imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

2025-11-04T19:45:01Z

удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

Новая страница

[[Файл:Koch curve construction.svg|right|thumb|200px|Кривая Коха]]

'''Кривая Коха''' — [[фрактал]]ьная [[кривая]], описанная в [[1904 год]]у шведским математиком [[Кох, Хельге фон|Хельге фон Кохом]].

[[Файл:KochFlake.svg|right|thumb|200px|Снежинка Коха]]

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах [[правильный треугольник|правильного треугольника]], образуют замкнутую кривую бесконечной [[Длина кривой|длины]], называемую ''снежинкой Коха''.

== Построение ==
Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом.
Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента.
В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины <math>\frac{1}{3}</math>.
На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и так далее.
Предельная кривая и есть кривая Коха.

{{Hider|
title = Пример скрипта ([[PHP]]) |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
<source lang="php">
<?php
$i = 4;

$image = imagecreatetruecolor(600, 200);
imagefilledrectangle($image, 0, 0, imagesx($image) - 1, imagesy($image) - 1,
imagecolorresolve($image, 255, 255, 255));
$color = imagecolorresolve($image, 0, 0, 0);

drawKoch($image, 0, imagesy($image) - 1, imagesx($image), imagesy($image) - 1, $i, $color);

/**
* Draws koch curve between two points.
* @return void
*/
function drawKoch($image, $xa, $ya, $xe, $ye, $i, $color) {
if($i == 0)
imageline($image, $xa, $ya, $xe, $ye, $color);
else {
// C
// / \
// A---B D---E

$xb = $xa + ($xe - $xa) * 1/3;
$yb = $ya + ($ye - $ya) * 1/3;

$xd = $xa + ($xe - $xa) * 2/3;
$yd = $ya + ($ye - $ya) * 2/3;

$cos60 = 0.5;
$sin60 = -0.866;
$xc = $xb + ($xd - $xb) * $cos60 - $sin60 * ($yd - $yb);
$yc = $yb + ($xd - $xb) * $sin60 + $cos60 * ($yd - $yb);

drawKoch($image, $xa, $ya, $xb, $yb, $i - 1, $color);
drawKoch($image, $xb, $yb, $xc, $yc, $i - 1, $color);
drawKoch($image, $xc, $yc, $xd, $yd, $i - 1, $color);
drawKoch($image, $xd, $yd, $xe, $ye, $i - 1, $color);
}
}

header('Content-type: image/png');
imagepng($image);
imagedestroy($image);
?>
</source>
}}

{{Hider|
title = Пример прямоугольной кривой ([[Pascal]]) |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
<source lang="pascal">
uses GraphABC;
procedure Draw(x, y, l, u : Real; t : Integer);
procedure Draw2(Var x, y: Real; l, u : Real; t : Integer);
begin
Draw(x, y, l, u, t);
x := x + l*cos(u);
y := y - l*sin(u);
end;
begin
if t > 0 then
begin
l := l/3;
Draw2(x, y, l, u, t-1);
Draw2(x, y, l, u+pi/3, t-1);
Draw2(x, y, l, u-pi/3, t-1);
Draw2(x, y, l, u, t-1);
end
else
Line(Round(x), Round(y), Round(x+cos(u)*l), Round(y-sin(u)*l))
end;
begin
SetWindowSize(425,500);
SetWindowCaption('Фракталы: Снежинка Коха');
Draw(10, 354, 400, pi/3, 4);
Draw(410, 354, 400, pi, 4);
Draw(210, 8, 400, -pi/3, 4);
end.
</source>
}}
{{Hider
| title = Пример прямоугольной кривой ([[Python]])
| hidden = 1
| title-style = text-align: left;
| content-style = text-align: left;
| content =
<source lang="python">
import turtle

turtle.hideturtle()
turtle.tracer(0)
turtle.penup()
turtle.setposition(-200, 0)
turtle.pendown()

axiom = "F"
tempAx = ""
iterable = 4

logic = {
'F': 'F-F+F-F'
}

for i in range(iterable):
for j in axiom:
if j in logic:
tempAx += logic[j]
else:
tempAx += j
axiom, tempAx = tempAx, ''

for k in axiom:
if k == '+':
turtle.right(120)
elif k == '-':
turtle.left(60)
else:
turtle.forward(5)

turtle.update()
turtle.mainloop()
</source>
}}

== Свойства ==

[[File:Koch similarity tiling.svg|thumb|200px|[[Замощение (геометрия)|Замощение]] снежинками Коха двух размеров]]

* Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
* Кривая Коха имеет бесконечную длину.
* Кривая Коха не имеет самопересечений.
* Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не [[целое число|целую]]) [[Хаусдорфова размерность|хаусдорфову размерность]], которая равна <math>\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1{,}26</math>, поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом [[подобие|подобия]] <math>\frac{1}{3}</math>.
* Плоскость допускает [[Замощение (геометрия)|замощение]] снежинками Коха двух размеров (площадь меньшей снежинки в 3 раза меньше площади большей). При этом не существует замощения снежинками одного размера.<ref>{{статья |заглавие=Fractal tilings |издание={{Нп3|The Mathematical Gazette|Mathematical Gazette||The Mathematical Gazette}} |том=78 |номер=482 |страницы=193—196 |jstor=3618577 |язык= |автор=Burns, Aidan |год=1994}}.</ref>

== Вариации и обобщения ==
Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку [[ломаная|ломаной]] из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать [[золотое сечение]] (<math> \phi</math>:1:<math> \phi</math>), то получившаяся кривая имеет отношение к [[мозаики Пенроуза|мозаикам Пенроуза]].

Также можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего треугольника.

Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов ({{iw|Кривая Чезаро|Чезаро|en|Césaro curve}}) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка).

{| class="wikitable"
! Вариант
! Иллюстрация
! Получение
|-
| 1D, 85°, угол
| [[Файл:Koch Curve 85degrees.png|thumb|150px|Фрактал Cesaro]]
| Фрактал Cesaro — вариант кривой Коха с углом между 60° и 90° (здесь 85°)
|-
| 1D, 90°, угол
| [[Файл:Quadratic Koch 2.png|thumb|150px|Квадратичная кривая 1-го типа]]
| [[Файл:Quadratic Koch curve type1 iterations.png|thumb|left|450px|Первые 2 итерации]]
|-
| 1D, 90°, угол
| [[Файл:Quadratic Koch.png|thumb|150px|Квадратичная кривая 2-го типа]]
| [[Файл:Quadratic Koch curve type2 iterations.png|thumb|left|450px|Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов]]
|-
| 2D, треугольники
| [[Файл:Koch surface 3.png|thumb|150px|Поверхность Коха]]
| [[Файл:Koch surface 0 through 3.png|thumb|left|450px|Расширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)]]
|-
| 2D, 90°, угол
| [[Файл:Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png|thumb|150px|Квадратичная поверхность 1-го типа]]
| Расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее «вывернутой губке Менгера»<ref>Baird, Eric. '''Alt.Fractals: A visual guide to fractal geometry and design'''. Chocolate Tree Books (2011) ISBN 0-9557068-3-1 — Chapter 3 «Not the Koch Snowflake», esp. pages 23—24.</ref>. На изображении слева — фрактал после второй итерации:
[[Файл:KochCube Animation Gray.gif|thumb|left|300px|Квадратичная поверхность (анимация)]]
|-
| 2D, 90°, угол
| [[Файл:Quadratic Koch 3D (type2 stage1).png|thumb|150px|Квадратичная поверхность 2-го типа]]
| Расширение квадратичного кривой 2 типа. На изображении слева — фрактал после первой итерации
|-
| 2D, сферы
| [[Файл:Sf0 by snogglethorpe@flickr.jpg|thumb|150px|сферическая снежинка Хэйнса (большой зелёный объект)]]
| {{iw|Хэйнс, Эрик|Эрик Хэйнс|en|Eric Haines}} разработал фрактал «сферическая снежинка», который является трёхмерной версией снежинки Коха (используются сферы)
|}

=== Снежинка Коха ===
[[Файл:Kochsim.gif|200px|right]]
[[Файл:Von Koch curve.gif|200px|right]]
Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе [[равносторонний треугольник|равностороннего треугольника]], впервые была описана шведским математиком [[Кох, Нильс Фабиан Хельге фон|Хельге фон Кохом]] в 1904 году<ref name = "sel">{{книга
| автор = E. Seligman
| часть = Between the Dimensions (From Math Mutation podcast 22)
| ссылка часть =
| заглавие = Math Mutation Classics. Exploring Interesting, Fun and Weird Corners of Mathematics
| оригинал =
| ссылка =
| викитека =
| ответственный =
| издание =
| место = Hillsboro, Oregon, USA
| издательство = APRESS
| год = 2016
| volume =
| pages = 53
| columns =
| allpages =
| серия =
| isbn = 978-1-4842-1891-4
| doi = 10.1007/978-1-4842-1892-1
| тираж =
| ref =
}}</ref>. В некоторых работах она получила название «остров Коха»<ref name = "ek">{{книга
| автор = Гелашвили Д. Б., Иудин Д. И., Розенберг Г. С., Якимов В. Н., Солнцев Л. А.
| часть = 2.3. Регулярные фракталы
| ссылка часть =
| заглавие = Фракталы и мультифракталы в биоэкологии
| оригинал =
| ссылка =
| викитека =
| ответственный =
| издание =
| место = Нижний Новгород
| издательство = Нижегородский госуниверситет
| год = 2013
| том =
| страницы = 49
| столбцы =
| страниц = 370
| серия =
| isbn = 978-5-91326-246-2
| doi =
| тираж =
| ref =
}}</ref>.

Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её [[периметр]]а равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную [[площадь]], величина которой равна <math> \frac{8}{5}</math> площади базового треугольника<ref name="pt"/>. Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, [[краевой индекс]] (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми<ref name = "ek"/>. Вычисление [[фрактальная размерность|фрактальной размерности]] снежинки Коха даёт значение, приблизительно равное 1,2619<ref name="sel" /><ref name="ek" />.

Возможно также построение так называемой антиснежинки Коха, алгоритм генерирования которой заключается в вырезании на каждом этапе всё новых и новых треугольников из исходного. Иными словами, рёбра базовой формы модифицируются внутрь, а не наружу. В результате полученная фигура охватывает бесконечное множество несвязанных областей, суммарная площадь которых равна <math> \frac{2}{5}</math> от площади треугольника нулевой итерации<ref name="pt">{{книга
| автор = А. А. Потапов, Ю. В. Гуляев, С. А. Никитов, А. А. Пахомов, В. А. Герман
| часть = Классические фрактальные кривые и множества
| ссылка часть =
| заглавие = Новейшие методы обработки изображений
| оригинал =
| ссылка =
| викитека =
| ответственный = А. А. Потапов
| издание =
| место = {{М.}}
| издательство = «Физматлит»
| год = 2008
| том =
| страницы = 82
| столбцы =
| страниц = 496
| серия =
| isbn = 978-5-9221-0841-6
| doi =
| тираж =
| ref =
}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}
{{навигация}}

== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html Koch Snowflake]

{{внешние ссылки}}
{{Фракталы}}
{{Кривые}}

[[Категория:Фрактальные кривые]]

Кривая Коха - История изменений

imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён