imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (3)

2025-07-16T10:12:18Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (3)

Новая страница

'''Лемма Ферма́''' — одно из базовых утверждений [[математический анализ|классического анализа]]: [[Производная функции|производная]] дифференцируемой [[Функция (математика)|функции]] в точке локального [[экстремум]]а равна нулю.

Выдвинуто [[Орем, Николай|Николаем Орезмским]] в его учении о широтах и долготах<ref>{{книга
|автор = Исаак Ньютон
|часть = Примечания переводчика
|заглавие = Исаак Ньютон. Математические работы
|оригинал = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744
|ссылка = http://books.mathtree.ru/newton/index_r.html#86
|ответственный = Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.
|издание =
|место = М.—Л.
|издательство = ОНТИ
|год = 1937
|том =
|страницы = 318
|страниц = 452
|серия = [[Классики естествознания]]
|тираж =
|archive-date = 2011-02-27
|archive-url = https://web.archive.org/web/20110227081611/http://books.mathtree.ru/newton/index_r.html#86
}} {{Cite web |url=http://books.mathtree.ru/newton/index_r.html |title=Архивированная копия |access-date=2011-01-17 |archive-date=2011-02-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110227081611/http://books.mathtree.ru/newton/index_r.html |url-status=unfit }}</ref>;
у [[Ньютон, Исаак|Ньютона]] этот факт упоминался как «принцип остановки»<ref>{{книга
|автор = Фихтенгольц Г. М.
|часть = Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа
|заглавие = Основы математического анализа
|издание = 4-е изд
|место = СПб.
|издательство = «Лань»
|год = 2002
|том = 1
|страницы = 423
|страниц = 448
|серия = Учебники для вузов. Специальная литература
|тираж = 5000
|isbn = 5-9511-0010-0
}}</ref>: ''«когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад»''.

В современной нотации для функции <math>f \colon M \subset \R \to \R</math>, имеющей во [[Внутренняя точка|внутренней точке]] [[Область определения|области определения]] <math>x \in M^0</math> [[локальный экстремум]] и имеющей [[Односторонняя производная|односторонние производные]] <math>f'_+(x_0),f'_-(x_0)</math> (конечные или бесконечные), утверждение формулируется следующим образом:
* если <math>x_0</math> — [[точка локального максимума]], то
*: <math>f'_+(x_0) \leqslant 0,\; f'_-(x_0) \geqslant 0</math>;
* если <math>x_0</math> — [[точка локального минимума]], то
*: <math>f'_+(x_0) \geqslant 0,\; f'_-(x_0) \leqslant 0</math>.
В частности, если функция <math>f</math> имеет в <math>x_0</math> [[производная функции|производную]], то <math>f'(x_0) = 0</math>.

Производная [[Дифференцируемая функция|дифференцируемой функции]] в точке локального экстремума равна нулю. Её [[Касательная прямая|касательная]] в этой точке параллельна [[Ось абсцисс|оси абсцисс]]. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует, что это точка экстремума (вместо этого она может быть [[точка перегиба|точкой перегиба]]).

== Примеры ==
Для <math>f(x) = |x|</math> точка <math>x = 0</math> — локальный минимум, и:
: <math>f'_+(0) = 1 \geqslant 0</math>, <math>f'_-(0) = -1 \leqslant 0</math>
(при этом сама функция не является дифференцируемой в точке <math>x = 0</math>).

Для <math>f(x) = x^2</math> точка <math>x = 0</math> — локальный минимум, и <math>f'(0) = 0</math>.

Для <math>f(x) = x^3</math> производная в нуле обращается в нуль (<math>f'(0) = 0</math>), но точка <math>x = 0</math> не является точкой локального экстремума.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{ВС}}
[[Категория:Дифференциальное исчисление]]
[[Категория:Леммы|Ферма]]
[[Категория:Теоремы математического анализа|Ферма]]
[[Категория:Именные законы и правила|Ферма]]

Лемма Ферма - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (3)