imported>РобоСтася: checkwiki fixes (1, 9, 22, 52, 54, 64, 76)

2024-08-30T13:49:19Z

checkwiki fixes (1, 9, 22, 52, 54, 64, 76)

Новая страница

{{О|функции комплексной переменной|функции вещественной переменной с комплексными значениями|комплекснозначная функция}}
'''Комплексная функция''' — основной объект изучения [[Теория функций комплексной переменной|теории функций комплексной переменной]], комплекснозначная функция комплексного аргумента: <math>f\colon\Complex \to \Complex</math>.

Как и [[комплекснозначная функция вещественной переменной]] может быть представлена в виде:
: <math>f(z) = u(z)+i v(z)</math>,
где <math>u(z)</math> и <math>v(z)</math> — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции <math>f(z)</math>. В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция <math>f(z)</math> была [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]] в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться [[условия Коши — Римана]]:
: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math>;
: <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math>.

Примерами [[аналитическая функция|аналитических функций]] комплексной переменной являются: [[степенная функция]], [[экспонента]], [[гамма-функция]], [[дзета-функция Римана]], [[хребтовая функция]] и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа <math>\mathrm{Re}\,z</math>, мнимая часть <math>\mathrm{Im}\,z</math>, комплексное сопряжение <math>\bar z</math>, модуль <math>r = |z|</math> и аргумент <math>\varphi(z)</math> аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

===Свойства функций комплексного переменного===

В отличие от функций действительного переменного, которые могут быть дифференцируемы конечное число раз, функция комплексного переменного, имеющая в некоторой области первую производную, является бесконечно дифференцируемой в этой области, то есть обладает производными любого порядка.

Это одно из удивительных свойств функций комплексного переменного, связанное с понятием аналитичности. Если функция комплексного переменного дифференцируема в некоторой области, она автоматически становится аналитической, что означает её разложимость в степенной ряд (ряд Тейлора) вблизи любой точки этой области. При этом данный ряд будет сходиться к функции в пределах определённого радиуса сходимости.

Такое поведение сильно отличается от поведения функций действительного переменного, где наличие одной или нескольких производных вовсе не гарантирует бесконечную дифференцируемость функции.

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]
|заглавие = Введение в комплексный анализ
|ссылка =
|издание =
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1969]]
|том =
|страниц = 577
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = Титчмарш Е.
|заглавие = Теория функций: Пер. с англ
|ссылка =
|издание = 2-е изд., перераб
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1980]]
|том =
|страниц = 464
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = [[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]]
|заглавие = Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы
|ссылка =
|издание =
|место = М.-Л.
|издательство = Государственное издательство
|год = [[1927]]
|том =
|страниц = 316
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = [[Евграфов, Марат Андреевич|Евграфов М. А.]]
|заглавие = Аналитические функции
|ссылка =
|издание = 2-е изд., перераб. и дополн
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1968]]
|том =
|страниц = 472
|isbn =
}}
* {{книга
|автор=Свешников А. Г., Тихонов А. Н.
|заглавие=Теория функций комплексной переменной
|место={{М.}}
|издательство=Наука
|год=1974
|страниц=320
}}

[[Категория:Функции]]
[[Категория:Комплексный анализ]]

Комплексная функция - История изменений

imported>РобоСтася: checkwiki fixes (1, 9, 22, 52, 54, 64, 76)