128.0.140.238: /* Рекурентное */

2024-10-21T22:18:18Z

Рекурентное

Новая страница

'''Континуанта''' — определённый многочлен от нескольких переменных, связанный с [[цепная дробь|цепными дробями]].

== Определения ==

=== Рекуррентное ===

Континуанта индекса ''n'' есть многочлен <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math>, определяемый [[рекуррентное соотношение|рекуррентным соотношением]]:
:: <math>K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,</math>
:: <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-2}).</math>

=== Через определитель ===

Континуанта может быть также определена как [[определитель]] [[трёхдиагональная матрица|трёхдиагональной матрицы]]

:: <math>K_n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=
\det \begin{pmatrix}
x_1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\
-1 & x_2 & 1 & \ddots & \vdots\\
0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\
0 & \cdots & 0 & -1 &x_n
\end{pmatrix}.</math>

== Свойства ==

* Континуанта <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> есть сумма всех [[одночлен]]ов, получаемых из одночлена <math>x_1\cdot\ldots\cdot x_n</math> вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных ('''правило Эйлера''').
** Пример:
**: <math>K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.</math>
** Следствие:
**: Континуанты обладают зеркальной симметрией: <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).</math>
* <math>K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}</math> — [[числа Фибоначчи|число Фибоначчи]].
* Справедливо тождество:
*: <math>\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}</math>
* В поле рациональных дробей
*: <math>\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\;x_n] =
x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}</math> — [[цепная дробь]].
* Справедливо матричное соотношение:
*: <math>\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>.
** Откуда для определителей получается тождество:
**:<math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.</math>
** А также:
**:<math>K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.</math>

== Ссылки ==

* {{книга |автор=Сизый С. В. |заглавие=Лекции по теории чисел |издание=Учебное пособие для математических специальностей |место=Екатеринбург |издательство=Уральский государственный университет им. А. М. Горького |год=1999 |ссылка=http://virlib.eunnet.net/books/numbers/}}
* {{книга |автор=[[Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.]] |заглавие=Задачи и теоремы линейной алгебры |место=М. |издательство=Наука |год=1996 |isbn=5-02-014727-3 |ссылка=http://www.mccme.ru/prasolov/}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Многочлены]]
[[Категория:Определители]]
[[Категория:Непрерывная дробь]]

Континуанта - История изменений

128.0.140.238: /* Рекурентное */