imported>Treskful: /* Перевод */

2025-10-12T19:28:50Z

Перевод

imported>MBHbot: {{нп5|Сервуа, Франсуа Жозеф|Франсуа Жозеф Сервуа|fr|François-Joseph Servois}}->Франсуа Жозеф Сервуа

2025-06-08T11:00:00Z

{{нп5|Сервуа, Франсуа Жозеф|Франсуа Жозеф Сервуа|fr|François-Joseph Servois}}->Франсуа Жозеф Сервуа

Новая страница

[[Файл:Commutative Word Origin.PNG|right|thumb|250px|Первое известное использование термина коммутативность: фрагмент французского журнала «Annales de Gergonne», выпускавшегося с 1810 по 1832 годы, выпуск 1814—15]]
[[Файл:Commutative Addition.svg|right|thumb|280px|Пример, показывающий коммутативность сложения (3 + 2 = 2 + 3)]]

'''Коммутативность''', '''переместительный закон''' ({{lang-latelat|commutativus}} — меняющийся) — свойство [[бинарная операция|бинарной операции]] «<math>\circ</math>», заключающееся в возможности перестановки аргументов:

: <math>x\circ y=y\circ x</math> для любых элементов <math>x,\;y</math>.

В частности, если [[Группа (математика)|групповая]] операция является коммутативной, то группа называется [[абелева группа|абелевой]]. Если операция умножения в [[кольцо (алгебра)|кольце]] является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

Термин «коммутативность» ввёл в [[1815 год в науке|1815 году]] французский математик [[Сервуа, Франсуа Жозеф|Франсуа Жозеф Сервуа]].

Примеры:
* сумма и произведение [[Действительные числа|действительных чисел]] коммутативны:
*: <math>a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in\R</math>.
* [[конъюнкция]] и [[дизъюнкция]] коммутативны:
*: <math>a \land b \equiv b \land a; \quad a \lor b \equiv b \lor a</math>.
* [[Объединение множеств|объединение]], [[Пересечение множеств|пересечение]] и [[симметрическая разность]] множеств коммутативны:
*: <math>A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.</math>
Многие бинарные операции [[Ассоциативная операция|ассоциативны]], но в общем случае некоммутативны, таково, например, [[умножение матриц]]:
: <math>
\begin{pmatrix}
5 & 4\\
8 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 9\\
6 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
34 & 49\\
16 & 72
\end{pmatrix}
</math>, но <math>
\begin{pmatrix}
2 & 9\\
6 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
5 & 4\\
8 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
82 & 8\\
38 & 24
\end{pmatrix}
</math>
и [[конкатенация]] строк:
: «a» + «b» = «ab», но «b» + «a» = «ba».

При этом не всякая коммутативная операция [[Ассоциативная операция|ассоциативна]] (существуют {{iw|коммутативная магма|коммутативные магмы|en|Commutative magma}} с неассоциативной операцией).

Существует ряд обобщений понятия коммутативности на операции более двух аргументов (различные варианты симметричности).

Коммутативные операции формируют обширный пласт [[Алгебраическая структура|алгебраических структур]], обладающих многими «хорошими» свойствами, не присущими некоммутативным структурам (например, [[Абелева группа|коммутативные группы]] в сравнении [[Неабелева группа|неабелевыми]]), во многих разделах математики применяется техника сведения задач к коммутативным структурам как к более изученным и обладающим более удобными свойствами. [[Коммутативная алгебра]] — [[Общая алгебра|общеалгебраическое]] направление, изучающее свойства [[Коммутативное кольцо|коммутативных колец]] и связанных с ними коммутативных объектов ([[Модуль над кольцом|модулей]], [[Идеал кольца|идеалов]], [[дивизор]]ов, [[Поле (алгебра)|полей]]).

== Ссылки ==
* {{БРЭ |статья=Коммутативность |автор= |ref=БРЭ |ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2086080 |архив=https://web.archive.org/web/20221017124920/https://bigenc.ru/mathematics/text/2086080 |архив дата=2022-10-17 }}
* {{из|МЭ|статья=Коммутативность|автор = Д. М. Смирнов}}

[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Бинарные операции]]
[[Категория:Свойства операций]]

Коммутативность - История изменений

imported>Treskful: /* Перевод */

imported>MBHbot: {{нп5|Сервуа, Франсуа Жозеф|Франсуа Жозеф Сервуа|fr|François-Joseph Servois}}->Франсуа Жозеф Сервуа