imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

2025-11-04T19:44:52Z

удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

Новая страница

'''Конечное множество''' — [[множество]], элементы которого можно пронумеровать числами до некоторого натурального числа <math>n</math>. В противном случае множество называется [[бесконечное множество|бесконечным]].
Например:
: <math>\{2,4,6,8,10\}</math>
— конечное множество из пяти элементов; число 5 в данном случае — [[мощность множества]].

Множество натуральных чисел бесконечно:
: <math>\{1,2,3,\ldots\}</math>,
поскольку нет такого числа <math>n</math>, всеми числами вплоть до которого его можно пронумеровать.

В символической записи, множество <math>X</math> называется конечным, если взаимно-однозначно соответствует множеству <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> при некотором неотрицательном целом <math>n</math>; <math>\ n</math> в этом случае является [[Мощность множества|мощностью множества]] <math>X</math>, что записывается как <math>|X|=n</math><ref Name=soboleva>{{книга |заглавие=Дискретная математика |издательство=Академия |год=2006 |isbn=5-7695-2823-0 |язык= |автор=Соболева Т. С., Чечкин А. В.}}</ref>. [[Пустое множество]] является конечным множеством, количество элементов которого равно 0, то есть, <math>|\varnothing|= 0</math>.

Существуют и другие определения конечного множества:
* множество конечно, если оно [[индуктивное множество|индуктивно]];
* множество конечно, если множество всех его подмножеств [[рефлексивное множество|нерефлексивно]]{{sfn|Френкель|с=87|1966}};
* множество конечно, если оно нерефлексивно;
* множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству{{sfn|Френкель|с=87|1966}}.

Проблема определения конечности множеств в общем случае неразрешима ([[теорема Трахтенброта]]). Не существует ни самого слабого, ни самого сильного определения конечного множества. Для каждой логической формулы, являющейся определением конечного множества, существует более сильная и более слабая формулы. Существует неограниченное число логических формул, определяющих конечные множества, и среди них неограниченное множество независимых определений.

[[Регулярное множество]] не эквивалентно никакому своему [[собственное подмножество|собственному подмножеству]]<ref name=soboleva/>.

Если конечные множества <math>X_1, \dots, X_n</math> попарно не пересекаются (то есть, <math>X_i\cap X_j =\varnothing</math>), то мощность их [[Объединение множеств|объединения]] является суммой их мощностей:
: <math>|X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_n| = |X_1| + |X_2| + \dots + |X_n|</math>.

Мощность [[Декартово произведение|декартова произведения]] <math>X_1, \dots, X_n</math> конечных множеств — произведение их мощностей:
: <math>|X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n|=|X_1| \cdot |X_2| \cdot {\dots} \cdot |X_n|</math>.

Мощность [[булеан]]а конечного множества <math>X</math> равна <math>2^{|X|}</math>.

Конечные множества играют центральную роль в направлениях, идентифицируемых как [[конечная математика]] и [[дискретная математика]], изучающих конечные структуры с использованием средств и результатов, недоступных в бесконечных случаях: например, в [[Комбинаторика|комбинаторике]] часто используется [[Принцип Дирихле (комбинаторика)|принцип Дирихле]], согласно которому не может существовать [[Инъекция (математика)|инъекция]] из большего конечного множества в меньшее.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Френкель, Абрахам|Френкель А. А.]], [[Йегошуа Бар-Хиллел|Бар-Хиллел Р.]] | заглавие = Основания теории множеств | место = М. | издательство = Мир | год = 1966 | страниц = 555 | isbn = | ref = Френкель}}

{{перевести|fr|Ensemble fini}}
{{Внешние ссылки}}

{{Теория множеств}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Мощность множеств]]

Конечное множество - История изменений

imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён