imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (4)

2025-07-16T10:14:13Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (4)

Новая страница

'''Ква́дрика''', или '''квадри́ка''', — ''n''-мерная [[гиперповерхность]] в ''n'' + 1-мерном пространстве, заданная как множество нулей [[многочлен]]а второй [[степень многочлена|степени]]. Если ввести координаты {{nowrap|{''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''+1}}} {{s|(в [[евклидово пространство|евклидовом]] или [[аффинное пространство|аффинном]] пространстве)}}, общее уравнение квадрики имеет вид<ref>{{cite web|url=http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html geom.uiuc.edu|title=Quadrics|author=Silvio Levy|date=|work=Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)|publisher=|access-date=2013-07-30|lang=en|archive-date=2018-07-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20180718165310/http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html|url-status=live}}</ref>

: <math>
\sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i x_i + R = 0.
</math>

Это уравнение можно переписать более компактно в [[матрица (математика)|матричных]] обозначениях:

: <math>
x Q x^T + P x^T + R = 0</math>

где x = {{nowrap|{''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''+1}}} — [[вектор (математика)|вектор]]-строка, ''x''T — [[транспонированная матрица|транспонированный]] вектор, ''Q'' — матрица размера (''n''+1)×(''n''+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), ''P'' — вектор-строка, а ''R'' — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над [[действительное число|действительными]] или [[комплексное число|комплексными]] числами. Определение можно распространить на квадрики в [[проективное пространство|проективном пространстве]], см. [[Квадрика#Аффинное и проективное пространство|ниже]].

Более общо, множество нулей системы [[полиномиальное уравнение|полиномиальных уравнений]] известно как [[алгебраическое многообразие]]. Таким образом, квадрика является ([[аффинное многообразие|аффинным]] или [[проективное многообразие|проективным]]) алгебраическим многообразием второй степени и [[Коразмерность|коразмерности]] 1.

== Квадрики в евклидовом пространстве ==
Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю ''n'' = 1, то есть являются [[кривая|кривыми]]. Обычно их называют не квадриками, а кониками или [[коническое сечение|коническими сечениями]].

Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность ''n'' = 2 и называются [[поверхность второго порядка|поверхностями второго порядка]]. Проведя [[ортогональное преобразование|ортогональную замену базиса]], любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.<ref>{{cite web|url=http://indapt.org/images/stories/bulletin2010/bulletin_november_2010.pdf|title=Quadratic Surfaces in Science and Engineering|author=Sameen Ahmed Khan|date=|work=|publisher=Bulletin of the IAPT, 2(11), 327—330 (November 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers)|access-date=2013-07-30|lang=en|archive-url=https://www.webcitation.org/6IqbGNlju?url=http://indapt.org/images/stories/bulletin2010/bulletin_november_2010.pdf|archive-date=2013-08-13}}</ref>
Из них 5 являются невырожденными (то есть матрица <math>\begin{pmatrix} Q & \dfrac{P^T}{2} \\ \dfrac{P}{2} & R \end{pmatrix}</math> является [[билинейная форма#Свойства|невырожденной]]<ref>{{книга|автор=[[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]] |заглавие=Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра|место=М.|издательство=ФИЗМАТЛИТ|год=2000|страниц=368|страницы=230}}</ref>). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.<ref name="ela">''Stewart Venit, Wayne Bishop'', Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.</ref>

{| class="wikitable" style="background-color: white; margin: 1.5em auto 1em auto"
! colspan="3" style="background-color: white;" | Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве
|-
| [[Эллипсоид]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1</math>
|[[Файл:Ellipsoid Quadric.png|150px]]
|-
| Эллиптический [[параболоид]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0</math>
|[[Файл:Paraboloid Quadric.Png|150px]]
|-
| Гиперболический [[параболоид]]
| <math>{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0</math>
|[[Файл:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png|150px]]
|-
| Однополостный [[гиперболоид]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1</math>
|[[Файл:Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png|150px]]
|-
| Двуполостный [[гиперболоид]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1</math>
|[[Файл:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png|150px]]
|}

== Аффинное и проективное пространство ==
Классификация квадрик в трёхмерном [[аффинное пространство|аффинном пространстве]] совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.<ref>''П. С. Александров.'' Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.</ref> Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга [[аффинное преобразование|аффинным преобразованием]], тогда как соответствующее [[ортогональное преобразование]] существует не всегда (например, эллипсоид <math>x^2+y^2+z^2=1</math> невозможно перевести [[движение (математика)|движением]] в эллипсоид <math>2x^2+2y^2+2z^2=1</math>).

От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в [[проективное пространство|проективном пространстве]], введя [[однородные координаты]]. Пусть в аффинном пространстве введены координаты <math>(x_1,x_2,\ldots x_{n+1}),</math> тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на <math>x_0,</math> а свободный член на <math>x_0^2.</math> Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид
: <math>Q(x)=\sum_{ij} a_{ij}x_ix_j=0.</math>

Без ограничения общности можно считать, что матрица <math>Q</math> симметрична, то есть <math>a_{ij}=a_{ji}.</math> Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма [[квадратичная форма#Связанные определения|невырождена]].

В [[действительное число|действительном]] проективном пространстве, согласно закону инерции [[квадратичная форма|квадратичных форм]], любую невырожденную квадратичную форму можно ([[проективное преобразование|проективным преобразованием]]) привести к виду

: <math>Q(x) = \pm x_0^2 \pm x_1^2 \pm\cdots\pm x_{n+1}^2</math>

Поскольку [[квадратичная форма#Свойства|сигнатура]] квадратичной формы является её [[инвариант (математика)|инвариантом]], в размерности ''n'' = 2 существует ровно три [[Отношение эквивалентности|класса эквивалентности]]:

: <math>Q(x) = \begin{cases}
x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\
x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\
x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2
\end{cases}
</math>

Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами [[линейчатая поверхность|линейчатых поверхностей]]). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет [[пустое множество]]. В [[комплексное число|комплексном]] проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.

== Произношение термина ==
*В словарях приводятся различные ударения: квадри́ка<ref>Математический энциклопедический словарь, Москва, [[Советская энциклопедия]], 1988, стр. 265.</ref><ref>О. Е. Иванова и др.; отв. ред. В. В. Лопатин. Русский орфографический словарь: - 2-е изд., 2005, 943 с., стр.285</ref> («русское» произношение) и ква́дрика<ref>Lohwater's A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 155</ref><ref>Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.114</ref> («иностранное» произношение).
*В разговорном языке используется произношение как квадри́ка (Калининградская геометрическая школа), так и ква́дрика<ref>«поверхности степени 2 называются ква́дриками» [http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=11999 21 min 55 sec - 22 min 05 sec] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=11999 |date=20160404015558 }} (Летняя школа «Современная математика», 2015. Курс «Двадцать семь прямых».)</ref><ref>«ква́дрика в проективном пространстве», [http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=13468 1 min - 1 min 05 sec] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=13468 |date=20160404011531 }} (Научно-образовательный центр [[МИАН]]. Курс «Классическая алгебраическая геометрия», 2015/2016.)</ref><ref>«пусть X - это ква́дрика, предположим, что на этой ква́дрике существует точка», [http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=2546 6 min 36 sec - 6 min 56 sec] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=2546 |date=20160404010824 }} (Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения [[МИАН]], 23 сентября 2010 г.)</ref>. Не известно примеров другого произношения.

== Литература ==
* [[Математическая энциклопедия]]. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
{{wiktionary|квадрика}}
* [[Коническое сечение]]
* [[Коническая константа]]
* [[Кривая второго порядка]]
* [[Кубика]]
* [[Поверхность второго порядка]]
* [[Теорема Брианшона]]
* [[Теорема Паскаля]]
* [[Фигуры Лиссажу]]

[[Категория:Квадрики]]
[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Алгебраические многообразия]]
[[Категория:Проективная геометрия]]

Квадрика - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (4)