для данного уравнения) представляет собой прямую типа <math>y=kx+m</math>, где ''k'' — [[угловой коэффициент]] (он же <math>-\frac ab</math>), а ''m'' =<math>-\frac cb</math> — координата точки пересечения графика с осью ''y''.

В [[Математический анализ|математическом анализе]] линейными называются те функции, график которых является именно прямой. В [[линейная алгебра|линейной алгебре]] линейной называется функция, отображающая сумму на сумме изображений слагаемых. Таким образом, в линейной алгебре функция является линейной, если {{math|1=''c'' = 0}}, а её график проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, графики которых являются произвольными линиями, называются аффинными.

=== Геометрический смысл ===
{{Кратное изображение
|зона = right
|направление = horizontal
|подпись = '''Графики линейных уравнений'''
|зона_подписи = center
|изобр1 = Graf of linear equation.png
|ширина1 = 130
|подпись1 = Геометрическое место точек линейного уравнения от двух переменных вида {{math|1=''y'' = ''ax'' + ''b''}}
|изобр2 = x is a.svg
|ширина2 = 200
|подпись2 = Вертикальная линия уравнения {{math|1=''x'' = ''a''}}
|изобр3 = y is b.svg
|ширина3 = 200
|подпись3 = Горизонтальная линия уравнения {{math|1=''y'' = ''b''}}
}}
Любая пара {{math|(''x'', ''y'')}}, являющаяся решением уравнения <math>ax+by+c=0</math>, может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что {{mvar|a}} и {{mvar|b}} не равняются нулю. Верно и обратное, что каждая линия является множеством решений линейного уравнения. Само словосочетание «линейное уравнение» и имеет корни в соотношении между прямыми линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными представляет собой уравнение, все решения которого графически представляют собой линию.

В случае, если {{math|''b'' ≠ 0}}, линия является графиком функции {{mvar|x}}, описанным выше. Если {{math|1=''b'' = 0}}, то линия будет вертикальной, параллельной оси ординат ({{mvar|y}}-оси), для уравнения <math>x=-\frac ca,</math>, которое не является графиком функции {{mvar|x}}. Соответственно, если {{math|''a'' ≠ 0}}, то линия является графиком функции {{mvar|y}}, а если {{math|1=''a'' = 0}} — то горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс, для уравнения <math>y=-\frac cb.</math>

== Уравнение с тремя и более переменными ==
Линейное уравнение, в котором содержится больше двух переменных, может иметь форму типа <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>. Коэффициент {{mvar|b}}, иногда обозначаемый как {{math|''a''{{sub|0}}}}, является [[свободный член|свободным членом]]. Коэффициентами могут в таком случае называть все переменные типа {{math|''a''{{sub|''i''}}}} при условии {{math|''i'' > 0}}. В уравнениях с тремя неизвестными последние обозначаются буквами <math>x,\; y</math> и <math>z</math>.

Решение такого уравнения — такой {{mvar|n}}-кортеж, замена каждого элемента в котором соответствующей переменной преобразовала бы уравнение в верное равенство. Чтобы уравнение имело смысл, хотя бы один коэффициент при переменной должен быть ненулевым. Если же все коэффициенты при переменных равняются нулю, то либо уравнение будет противоречивым (при {{mvar|''b'' ≠ 0}}) как не имеющее решений, либо же любой {{nowrap|{{mvar|n}}-кортеж}} будет решением данного уравнения. Все {{mvar|n}}-кортежи, которые являются решением линейного уравнения с {{nowrap|{{mvar|n}} переменными}} — это координаты точек в системе координат для {{math|(''n'' − 1)}}-размерной гиперплоскости в {{nowrap|{{mvar|n}}-размерном}} евклидовом пространстве (или [[Аффинное пространство|аффинном пространстве]], если коэффициенты — [[Комплексное число|комплексные числа]] или принадлежат любому полю). В случае трёх переменных эта гиперплоскость становится плоскостью (согласно одной из аксиом [[Евклидова геометрия|Евклидовой геометрии]]).

Если в линейном уравнении {{math|''a''{{sub|''j''}} ≠ 0}}, тогда существует решение данного уравнения для {{math|''x''{{sub|''j''}}}} <math>x_j = -\frac b{a_j} -\sum_{i\in \{1,\ldots,n\}, i\ne j} \frac {a_i}{a_j}x_i .</math> Если коэффициенты — вещественные числа, то таким образом определяется [[вещественнозначная функция]] для {{нп3|Функция нескольких вещественных переменных|''n'' вещественных переменных|en|Function of several real variables}}.

=== Пример ===
Дано линейное уравнение с тремя неизвестными:
:<math>3 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + x_3 = 7</math>

Решением данного уравнения будет являться [[плоскость]], которой принадлежат три точки типа:
:<math>x_1 = t_1, \; x_2 = t_2, \; x_3 = 7 - 3 \cdot t_1 - 2 \cdot t_2</math> при <math>t_1, t_2 \in \mathbb{R}</math>.

== См. также ==
* {{нп3|Линейное уравнение над кольцом||en|Linear equation over a ring}}
* [[Алгебраическое уравнение]]
* [[Линейное неравенство]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=R.A. Barnett, M.R. Ziegler, K.E. Byleen|заглавие=College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences|ссылка=https://archive.org/details/collegemathemati0000barn_r8w2|издание=11th|год=2008|издательство=Pearson|место=Upper Saddle River, N.J.|isbn=0-13-157225-3|ref=Barnett, Ziegler, Byleen}}
* {{книга|автор=Ron Larson, Robert Hostetler|заглавие=Precalculus:A Concise Course|год=2007|издательство=Houghton Mifflin|isbn=978-0-618-62719-6|ссылка=https://archive.org/details/precalculusconci00lars|ref=Larson, Hostetler}}
* {{книга|автор=W.A. Wilson, J.I. Tracey|заглавие=Analytic Geometry|ссылка=https://archive.org/details/analyticgeometr00wilsgoog|издание=revised|год=1925|издательство=D.C. Heath|ref=Wilson, Tracey}}
* {{книга|автор=Manfred Leppig|заглавие=Lernstufen Mathematik|издательство=Girardet|год=1981|isbn=3-7736-2005-5|страницы=61–74}}
* {{книга|автор=Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. |ref=Бронштейн, Семендяев |заглавие=[[Справочник по математике (Бронштейн, Семендяев)|Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов]] |издание=изд. 13-е |страниц=544 |место=М. |издательство=Наука |год=1986 }}
* {{книга|автор=Helmuth Preckur|заглавие=Lineare Algebra und Analytische Geometrie|издательство=Mentor Verlag (Mentor-Lernhilfe Band 50)|место=München|год=1983|isbn=3-580-64500-5|страницы=72–85, 106–114}}

== Ссылки ==
{{Викиучебник|Решение линейных уравнений|Решение линейных уравнений}}
* {{springer|title=Linear equation|id=p/l059190}}

{{Алгебраические уравнения}}

[[Категория:Алгебраические уравнения]]
[[Категория:Элементарная математика]]
[[Категория:Элементарная алгебра]]

Линейное уравнение - История изменений

imported>Alex NB OT: унификация языковых шаблонов