imported>Mikisavex: /* Описание в декартовой системе координат */ обозначения типа \vec v_x (как бы проекция с вектором) неудачно, обычно так не пишут - изменено

2024-08-01T13:07:38Z

Описание в декартовой системе координат: обозначения типа \vec v_x (как бы проекция с вектором) неудачно, обычно так не пишут - изменено

Новая страница

'''Кинема́тика то́чки '''— раздел [[Кинематика|кинематики]], в котором изучается [[механическое движение]] [[материальная точка|материальных точек]].

Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без анализа вызывающих это движение причин; их рассматривает [[Динамика (физика)|динамика]], в частности, [[динамика точки]].

Всякое движение — понятие относительное и имеющее содержание только при указании, относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект, поэтому движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой [[Система отсчёта|системе отсчёта]], включающей:
* тело отсчёта;
* систему измерения положения тела в пространстве ([[Система координат|систему координат]]);
* прибор для измерения времени ([[часы]]).

Положение точки определяется зависящим от времени [[радиус-вектор]]ом <math>\vec{r}(t)</math> в выбранной системе отсчёта. Наиболее наглядное представление о радиус-векторе обеспечивается в [[Евклидова геометрия|евклидовой системе координат]], поскольку [[базис]] в ней является фиксированным и общим для любого положения тела.

== Основные понятия ==
'''[[Материальная точка]]''' — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так, Землю можно считать Материальной Точкой (М. Т.) при изучении её движения вокруг Солнца, пулю можно считать М. Т. при её движении в поле тяжести Земли, но нельзя считать таковой при учёте её вращательного движения в стволе винтовки. При [[поступательное движение|поступательном движении]] в ряде случаев при помощи понятия М. Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов. Так, например, [[тепловоз]], проходящий расстояние 1 метр, может считаться М. Т., поскольку его [[ориентация]] относительно системы координат в процессе движения является фиксированной и не влияет на постановку и ход решения задачи.

'''[[Радиус-вектор]]''' — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве: <math> \vec r = \{ r_1,r_2,...,r_n \}</math>. Здесь <math> r_1,r_2,...,r_n </math> — [[координата|координаты]] радиус-вектора. Геометрически изображается вектором, проведённым из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора (или его координат <math> r_i = r_i(t)</math>) от времени <math> \vec r = \vec r (t) </math> называется [[закон движения|законом движения]].

'''[[Траектория]]''' — [[Годограф]] радиус-вектора, то есть — воображаемая [[Кривая|линия]], описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. [[Длина кривой|Длину]] участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или вульгарно — путём и обозначают буквой <math>S</math>. При таком описании движения <math>S</math> выступает в качестве '''[[Обобщённая координата (механика)|обобщённой координаты]]''', а законы движения в этом случае записывается в виде <math>S=S(t)</math> и аналогичны соответствующим законам для координат.

Описание движения при помощи понятия траектории — один из ключевых моментов [[классическая механика|классической механики]] . В [[квантовая механика|квантовой механике]] движения носит бестраекторный характер, а значит само понятие траектория теряет смысл.

== Основные кинематические величины ==
[[Файл:Radius-vector.png|300px|thumb|Радиус-векторы и вектор перемещения (чёрные стрелки).
Векторы средней и мгновенных скоростей (Зелёные стрелки).
Траектория (красная линия)]]

[[Файл:Acceleration 1.png|300px|thumb|Разложение ускорения по [[Трёхгранник Френе|сопутствующему базису]] ]]

'''Перемещение''' — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

: <math> \Delta \vec r(t_2,t_1) = \vec r(t_2) - \vec r(t_1) </math>.
Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

'''Средняя скорость''' — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:
: <math> \vec v_{cp}(t_1,t_2) = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\vec r(t_2) - \vec r(t_1)}{t_2-t_1} </math>.
'''Средняя путевая скорость''' — скалярная физическая величина равная отношению модуля вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение, как правило имеет смысл при описании движения с <math>\vec r(t_2)=\vec r(t_1)</math>:

: <math>\vec v_{cp\,S}(t_1,t_2)=\frac{\Delta |\vec r|}{\Delta t}=\frac{|\vec r_2-\vec r_1|}{t_2-t_1}</math>.

'''Мгновенная [[скорость]]''' — векторная физическая величина, равная первой [[Производная функции|производной]] от радиус-вектора по времени:
: <math> \vec v(t) = \frac{d \vec r(t)}{dt}\equiv \dot{\vec r}(t) </math>.
Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:
: <math> \vec v(t_1) = \lim_{t_2 \rightarrow t_1} \vec v_{cp}(t_1,t_2) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r(t)}{\Delta t} </math>.

Единица измерения скорости в системе [[СИ]] — [[м/с]], в системе [[СГС]] — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

'''Мгновенное [[ускорение]]''' — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

: <math> \vec a (t) = \frac{d \vec v(t)}{dt} = \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} </math>.
Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ — м/с², в системе СГС — см/с².

== Описание в декартовой системе координат ==
Поскольку базисные векторы (<math>\vec e_i</math>) в этой системе координат [[Ортонормированный базис|ортонормированы]] и не зависят от времени, то закон движения запишется следующим образом:

: <math>\vec r(t) = x(t)\vec e_x + y(t)\vec e_y + z(t)\vec e_z</math>

Скорость точки:

: <math>\vec v(t)=\dot x(t)\vec e_x+\dot y(t)\vec e_y+\dot z(t)\vec e_z = v_x(t)\vec e_x + v_y(t)\vec e_y + v_z(t)\vec e_z</math>

Модуль скорости может быть найден:

: <math>v=\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2}=\frac{ds}{dt}</math>, где <math>ds</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] траектории.

Аналогичным образом определяется ускорение:

: <math>\vec a(t) = \ddot x \vec e_x + \ddot y \vec e_y + \ddot z \vec e_z</math>, <math>a=\sqrt{\ddot x^2 + \ddot y^2 + \ddot z^2}</math>

== Другие системы координат ==
Довольно часто оказывается удобным пользоваться не декартовой, а другими системами координат.

=== [[Полярная система координат|Полярные координаты]] ===
Описание движения ведётся в плоскости. Положение точки определяется <math>r</math> — расстоянием от начала координат и полярным углом <math>\varphi</math>, отсчитываемым от какой-то фиксированной оси. В качестве базиса вводятся единичный вектор <math>\vec e_r</math>, направленный из начала координат на движущуюся точку, и единичный <math>\vec e_\varphi</math>перпендикулярный первому в сторону возрастания угла <math>\varphi</math> (это направление называется трансверсальным).

Связь с декартовой системой можно выразить следующим образом: <math>\begin{pmatrix}
\vec e_r\\
\vec e_\varphi
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sin\varphi\\
-\sin\varphi & \cos\varphi
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\vec e_x\\
\vec e_y
\end{pmatrix}</math><ref>[[Умножение матриц]]</ref>.

Производные базисных векторов по времени: <math>\dot\vec e_r = \dot\varphi\vec e_\varphi,\;\dot\vec e_\varphi = -\dot\varphi\vec e_r</math>

Откуда уравнения движения:

: <math>\vec r(t) = r(t)\vec e_r</math>

: <math>\vec v(t) = \dot r(t)\vec e_r + r(t)\dot\varphi(t) \vec e_\varphi</math>

: <math>\vec a = [\ddot r - r\dot \varphi^2]\vec e_r + [2\dot r\dot\varphi + r\ddot \varphi]\vec e_\varphi</math>.

=== [[Цилиндрическая система координат|Цилиндрические координаты]] ===
В цилиндрической системе координат упрощаются задачи с [[Осевая симметрия|аксиальной симметрией]].

Для базиса

: <math>\begin{pmatrix}
\vec e_r\\
\vec e_\varphi\\
\vec e_z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sin\varphi & 0\\
-\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\vec e_x\\
\vec e_y\\
\vec e_z
\end{pmatrix}</math>

Уравнения движения

: <math>\vec r = r\vec e_r + z\vec e_z</math>

: <math>\vec v = \dot r\vec e_r + r\dot\varphi \vec e_\varphi + \dot z \vec e_z</math>

: <math>\vec a = [\ddot r - r\dot \varphi^2]\vec e_r + [2\dot r\dot\varphi + r\ddot \varphi]\vec e_\varphi + \ddot z \vec e_z</math>.

=== [[Сферическая система координат|Сферические координаты]] ===
Для базиса
: <math>\begin{pmatrix}
\vec e_r\\
\vec e_\varphi\\
\vec e_\theta
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\\
-\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\
\cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\vec e_x\\
\vec e_y\\
\vec e_z
\end{pmatrix}</math>

Уравнения движения

: <math>\vec r = r\vec e_r</math>

: <math>\vec v = \dot r \vec e_r + r\dot\varphi\sin\theta \vec e_\varphi + r\dot \theta \vec e_\theta </math>

: <math>\vec a = [\ddot r-r\dot\varphi^2\sin^2\theta-r\dot\theta^2]\vec e_r + [(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\sin\theta + 2r\dot\varphi\dot\theta\cos\theta]\vec e_\varphi + [2\dot r\dot\theta-r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta+r\ddot\theta]\vec e_\theta</math>.

=== [[Трёхгранник Френе|Сопутствующий базис]] ===
При описании в сопутствующей системе координат рассматриваются три последовательных точки траектории <math>K_1,K_2,K_3</math>. В пределе малости, первые две дают касательную к траектории, тогда как все три — окружность кривизны, лежащую в мгновенной плоскости движения (соприкасающейся плоскости). Базис выбирается следующим образом:

: <math>\vec e_\tau = \vec v/v</math> — единичный вектор, касательный к траектории;

: <math>\vec e_n</math> — единичный вектор, лежащий в соприкасающейся плоскости, перпендикулярный вектору <math>\vec e_\tau</math> и направленный в сторону вогнутости траектории (по главной нормали);

: <math>\vec e_\beta = [\vec e_\tau \times \vec e_n]</math> (вектор бинормали).

Ускорение, таким образом, <math> \vec a (t) = a _n(t) \vec{e}_n+a_{\tau}(t) \vec{e}_\tau </math>, где <math>\vec a_\tau = \dot v</math>, а <math>\vec a_n = \frac{v^2}{R_k}</math>, <math>R_k</math> — мгновенный [[радиус кривизны]].

В случае движения по окружности нормальное ускорение называется [[центростремительное ускорение|центростремительным]]. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Величина <math> a _\tau </math> называется [[тангенциальное ускорение|тангенциальным ускорением]] и характеризует величину изменения модуля скорости:

== Преобразования Галилея ==
В случае нерелятивистских скоростей (то есть скоростей много меньших [[Скорость света|скорости света]]), переход от одной [[Инерциальная система отсчёта|инерциальной системы отсчёта]] (ИСО) к другой совершается при помощи [[Преобразования Галилея|преобразований Галилея]]:

Если ИСО <math>S'</math> движется относительно ИСО <math>S</math> с постоянной скоростью <math>u</math> вдоль оси <math>x</math>, а начала координат этих систем в начальный момент совпадают, то преобразования Галилея имеют вид:

: <math>x' = x - ut,</math>

: <math>y' = y,</math>

: <math>z' = z,</math>

: <math>t' = t</math>

В случае произвольного направления осей координат, справедлива векторная запись преобразований Галилея:

: <math>\vec {r'} = \vec r - \vec u t ,</math>

: <math>t' = t</math>

Если же движение происходит со скоростью сравнимой со скоростью света, то следует применять [[преобразования Лоренца]].

== Примеры движения ==

=== Равномерное прямолинейное ===
В данном случае <math>\vec a = 0</math>, <math>\vec v = const</math>, откуда следует закон движения <math>\vec r = \vec r_0 + \vec v t</math>.

=== Равноускоренное прямолинейное ===
[[Файл:Motion-law.png|300px|thumb| Равноускоренное движение в поле тяжести Земли]]

При направлении оси <math>x</math> вдоль линии перемещения, закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:
: <math>\frac {d^2x}{dt^2} = a = const</math>
Двукратное [[Интеграл|интегрирование]] по времени приводит к формуле:
: <math>x(t) = C_1+ C_2t + \frac {a t^2}{2}\;\Leftrightarrow\; x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}</math>;
Здесь <math>C_1</math> и <math> C_2</math> — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Если движение ограничено по времени и известна конечная скорость <math>v_k</math>, то справедлива расчётная формула:

: <math>S = \frac{v_k^2-v_0^2}{2a} </math>.

Движение с постоянным ускорением <math> \vec a (t) = const </math> называют '''равноускоренным'''. Закон которого при произвольном направлении осей:

: <math>\vec r(t) = \vec r_0(t)+ \vec{v_0}t + \frac {\vec a t^2}{2} </math> ;
: <math>\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t </math> .

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

: <math>x(t) = x_0(t)+ {v_{x_0}}t + \frac {a_x t^2}{2} </math> ;
: <math> v_x(t) = v_{x_0} + a_x t </math> .

В этом случае часто говорят о [[Равноускоренное движение|'''равноускоренном''' движении]], если знаки <math> a_x </math> и <math> v_x(t) </math> совпадают и о '''равнозамедленном''', если <math> a_x </math> и <math> v_x(t) </math> имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчёта.

=== Равномерное по окружности ===
Задачу удобно рассмотреть в сопутствующем базисе. Ускорение примет вид <math>\vec a = \frac{v^2}{R} \vec{e_n}</math> (центростремительное ускорение, направленное в центр окружности). Само движение можно рассмотреть в терминах угла <math>\varphi</math> относительно какой-либо оси. Для [[Угловая скорость|угловой скорости]] <math>\dot\varphi=\omega=\frac{v}{R}</math>:

: <math>\varphi(t) = \varphi_0 + \omega t </math>, причём <math>a_n = \omega^2 R</math>. Период движения: <math>T = \frac{2\pi}{\omega}</math>.

=== Точка, брошенная под углом к горизонту ===
Для тел, движущихся с малыми скоростями, [[Лобовое сопротивление|сопротивлением]] воздуха можно пренебречь. Пусть точка в нулевой момент времени была брошена со скоростью <math>\vec v_0</math> под углом <math>\alpha</math> к [[горизонт]]у. Для оси <math>y</math>, направленной вертикально вверх, и оси <math>x</math>, направленной по горизонту, уравнения движения в проекциях на оси:

: <math>\begin{cases}
a_x = 0,\\
a_y = -g;
\end{cases}\;\Rightarrow\;
\begin{cases}
v_x = v_0\cos\alpha,\\
v_y = v_0\sin\alpha - gt;
\end{cases}\;\Rightarrow\;
\begin{cases}
x = x_0 + v_0\cos\alpha\cdot t,\\
y = y_0 + v_0\sin\alpha\cdot t - \dfrac{gt^2}{2};
\end{cases}</math> где <math>g</math> — [[ускорение свободного падения]].

Откуда, в частности, получаются следующие формулы:

Если точка была брошена с земли, то время движения составит <math>t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}</math>, причём точка достигнет вершины траектории за <math>t/2</math>.

Длина полёта в таком случае <math>L = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}</math>, откуда следует, что максимальная дальность полёта при неизменной скорости достигается при <math>\alpha = 45^\circ</math>. В обобщении на бросок вдоль [[Наклонная плоскость|наклонной плоскости]], максимальная дальность полёта достигается при броске вдоль [[Биссектриса|биссектрисы]] между вертикалью и прямой вдоль плоскости броска.

Вообще говоря, в одну и ту же точку тело может прилететь по двум траекториям: [[Настильная траектория|настильной]] и [[Навесная стрельба|навесной]].

Уравнение траектории в рассмотренных обозначениях: <math>y=x\mathrm{tg}\,\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2</math>, то есть снаряд движется по [[Парабола|параболе]].

== Случай системы точек ==
Для описания движения материальной точки требуется задать три обобщённых координаты, которые, вообще говоря, зависят от системы отсчёта, но их число остаётся неизменным. Иначе говоря, число [[Степени свободы (механика)|степеней свободы]] точки равно трём. Однако число степеней может быть меньше, если точка, например, может двигаться лишь по определённой [[Поверхность|поверхности]] или [[Кривая|кривой]]. Тогда говорят, что на материальную точку наложена ''кинематическая связь''. Число степеней свободы от каждой связи уменьшается на одну.

В общем случае, если система состоит из <math>n</math> материальных точек и на них наложено <math>k</math> кинематических связей, число степеней свободы такой системы материальных точек будет <math>3n-k</math>. Если в системе расстояния между двумя любыми точками всегда постоянны, то такая система называется абсолютно твёрдым телом (см. [[Кинематика твёрдого тела]]). Описанием же [[Макроскопический масштаб|макроскопических]] систем материальных точек с изменяющимися расстояниями занимается [[кинематика сплошной среды]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
# ''Стрелков С. П.'' Механика. М.: Наука, 1975.
# {{Книга:Сивухин Д.В.: Механика|1979}}
# ''Матвеев А. Н.'' Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.
# ''Хайкин С. Э.'' Физические основы механики. М.: Наука, 1971.

[[Категория:Кинематика]]

Кинематика точки - История изменений

imported>Mikisavex: /* Описание в декартовой системе координат */ обозначения типа \vec v_x (как бы проекция с вектором) неудачно, обычно так не пишут - изменено