imported>TemirovBot: /* Обозначения */Орфография

2023-10-12T08:48:37Z

Обозначения: Орфография

Новая страница

'''Краевая задача''' (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного [[дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]] (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего [[граничные условия|краевым (граничным) условиям]] в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для [[гиперболическое уравнение|гиперболических]] и [[параболическое уравнение|параболических уравнений]] часто называют '''начально-краевыми''' или '''смешанными''', потому что в них задаются не только граничные, но и [[начальные условия]].

== Обыкновенные дифференциальные уравнения ==

=== Линейные уравнения n-го порядка ===

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид
:<math>L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
где
:<math>L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},</math>
функции <math>f(x)</math> и <math>f_{\nu}(x)</math> непрерывны на отрезке <math>a \le x \le b</math>, <math>f_n(x) \ne 0</math>, краевые условия заданы линейными формами
:<math> U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
<math>\gamma_{\mu}</math> — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов <math>\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}</math> имеет [[ранг матрицы|ранг]] <math>m</math>, при этом краевые условия [[линейная независимость|линейно независимы]]. Если <math>\gamma_{\mu} = 0</math> и <math>f(x) \equiv 0</math>, краевая задача называется ''однородной'', если только <math>\gamma_{\mu} = 0</math> — ''полуоднородной''.{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|с=187}}

=== Задача на собственные значения ===

[[собственные значения|''Собственными значениями'']] называются те значения параметра <math>\lambda</math>, при которых однородная краевая задача
:<math> L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений
называют ''спектром'', а соответствующие нетривиальные решения — ''собственными функциями'' этой задачи.

Если <math> \varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda) </math> — [[фундаментальная система решений]] рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что
:<math> \varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1.\end{array} \right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,</math>
то собственные значения являются нулями ''характеристического детерминанта ([[определитель|определителя]])''
:<math> \Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})] </math>. Если <math>\Delta(\lambda) \not \equiv 0</math>, то множество собственных значений не более чем [[счетное множество|счётно]] как множество нулей [[целая функция|целой функции]].{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|с=193}}

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:
* ''Задача о нахождении собственных значений''. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
* ''Задача о разложении по собственным функциям''. Если <math>u_{\nu}(x)</math> — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция <math>F(x)</math> может быть разложена в сходящийся [[функциональный ряд|ряд]]
:<math>F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)</math>
по функциям <math>u_{\nu}(x)</math>?{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|loc=Часть вторая, глава I, §2}}{{sfn|Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы|1969|loc=Часть первая, главы I, II}}

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является [[задача Штурма-Лиувилля]]:
:<math>\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0</math>
: <math>\begin{array}{l}
\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\
\alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\
\end{array}</math>

=== Функция Грина ===
{{main|Функция Грина}}

{{рамка}}
'''Теорема 1.''' Если однородная краевая задача <math> L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n</math> имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции <math>f(x)</math>, непрерывной на отрезке <math>[a, b]</math>, существует решение полуоднородной краевой задачи <math> L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n</math>, задаваемое формулой
:<math> y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi, </math>
где <math>G(x, \xi)</math> — ''функция Грина'' однородной краевой задачи.{{sfn|Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы|1969|с=40}}
{{конец рамки}}

С точки зрения [[теория операторов|теории операторов]], краевая задача задает линейный [[дифференциальный оператор]] с областью определения, состоящей из <math>n</math> раз [[гладкая функция|непрерывно дифференцируемых]] на отрезке <math>[a, b]</math> функций <math>y</math>, удовлетворяющих краевым условиям <math>U_{\mu}(y) = 0</math>, и действующий по правилу <math>L(y)</math>. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с [[ядро интегрального уравнения|ядром]] <math>G(x, \xi)</math>.

Функция Грина <math>G(x, \xi)</math> однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:
# <math>G(x, \xi)</math> [[непрерывная функция|непрерывна]] и имеет непрерывные [[производная функции|производные]] по <math>x</math> до <math>(n-2)</math>-го порядка включительно для всех значений <math>x</math> и <math>\xi</math> из интервала <math>[a, b]</math>.
# При любом фиксированном <math>\xi</math> из отрезка <math>[a, b]</math> функция <math>G(x, \xi)</math> имеет непрерывные производные <math>(n-1)</math>-го и <math>n</math>-го порядка по <math>x</math> в каждом из интервалов <math>[a, \xi)</math> и <math>(\xi, b]</math>, причем производная <math>(n-1)</math>-го порядка имеет при <math>x = \xi</math> скачок <math>\frac{1}{f_n(x)}</math>.
# В каждом из интервалов <math>[a, \xi)</math> и <math>(\xi, b]</math> функция <math>G(x, \xi)</math>, рассматриваемая как функция от <math>x</math>, удовлетворяет уравнению <math>L(G) = 0</math> и краевым условиям <math>U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n</math>.

{{рамка}}
'''Теорема 2.''' Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.{{sfn|Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы|1969|с=38-39}}
{{конец рамки}}

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу
:<math> L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.</math>
Решение имеет вид
:<math> y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x), </math>
где <math>\psi_k(x)</math> — решения краевых задач
:<math> L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.</math>{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|с=190}}

Краевая задача с параметром
:<math> L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n, </math>
эквивалентна [[интегральное уравнение Фредгольма|интегральному уравнению Фредгольма]] второго рода:
:<math> y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),</math>
где
:<math> g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi. </math>
Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра <math>G(x, \xi)</math>.{{sfn|Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы|1969|с=44}}

=== Системы линейных дифференциальных уравнений ===

Краевая задача состоит в отыскании системы функций <math>u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)</math>, удовлетворяющей системе линейных [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]]
:<math> u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
и [[граничные условия|краевым условиям]]
:<math> U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n, </math>
где <math> f_{\mu}, f_{\mu, \nu} </math> — функции, [[непрерывная функция|непрерывные]] на отрезке <math> a \le x \le b</math>,
:<math> U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right], </math>
матрица
:<math> (\alpha, \beta) =
\left( \begin{array}{llllll}
\alpha_{1,1} & \dots & \alpha_{1,n} & \beta_{1, 1} & \dots & \beta_{1, n} \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
\alpha_{n,1} & \dots & \alpha_{n,n} & \beta_{n, 1} & \dots & \beta_{n, n} \\
\end{array}\right)
</math>
имеет [[ранг матрицы|ранг]] <math>n</math>, <math>\gamma_{\mu}</math> — заданные числа.{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|с=249}}

=== Численные методы решения ===
Большинство [[вычислительные методы|численных методов]] решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

* [[Метод стрельбы]] ''(пристрелки)''. Решается [[задача Коши]], у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, [[метод бисекции]] или [[метод Ньютона]].{{sfn|Калиткин Н. Н. Численные методы|1978|с=262}}
* [[Метод параллельной стрельбы]]. Является обобщением метода стрельбы.
* [[Метод конечных разностей]]. Строится [[конечно-разностная схема|конечно-разностная аппроксимация]] уравнения и краевых условий и решается [[система линейных алгебраических уравнений]].{{sfn|Калиткин Н. Н. Численные методы|1978|с=268}}{{sfn|Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений|1959|с=372}}
* [[Вариационный метод|Вариационные методы]] ([[метод Ритца]], [[метод Галёркина]]).{{sfn|Калиткин Н. Н. Численные методы|1978|с=276}}{{sfn|Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений|1959|с=391}}{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|с=222}}
* ''Метод интегральных уравнений''. Краевая задача при помощи [[функция Грина|функции Грина]] заменяется [[интегральное уравнение|интегральным уравнением]], которое решается с помощью [[численное интегрирование|квадратурных формул]]. {{sfn|На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач|1982|loc=глава 12}}
* [[Метод суперпозиции]]. Решение краевой задачи находится как [[линейная комбинация]] решений нескольких [[задача Коши|задач Коши]].{{sfn|На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач|1982|loc=глава 2}}
* ''Метод прогонки'' (не путать с [[метод прогонки|методом прогонки]] для решения [[трехдиагональная матрица|трёхдиагональных]] [[система линейных алгебраических уравнений|систем линейных алгебраических уравнений]]). Решение краевой задачи
:<math> y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1 </math>
удовлетворяет дифференциальному уравнению
:<math>y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)</math>,
где функции <math>\alpha_0(x), \alpha_1(x)</math> находятся как решения [[задача Коши|задачи Коши]]
:<math>\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,</math>
:<math> \alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.</math>
Затем <math>y(x)</math> находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию <math>y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)</math>.{{sfn|Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений|1959|loc=глава 9, §9}}{{sfn|На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач|1982|loc=глава 3}}

=== Применение ===

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.{{sfn|Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям|1971|с=187}} Решение [[уравнения в частных производных|уравнений в частных производных]] по [[метод разделения переменных|методу Фурье]] приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в [[функциональный ряд|ряд]] по собственным функциям.{{sfn|Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы|1969|с=88}}

== Уравнения в частных производных ==

=== Обозначения ===

Пусть <math>G</math> — ограниченная область в [[евклидово пространство|<math>\mathbb{R}^n</math>]] с кусочно-гладкой границей <math>S</math>, <math>n</math> — вектор [[нормаль|нормали]] к границе <math>S</math>, направленный вовне области <math>G</math>, <math>\frac{\partial u}{\partial n}</math> — [[производная по направлению]] нормали,
<math>Q_{\infty} = G \times (0, \infty)</math>. Функции <math>p, q, \alpha, \beta, \rho</math> удовлетворяют условиям:
:<math> p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,</math>
:<math> \alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,</math>
:<math> \rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.</math>
Здесь <math>\bar G = G \cup S</math> — замыкание области <math>G</math>, <math>C(\bar G)</math> — множество функций, [[непрерывная функция|непрерывных]] в <math>\bar G</math>, <math>C^k(\bar G)</math> — множество функций, <math>k</math> раз [[гладкая функция|непрерывно дифференцируемых]] в <math>\bar G</math>.

=== Уравнения гиперболического типа ===

Смешанная (краевая) задача для [[гиперболическое уравнение|уравнения гиперболического типа]] — это задача нахождения функции <math>u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})</math>, удовлетворяющей уравнению
:<math> \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},</math>
начальным условиям
:<math> u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,</math>
и граничному условию
:<math>\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0. </math>
Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости
:<math> F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G) </math>
и условие согласованности
:<math> \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0</math>.
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от <math>u_0, u_1, F</math>.{{sfn|Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики|2004|loc = §6.2}}

=== Уравнения параболического типа ===

Смешанная (краевая) задача для [[параболическое уравнение|уравнения параболического типа]] состоит в нахождении функции <math>u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})</math>, удовлетворяющей уравнению
:<math> \rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},</math>
начальному условию
:<math> u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G, </math>
и граничному условию
:<math> \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty). </math>
Для существования решения необходимы следующие условия гладкости
:<math> F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),</math>
и условие согласованности
:<math> \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).</math>
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от <math>F, u_0, v</math>.{{sfn|Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики|2004|loc = §6.3}}

=== Уравнения эллиптического типа ===

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного [[уравнение Лапласа|уравнения Лапласа]]
:<math>\Delta u = 0</math>.
Пусть область <math>G \in \mathbb{R}^3</math> такова, что <math> G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G</math>.

* ''Внутренняя [[задача Дирихле]]:'' найти [[гармоническая функция|гармоническую]] в области <math>G</math> функцию <math>u \in C(\bar G)</math>, принимающую на границе <math>S</math> заданные ([[непрерывная функция|непрерывные]]) значения <math>u_0^-</math>.
* ''Внешняя [[задача Дирихле]]:'' найти [[гармоническая функция|гармоническую]] в области <math>G_1</math> функцию <math>u \in C(\bar G_1)</math>, принимающую на <math>S</math> заданные (непрерывные) значения <math>u_0^+</math> и обращающуюся в нуль на бесконечности.
* ''Внутренняя [[задача Неймана]]:'' найти [[гармоническая функция|гармоническую]] в области <math>G</math> функцию <math>u \in C(\bar G)</math>, имеющую на <math>S</math> заданную (непрерывную) правильную нормальную производную <math>u_1^-</math>.
* ''Внешняя [[задача Неймана]]:'' найти [[гармоническая функция|гармоническую]] в области <math>G_1</math> функцию <math>u \in C(\bar G_1)</math>, имеющую на <math>S</math> заданную (непрерывную) правильную нормальную производную <math>u_1^+</math> и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для [[уравнение Пуассона|уравнения Пуассона]]:
:<math>\Delta u = - f</math>.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.{{sfn|Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики|2004|loc=§5.6}}

=== Методы решения ===
* [[Метод разделения переменных]]{{sfn|Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики|2004}}{{sfn|Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики|1999}}
* Метод распространяющихся волн (для [[гиперболическое уравнение|уравнений гиперболического типа]]){{sfn|Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики|1999|с=70}}
* [[Метод функции Грина]] (для [[эллиптическое уравнение|уравнений эллиптического типа]]){{sfn|Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики|2004|loc=§5.7}}
* [[Метод конечных разностей|Разностные методы]].{{sfn|Самарский А. А. Численные методы|1989|loc=часть III}}
* [[Вариационный метод|Вариационные методы]].{{sfn|Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений|1959|loc=глава 10, §9}}
* [[Метод конечных элементов]].

== См. также ==
{{кол}}
*[[Задача Коши]]
*[[Начальные и граничные условия]]
*[[Задача Штурма-Лиувилля]]
*[[Функция Грина]]
*[[Волновое уравнение]]
*[[Гиперболическое уравнение]]
*[[Параболическое уравнение]]
*[[Эллиптическое уравнение]]
*[[Задача Дирихле]]
*[[Задача Неймана]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==

=== Обыкновенные дифференциальные уравнения ===

* {{книга|автор=[[Камке, Эрих|Камке Э.]] |заглавие=Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.|издание=4-е изд., испр.|место=М.|издательство=Наука, Гл. ред. физ-мат. лит.|год= 1971|страниц=576|ref=Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям}}
* {{книга|автор=[[Наймарк, Марк Аронович|Наймарк М. А.]]|заглавие=Линейные дифференциальные операторы|место=М.|издательство=Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.|год=1969|ref=Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы}}

=== Уравнения в частных производных ===
* {{книга|автор=[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]], [[Жаринов, Виктор Викторович|Жаринов В. В.]]| заглавие=Уравнения математической физики|издательство=Физматлит|год=2004|isbn=5-9221-0310-X
|ref=Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики}}
* {{книга
|автор = [[Тихонов Андрей Николаевич|Тихонов А. Н.]], [[Самарский Александр Андреевич|Самарский А. А.]]
|заглавие = Уравнения математической физики: Учебное пособие.
|издание = 6-е изд., испр. и доп.
|место = М.
|издательство = Изд-во МГУ
|год = 1999
|страниц = 798
|isbn = 5-211-04138-0
|ref = Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики
}}

=== Численные методы ===
* {{книга|автор=На Ц.|заглавие=Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.|место=М.|издательство=Мир|год=1982|страниц=286|ref=На Ц. Вычислительные методы решения прикладных задач
|ref=На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач}}
* {{книга|автор=[[Березин, Иван Семенович|Березин И. С.]], [[Жидков, Николай Петрович|Жидков Н. П.]]|заглавие=Методы вычислений. Том II|место=М.|издательство=Гос. изд-во физ.-мат.лит.|год=1959|ref=Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений}}
* {{книга|автор=[[Калиткин, Николай Николаевич|Калиткин Н. Н.]]|заглавие=Численные методы|место=М.|издательство=Наука|год=1978|ref=Калиткин Н. Н. Численные методы}}
* {{книга|автор=[[Гулин, Алексей Владимирович|Гулин А. В.]],[[Самарский, Александр Андреевич|Самарский А. А.]]|заглавие=Численные методы:учебное пособие для вузов|место=М.|издательство=Наука, гл. ред. физ.-мат. лит.|год=1989|страниц=432|isbn=5-02-013996-3|ref=Самарский А. А. Численные методы}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]

Краевая задача - История изменений

imported>TemirovBot: /* Обозначения */Орфография