imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.3

2023-04-30T02:19:20Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.3

Новая страница

: ''Все числа в данной статье подразумеваются [[Целое число|целыми]]'', если не оговорено иное.

'''Лемма Евклида''' — классический результат элементарной [[теория чисел|теории чисел]]. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII [[Начала Евклида|«Начал»]] [[Евклид]]а и является ключевой для доказательства [[Основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]. Современная формулировка{{sfn |Виноградов|1952|с=20}}:

{{теорема|Если произведение нескольких сомножителей делится на [[простое число]] <math>p</math>, то по крайней мере один из сомножителей делится на <math>p</math>.}}

'''Пример.''' 19 — простое число, и оно делит <math>19019 = 133 \cdot 143.</math> Следовательно, один из сомножителей делится на 19, а именно: <math>133 = 19 \cdot 7.</math>

Если <math>p</math> — не простое число, то теорема может не выполняться. Пример: <math>4 \cdot 15 = 60</math> делится на 20, однако ни один из сомножителей на 20 не делится.

== Доказательство ==
Пусть <math>x\cdot y</math> делится на <math>p</math>, но <math>x</math> не делится на <math>p</math>. Тогда <math>x</math> и <math>p</math> — [[Взаимно простые числа|взаимно простые]], следовательно, найдутся целые числа <math>u</math> и <math>v</math> такие, что
: <math>x\cdot u+p\cdot v=1</math> ([[соотношение Безу]]).
Умножая обе части на <math>y</math>, получаем
: <math>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</math>
Оба слагаемых в левой части делятся на <math>p</math>, значит, и правая часть делится на <math>p</math>, [[ч. т. д.]]<ref>{{книга |автор=Калужнин Л. А. |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a47.htm |заглавие=Основная теорема арифметики |серия=[[Популярные лекции по математике]] |место=М. |издательство=Наука |год=1969 |страниц=32 |страницы=13 (теорема 4) |archivedate=2021-01-26 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210126080421/https://plm.mccme.ru/ann/a47.htm }}</ref>

== Обобщения ==
{{теорема|Если произведение <math>bc</math> делится на <math>a</math> и <math>a, b</math> [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то<ref>{{книга|автор=[[Бухштаб, Александр Адольфович|Бухштаб А. А.]] |заглавие=Теория чисел |место=М.|издательство=Просвещение|год=1966|страницы=46 (теорема 41)|страниц=384}}</ref> <math>c</math> делится на <math>a.</math>}}

Лемма Евклида имеет место не только в [[Кольцо (алгебра)|кольце]] целых чисел, но и в других [[Факториальное кольцо|факториальных кольцах]], где роль простых чисел играют [[Неприводимый элемент|неприводимые элементы]]. В частности, она справедлива в [[Евклидово кольцо|евклидовых кольцах]]<ref>{{книга|автор=Ленг С.|заглавие=Алгебра |ссылка=https://archive.org/details/libgen_00004922|место=М. |издательство=Мир |год=1968 |страниц=564 |страницы=[https://archive.org/details/libgen_00004922/page/n97 89]—90}}</ref>, например:
* Кольцо [[Гауссовы целые числа|целых гауссовых чисел]] <math>\mathbb{Z}[i].</math>
* Кольцо [[многочлен]]ов от одной переменной <math>K[x]</math> над [[поле (алгебра)|полем]] <math>K.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Основы теории чисел |ref=Виноградов
|издательство=ГИТТЛ |место=М.-Л. |год=1952 |страниц=180 }}
* {{статья | автор=Жиков В.В. |заглавие=Основная теорема арифметики |издание=[[Соросовский Образовательный Журнал]] |год=2000 |том=6 |номер=3 |страницы=112—117 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0003_112.pdf|ref=Жиков}}

== Ссылки ==
`* {{h|MathWorld|3={{MathWorld|title=Euclid's Lemma|id=EuclidsLemma}}}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теоремы о простых числах]]
[[Категория:Леммы|Евклида]]

Лемма Евклида - История изменений

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.3