imported>MBH: откат правок 2A03:D000:6509:AEF:24C1:D5D2:C308:E666 (обс.) к версии 85.64.215.192

2024-08-06T06:37:22Z

откат правок 2A03:D000:6509:AEF:24C1:D5D2:C308:E666 (обс.) к версии 85.64.215.192

Новая страница

{{Значения|Отображение (значения)}}
{{Значения|Оператор}}
'''Лине́йное отображе́ние''' — обобщение [[Линейная функция|линейной числовой функции]] (точнее, функции <math>y=kx</math>) с [[Вещественное число|вещественных чисел]] на [[Евклидово пространство|евклидовы пространства]] более высокой размерности, а также на произвольные [[Векторное пространство|векторные пространства]]. Является центральным понятием [[Линейная алгебра|линейной алгебры]].

Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Являются частным случаем [[Модуль над кольцом|гомоморфизмов модулей]]. Линейные отображения из пространства в себя обычно называются '''''линейными операторами''''' или '''''линейными преобразованиями'''''<ref>{{Книга|автор=Э.Б. Винберг|заглавие=Курс алгебры|ответственный=|издание=|место=|издательство=МЦНМО|год=2013|страницы=234|страниц=590|isbn=978-5-4439-0209-8, ББК 22.14|isbn2=}}</ref>.

== Определение ==
''Линейным отображением'' [[Линейное пространство|векторного пространства]] <math>V</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> в векторное пространство <math>W</math> над тем же полем называется [[отображение]]

:<math>f\colon V \to W</math>,

удовлетворяющее ''условиям линейности''{{sfn|Шилов|с=203|1961}}

# <math>f(x + y) = f(x) + f(y)</math>
# <math>f(\alpha x) = \alpha f(x)</math>

для всех <math>x,y\in V</math> и <math>\alpha\in K</math>.

Если <math>W=V</math>, то <math>f</math> называется ''линейным оператором'' или ''линейным преобразованием'' пространства '''<math>V</math>'''. Если выполняется только первое свойство, то отображение <math>f</math> называется [[Аддитивное отображение|аддитивным]].

== Пространство линейных отображений ==
Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля <math>K</math> как
*<math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in V</math>
*<math>(kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in V, \forall k\in K</math>

то множество всех линейных отображений из <math>V</math> в <math>W</math> представит собой векторное пространство, которое обычно обозначается как <math>\mathcal{L}(V, W)</math>.

=== Ограниченные линейные операторы. Норма оператора ===
Если векторные пространства <math>V</math> и <math>W</math> являются [[Линейное топологическое пространство|линейными топологическими пространствами]], то есть на них определены [[Топологическое пространство|топологии]], относительно которых операции этих пространств [[Непрерывное отображение|непрерывны]], то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит [[ограниченные множества (топологические векторные пространства)|ограниченные множества]] в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в [[нормированное пространство|нормированных пространствах]] множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число ''N'' такое что <math>\forall x \in V, \|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V}</math>. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных ''N'', удовлетворяющая указанному выше условию, называется '''нормой оператора''':

<math>\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}.</math>

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введённой нормы). Если пространство <math>W</math> — [[банахово пространство|банахово]], то и пространство линейных операторов тоже банахово.

== Обратный оператор ==
{{main|Обратный оператор}}
Оператор <math>A^{-1}</math> называется обратным линейному оператору <math>A</math>, если выполняется соотношение:
<math>A^{-1}A=AA^{-1}=1</math>

Оператор <math>A^{-1}</math>, обратный линейному оператору <math>A</math>, также является ''линейным'' оператором. Если <math>A</math> — линейный непрерывный оператор, отображающий одно [[банахово пространство]] (или [[F-пространство]]) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

== Матрица линейного отображения ==

'''Матрица линейного отображения''' — матрица, выражающая линейное отображение в некотором [[базис]]е. Для того, чтобы её получить, необходимо подействовать отображением на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица отображения аналогична координатам вектора. При этом действие отображения на [[Вектор (математика)|вектор]] равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис <math>\mathbf{e}_k</math>. Пусть <math>\mathbf{x}</math> — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
: <math>\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k</math>,

где <math>x^k</math> — координаты вектора <math>\mathbf{x}</math> в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается [[Соглашение Эйнштейна|суммирование по немым индексам]].

Пусть <math>\mathbf{A}</math> — произвольное линейное отображение. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
: <math>\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k</math>.

Вектора <math>\mathbf{Ae}_k</math> также разложим в выбранном базисе, получим
: <math>\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j</math>,

где <math>a^j_k</math> — <math>j</math>-я координата <math>k</math>-го вектора из <math>\mathbf{Ae}_k</math>.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
: <math>\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j</math>.

Выражение <math>a^j_kx^k</math>, заключённое в скобки, есть не что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица <math>a^j_k</math> при умножении на столбец <math>x^k</math> даёт в результате координаты вектора <math>\mathbf{Ax}</math>, возникшего от действия оператора <math>\mathbf{A}</math> на вектор <math>\mathbf{x}</math>, что и требовалось получить.

{{Комментарий}} Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов <math>\mathbf{e}_k</math>. Иными словами, порядок базисных элементов предполагается строго упорядоченным.

=== Пример преобразования ===
[[Файл:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Векторы представлены как матрица 2 x 2, образованная сторонами соответствующего единичного квадрата, трансформируемого в параллелограмм.]]

Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида

: <math>
\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,
</math>

может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами <math>(0, 0)</math>, <math>(a, b)</math>, <math>(a+c,b+d)</math>, и <math>(c, d)</math>.
Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путём умножения матрицы '''A''' на каждый вектор-столбец <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math> и <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>. Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.

В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями '''R'''2. Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зелёным — трансформированная. Начало координат <math>(0, 0)</math> обозначено чёрной точкой.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|Горизонтальный {{iw|сдвиг (геометрия)|сдвиг|en|Shear mapping}} (m=1.25)
|Горизонтальное [[отражение (геометрия)|отражение]]
|{{iw|Гиперболический поворот(геометрия)|Гиперболический поворот|en|Squeeze mapping}} (r=3/2)
|[[Гомотетия]] (3/2)
|<cite id=rotation_matrix>[[Поворот]] (π/6R = 30°</cite>)
|-
| <math>\begin{bmatrix}
1 & 1.25 \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0 \\
0 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0 \\
0 & 3/2 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}</math>
|-
|width=20%| [[Файл:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
|width=20%| [[Файл:Flip map.svg|150px]]
|width=20%| [[Файл:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
|width=20%| [[Файл:Scaling by 1.5.svg|125px]]
|width=20%| [[Файл:Rotation by pi over 6.svg|125px]]
|}

== Важные частные случаи ==
* '''[[Линейная форма]]''' — линейное отображение, для которого <math> W = K</math>:     <math>f\colon V\to K</math>
* '''[[Эндоморфизм|Линейный эндоморфизм]]''' — линейное отображение, для которого <math>V = W</math>(оператор):     <math>f\colon V\to V</math>
* '''[[Тождественный оператор]]''' (единичный оператор)— оператор <math>x \mapsto x</math>, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
* '''[[Нулевой оператор|Нулевое отображение]]''' — оператор, переводящий каждый элемент <math>V</math> в нулевой элемент <math>W</math>.
* '''[[Проектор (математика)|Проектор]]''' — оператор сопоставляющий каждому <math>x</math> его проекцию на подпространство.
* '''[[Сопряжённый оператор|Сопряжённое отображение]]''' к отображению <math>A \in L(V)</math> — отображение <math>A^*</math> на <math>V^*</math>, заданное соотношением <math>A^*f(x) := f(Ax)</math>.
* '''[[Самосопряжённый оператор]]''' — оператор на [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют '''гипермаксимальными эрмитовыми'''.
* '''[[Эрмитов оператор|Эрмитов (или симметрический) оператор]]''' — такой оператор <math>A</math>, определённый на подпространстве гильбертова пространства, что <math>(Ax,y)=(x,Ay)</math> для всех пар <math>x,y</math> из области определения <math>A</math>. Для всюду определённых операторов данное свойство совпадает с самосопряжённостью.
* '''[[Унитарный оператор]]''' — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение <math>(Ax,Ay)=(x,y)</math>; в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора <math>\|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|</math>. Оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором <math>A^{-1}=A^*</math>; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля ''К'' унитарный оператор называют ''ортогональным''.

== Связанные понятия ==

* [[Ядро (алгебра)|''Ядром'']] линейного отображения <math>f\colon V\to W</math> называется подмножество <math>V</math>, которое отображается в нуль:
*:<math>\mbox{Ker}\,f = \{ x\in V\mid f(x) = 0 \}</math>
: Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве <math>V</math>.

* ''Образом'' линейного отображения <math>f</math> называется следующее подмножество <math>W</math>:
*:
*:<math>\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in W\mid x \in V \}</math>
: Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве <math>W</math>.
*Образом подмножества<ref>M не обязано быть подпространством.</ref> <math>M\subset V</math> относительно линейного преобразования A называется множество <math>AM=\{Ax: x\in M\}</math>.

* Отображение <math>f\colon V\times U \to W</math> [[прямое произведение|прямого произведения]] линейных пространств <math>V</math> и <math>U</math> в линейное пространство <math>W</math> называется ''[[билинейное отображение|билинейным]]'', если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств <math>f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B</math> называется ''[[полилинейное отображение|полилинейным]]'', если оно линейно по всем своим аргументам.
* Оператор <math>\tilde L</math> называется ''линейным неоднородным'' (или ''аффинным''), если он имеет вид
*: <math>\tilde L = L + v</math>
: где <math>L</math> — линейный оператор, а <math>v</math> — вектор.
* Пусть <math>A:V\to V</math>. Подпространство <math>M\subset V</math> называется ''инвариантным'' относительно линейного отображения, если <math>\forall x\in M, Ax\in M</math><ref>Или: <math>AM\subset M</math>.</ref>.
: Критерий инвариантности. Пусть <math>M\subset X</math> — подпространство,такое что <math>X</math> разлагается в [[прямая сумма|прямую сумму]]: <math>X=M\oplus N</math>. Тогда <math>M</math> инвариантно относительно линейного отображения <math>A</math> тогда и только тогда, когда <math>P_MAP_M=AP_M</math>, где <math>P_M</math> — [[Проектор (алгебра)|проектор]] на подпространство <math>M</math>.
* '''Фактор-операторы'''<ref>Также употребляется написание '''фактороператоры'''.</ref>. Пусть <math>A:V\to V</math> — линейный оператор и пусть <math>M</math> — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем [[Факторпространство по подпространству|факторпространство]] <math>V/\,\overset{M}{\sim}</math> по подпространству <math>M</math>. Тогда '''фактор-оператором''' называется оператор <math>A^+</math> действующий на <math>V/\,\overset{M}{\sim}</math> по правилу: <math>\forall x^+\in V/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax]</math>, где <math>[Ax]</math> — класс из факторпространства, содержащий <math>Ax</math>.
* Между [[Двойственное пространство|двойственными пространствами]] задано идущее в обратную сторону [[Двойственное пространство#Двойственные отображения|двойственное отображение]].

== Примеры ==
Примеры линейных однородных операторов:
* оператор дифференцирования: <math>L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}</math>;
* оператор интегрирования: <math>y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau</math>;
* оператор умножения на определённую функцию <math>\varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t)</math>;
* оператор интегрирования с заданным «весом» <math>\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau</math>
* оператор взятия значения функции <math>f</math> в конкретной точке <math>x_0</math>: <math>L\{f\}=f(x_0)</math><ref>Иногда обозначается как <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(x){\delta}(x-x_0)\,dx</math></ref>;
* оператор умножения вектора на матрицу: <math>b=Ax</math>;
* [[поворот Гивенса|оператор поворота]] вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:
* Любое [[аффинное преобразование]];
* <math>y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\varphi(t)</math>;
* <math>y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau+\varphi_1(t)</math>;
* <math>y(t)=\varphi_1(t)x(t)+\varphi_2(t)</math>;
где <math>\varphi(t)</math>, <math>\varphi_1(t)</math>, <math>\varphi_2(t)</math> — вполне определённые функции, а <math>x(t)</math> — преобразуемая оператором функция.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Непрерывный линейный оператор|Линейный непрерывный оператор]]
* [[Аффинное преобразование]]
* [[Вполне непрерывный оператор]]
* [[Интегральный оператор Фредгольма]]
* [[Сопряжённый оператор]]
* [[Спектр оператора]]
* [[Оператор (математика)]]
* [[Выпуклый функционал]]

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г.Е.]] | заглавие = Математический анализ. Специальный курс | место = М.| издательство = Наука | год = 1961 | страниц = 436 | isbn = | ref = Шилов}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Теория операторов]]

Линейное отображение - История изменений

imported>MBH: откат правок 2A03:D000:6509:AEF:24C1:D5D2:C308:E666 (обс.) к версии 85.64.215.192