imported>Smigles: /* Преамбула */ пунктуация

2025-12-14T22:51:02Z

Преамбула: пунктуация

Новая страница

{{другие значения}}
{{Булева функция
| Название = Конъюнкция
| Другое название = И, AND
| Диаграмма Венна = Venn0001.svg
| Определение = <math>xy</math>
| Таблица истинности = <math>(0001)</math>
| Логический вентиль = AND gate RU.svg
| ДНФ = <math>xy</math>
| КНФ = <math>xy</math>
| Полином Жегалкина = <math>xy</math>
| Сохраняет 0 = Да
| Сохраняет 1 = Да
| Монотонна = Да
| Линейна = Нет
| Самодвойственна = Нет
}}
'''Конъю́нкция''' (от {{lang-lat|conjunctio}} — «союз, связь») — [[логическая операция]], по смыслу максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: '''логи́ческое «И»''', '''логи́ческое умноже́ние''', иногда просто '''«И»'''{{sfn|Кондаков|1975|с=264—266, 534—536|name=Kond264}}.

Конъюнкция может быть ''бинарной'' операцией (т. e. иметь два операнда), ''тернарной'' операцией (т. e. иметь три операнда) или ''n-арной'' операцией (т. e. иметь ''n'' операндов).

[[Отрицание|Инверсией]] конъюнкции является [[штрих Шеффера]].

== Обозначения ==
Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции конъюнкции:

<math>a \land b, \quad a \And \And b, \quad a \And b, \quad a \cdot b, \quad a\,\,\mathrm{AND}\,\,b, \quad \min(a,b) </math>

(в случае использования точки, как знака логического умножения, этот знак, как и при обычном умножении в [[элементарная алгебра|алгебре]], может быть опущен: <math>a b</math><ref name=Kond264/>).

При этом обозначение <math>a \land b</math>, рекомендованное стандартом [[ISO 31-11]], наиболее широко распространено в современной [[математика|математике]] и [[математическая логика|математической логике]], где оно, впрочем, конкурирует со знаком [[амперсанд]]а {{big|&}}<ref name=Kond264/>; последний, появившись ещё в I веке {{донэ}} как графическое сокращение ([[лигатура (соединение букв)|лигатура]]) [[латинский язык|латинского]] союза ''et'' ‘и’, уже [[Бернулли, Якоб|Якобом]] и [[Бернулли, Иоганн|Иоганном Бернулли]] в 1685 году использовался в качестве логической связки (у них он, однако, связывал не [[высказывание (логика)|высказывания]], а [[понятие|понятия]])<ref>{{cite web|url=http://www.etymonline.com/index.php?term=ampersand|title=Ampersand|publisher=// Website ''Online Etymology Dictionary''|access-date=2016-02-07|archive-date=2011-02-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20110218040450/http://www.etymonline.com/index.php?term=ampersand|url-status=live}}</ref>{{sfn|Кондаков|1975|с=67}}. [[Буль, Джордж|Джордж Буль]] (а за ним — и другие пионеры систематического применения символического метода к логике: [[Джевонс, Уильям Стенли|У. С. Джевонс]], [[Шрёдер, Эрнст|Э. Шрёдер]], [[Порецкий, Платон Сергеевич|П. С. Порецкий]]) обозначал конъюнкцию знаком <math>\cdot</math> — как обычное умножение<ref>{{книга|автор=Стяжкин Н. И.|заглавие=Формирование математической логики|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1967|страниц=508}} — С. 321, 348, 352, 368.</ref>. Символ {{big|⋀}} (перевёрнутый знак [[дизъюнкция|дизъюнкции]]) в качестве обозначения конъюнкции был предложен [[Гейтинг, Аренд|Арендом Гейтингом]] (1930)<ref>{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/set.html|title=Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic|publisher=// Website ''Jeff Miller Web Pages''|access-date=2016-02-07|archive-date=2011-08-21|archive-url=https://www.webcitation.org/6171d1KcD?url=http://jeff560.tripod.com/set.html|url-status=live}}</ref>.

Обозначение <code>⋀</code> для конъюнкции было использовано и в раннем [[язык программирования|языке программирования]] [[Алгол 60]]{{sfn|Кондаков|1975|с=30}}. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных [[набор символов|наборах символов]] (например, в [[ASCII]] или [[EBCDIC]]), применявшихся на большинстве [[компьютер]]ов, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для конъюнкции. Так, в [[Фортран|Фортране IV]] и [[PL/I]] применялись соответственно обозначения <code>.AND.</code> и <code>&</code> (с возможностью замены последнего на [[зарезервированное слово|ключевое слово]] <code>AND</code>)<ref>{{книга|автор=Пратт Т.|заглавие=Языки программирования: разработка и реализация|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1979|страниц=574}} — С. 352, 439.</ref>; в языках [[Паскаль (язык программирования)|Паскаль]] и [[Ада (язык программирования)|Ада]] используется зарезервированное слово <code>and</code><ref>{{книга|автор=Грогоно П.|заглавие=Программирование на языке Паскаль|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1982|страниц=384}} — С. 51.</ref><ref>{{книга|автор=Вегнер П.|заглавие=Программирование на языке Ада|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1983|страниц=240}} — С. 68.</ref>; в языках [[Си (язык программирования)|C]] и [[C++]] применяются обозначения <code>&</code> для побитовой конъюнкции и <code>&&</code> для логической конъюнкции<ref>{{книга|автор={{iw|Эллис, Маргарет|Эллис М.|en|Margaret A. Ellis}}, [[Страуструп, Бьёрн|Строуструп Б.]]|заглавие=Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями|ссылка=https://archive.org/details/isbn_5-03-002868-4|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1992|страниц=445|isbn=5-03-002868-4}} — С. 65, 86—87.</ref>).

Наконец, при естественном упорядочении [[истинностное значение|значений истинности]] [[булева функция|двузначной логики]] (когда полагают, что <math>0 < 1</math>), оказывается, что <math>(a \land b)\,=\,\min(a,b).</math> Таким образом, конъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления [[минимальный элемент|минимума]]; это открывает наиболее естественный способ определить операцию конъюнкции в системах [[многозначная логика|многозначной логики]] (хотя иногда рассматривают и другие способы обобщения конъюнкции — например, такой: <math>(a \land b)\,=\,ab\;(\operatorname{mod} k)</math> в случае ''k''-значной логики, в которой множество значений истинности представлено начальным отрезком <math>\{0,\dots,k-1\}</math> [[полугруппа|полугруппы]] <math>\mathbb N</math> [[натуральное число|натуральных чисел]])<ref>{{книга|автор=[[Яблонский, Сергей Всеволодович|Яблонский С. В.]]|заглавие=Введение в дискретную математику|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1979|страниц=272}} — С. 9—10, 37.</ref><ref>{{книга|автор=[[Рвачёв, Владимир Логвинович|Рвачёв В. Л.]]|заглавие=Теория ''R-''функций и некоторые её приложения|место=Киев|издательство=[[Наукова думка]]|год=1982|страниц=552}} — С. 38, 66.</ref>.

== Булева алгебра ==
Определение. 
Логическая функция '''MIN''' в двухзначной (двоичной) логике называется '''конъюнкция''' ('''логи́ческое «И»''', '''логи́ческое умноже́ние''' или просто '''«И»''').

Правило: результат равен наименьшему операнду.

Описание. 
В [[булева алгебра|булевой алгебре]] конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества <math>\{0, 1\}</math>. Результат также принадлежит множеству <math>\{0, 1\}</math>. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по [[таблица истинности|таблице истинности]]. Вместо значений <math>0, 1</math> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например <math>false, true</math> или <math>F, T</math> или «ложь», «истина», но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, <math>true > false</math>, при цифровом обозначении старшинство естественно <math>1 > 0</math>. 
Правило: результат равен <math>1</math>, если все операнды равны <math>1</math>; во всех остальных случаях результат равен <math>0</math>.

Таблицы истинности: 
для бинарной конъюнкции

{| class="wikitable"
!<math>a</math>
!<math>b</math>
!<math>a \land b</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|}
для тернарной конъюнкции
{| class = "wikitable"
!<math>a</math>||<math>b</math>||<math>c</math>|| <math>a \land b \land c</math>
|-
|0||0||0|| align = "center" |0
|-
|1||0||0|| align = "center" |0
|-
|0||1||0|| align = "center" |0
|-
|1||1||0|| align = "center" |0
|-
|0||0||1|| align = "center" |0
|-
|1||0||1|| align = "center" |0
|-
|0||1||1|| align = "center" |0
|-
|1||1||1|| align = "center" |1
|-
|}
 
Конъюнкция [[Коммутативность|коммутативна]], [[Ассоциативность (математика)|ассоциативна]] и [[Дистрибутивность|дистрибутивна]] по отношению к [[слабая дизъюнкция|слабой дизъюнкции]]<ref name="cyber">{{книга|заглавие=Словарь по кибернетике. 2-е изд|ответственный=Под ред. В. С. Михалевича|место=Киев|издательство=[[Украинская энциклопедия (издательство)|Украинская советская энциклопедия]]|год=1989|страниц=751|isbn=5-88500-008-5}}</ref>.

== Многозначная логика ==
Операции, называемой в двоичной логике '''конъюнкция''', в [[многозначная логика|многозначных логиках]] обычно сопоставляется операция '''минимум''': <math>min(a,b)</math>, где <math>a, b \in \{0,\dots,k-1\},</math> а <math>k</math> — значность логики; впрочем, возможны и другие варианты обобщения обычной конъюнкции на многозначный случай. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов <math>0</math> и <math>k-1</math>.

Название этой операции '''минимум''' имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия '''конъюнкция''', '''логи́ческое «И»''', '''логическое умноже́ние''' и просто '''«И»''' характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

== Классическая логика ==
В [[классическое исчисление высказываний|классическом исчислении высказываний]] свойства конъюнкции определяются с помощью [[аксиома|аксиом]]. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:
 <math>a \land b \to a</math>
 <math>a \land b \to b</math>
 <math>a \to (b \to (a \land b))</math>

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

== Схемотехника ==
{{main|Логические элементы#Конъюнкция (логическое умножение). Операция И}}

[[Файл:AND gate RU.svg|thumb|right|100px|Логический элемент «И»]]
Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется [[схема совпадения|схемой совпадения]]<ref name="cyber" />. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:
* «1» [[тогда и только тогда]], когда на '''''всех''''' входах есть «1»,
* «0» тогда и только тогда, когда '''''хотя бы на одном''''' входе есть «0»

== Теория множеств ==
С точки зрения [[теория множеств|теории множеств]], конъюнкция аналогична операции [[пересечение множеств|пересечения]].

== Программирование ==
В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое «И» и побитовое (поразрядное) «И». Например, в языках C/C++ логическое «И» обозначается символом «&&», а [[битовые операции|побитовое]] — символом «&». В терминологии, используемой в [[C Sharp|C#]], операцию «&» принято называть логическим «И», а операцию «&&» — [[Отложенные вычисления|условным «И»]], поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «'''and'''», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «И» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата <math>false</math> или <math>true</math>. Например:

<source lang="c">
if (a & b & c)
{
/* какие-то действия */
};
</source>

Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов.
Принцип работы условного «И» в аналогичной ситуации:

<source lang="c">
a = false; b = true; c = true;
if (a && b && c)
{
/* какие-то действия */
};
</source>

Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, так как дальнейшее сравнение не имеет смысла.

Результат будет равен <math>true</math>, если оба операнда равны <math>true</math> (для числовых типов не равны <math>0</math>). В любом другом случае результат будет равен <math>false</math>.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно <math>false</math>, то значение правого операнда не вычисляется (вместо <math>b</math> может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую <source lang="delphi">{$B-}</source> или выключающую <source lang="delphi">{$B+}</source> подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

<source lang="c">
if (a != 0 && b / a > 3)
{
/* какие-то действия */
};
</source>

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт деления на ноль.

Побитовое «И» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,
{|
|если
|-
|a =
|<math>01100101_2</math>
|-
|b =
|<math>00101001_2</math>
|-
|то
|-
| a И b =
|<math>00100001_2</math>
|}

== Связь с естественным языком ==
Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «''A'' и ''B''» считается истинным, когда истинны оба утверждения ''A'' и ''B'', в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как <math>1</math>, а «ложь» как <math>0</math>. При этом часто делают стандартную оговорку о ''неоднозначности'' естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической выразил американский математик [[Клини, Стивен Коул|Стивен Клини]], заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребёнка» — не то же самое, что «Мэри родила ребёнка и вышла замуж».

== См. также ==
{{викисловарь}}
* [[Тождественное отображение|Идентичность]]
* [[Отрицание]]
* [[Дизъюнкция]]
* [[Эквиваленция]]
* [[Исключающее или]]
* [[Импликация]]
* [[Обратная теорема|Обратная импликация]]
* [[Штрих Шеффера]]
* [[Стрелка Пирса]]
* [[Таблица истинности]]
* [[Закон тождества]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Кондаков Н. И.|заглавие=Логический словарь-справочник. 2-е изд|ссылка=http://www.runivers.ru/upload/iblock/443/logichesky%20slovar.pdf|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1975|страниц=720|ref=Кондаков}}

{{ВС}}
{{Булева алгебра}}
{{Логика}}

[[Категория:Математическая логика]]
[[Категория:Логика высказываний]]
[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Логические элементы]]
[[Категория:Бинарные операции]]

Конъюнкция - История изменений

imported>Smigles: /* Преамбула */ пунктуация