imported>LGB: Отмена — слово «решённая» может быть ошибочно понято в том смысле, что способ построения указанного квадрата с помощью циркуля и линейки найден

2026-03-15T10:17:35Z

Отмена — слово «решённая» может быть ошибочно понято в том смысле, что способ построения указанного квадрата с помощью циркуля и линейки найден

Новая страница

[[Файл:Squaring the circle.svg|thumb|Круг и квадрат одинаковой площади]]
'''Квадрату́ра кру́га''' — задача, заключающаяся в нахождении способа [[построение с помощью циркуля и линейки|построения с помощью циркуля и линейки]] (без шкалы с делениями) [[квадрат]]а, равновеликого по площади данному [[круг]]у. Наряду с [[Трисекция угла|трисекцией угла]] и [[Удвоение куба|удвоением куба]], является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить <math>R</math> радиус заданного круга, <math>x</math> — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: <math>x^2 = \pi R^2,</math> откуда получаем: <math>x = \sqrt{\pi} R \approx 1{,}77245 R.</math> Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

== История ==
Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения [[Площадь круга|площади круга]]. В [[Математика в Древнем Египте|древнем Египте]] уже знали, что эта площадь <math>S</math> пропорциональна квадрату диаметра круга <math>d.</math> В [[Папирус Ринда|папирусе Ринда]] для вычислений используется формула{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=10—11}}
: <math>S = \left(\frac{8}{9}d\right)^2.</math>
Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра <math>d</math> считалась равной площади квадрата со стороной <math>\frac{8}{9} d.</math> В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение <math>\pi</math> равным <math>\left(\frac{16}{9}\right)^2 \approx 3{,}16.</math>

[[Математика в Древней Греции|Древнегреческие математики]] своей задачей считали не вычисление, а точное построение искомого квадрата («[[Квадратура (математика)|квадратуру]]»), причём, в соответствии с тогдашними принципами, только с помощью [[построение с помощью циркуля и линейки|циркуля и линейки]]. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — [[Анаксагор]], [[Антифонт]], [[Брисон Гераклейский]], [[Архимед]], [[Спор (математик)|Спор]] и другие.

[[Гиппократ Хиосский]] в IV веке до н. э. первым обнаружил, что некоторые криволинейные фигуры ([[гиппократовы луночки]]) допускают точную квадратуру. Расширить класс таких фигур античным математикам не удалось. По другому пути пошёл его современник [[Динострат]], показавший, что квадратуру круга можно строго выполнить с помощью особой кривой — [[Квадратриса|квадратрисы]]{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=24—27}}.

В «[[Начала Евклида|Началах]]» [[Евклид]]а (III век до н. э.) вопрос о площади круга не затрагивается. Важным этапом в исследовании проблемы стало сочинение Архимеда «Измерение круга», в котором впервые строго доказана теорема: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Это означало, что если удастся осуществить «[[Длина кривой|спрямление окружности]]», то есть построить отрезок такой же длины, то проблема будет полностью решена. Архимед также дал оценку{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=30—34}} числа <math>\pi</math>:
: <math>\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7};\quad</math> в десятичной записи: <math>3{,}1408 < \pi < 3{,}1429.</math>

Дальнейшие исследования [[История математики в Индии|индийских]], [[Математика исламского Средневековья|исламских]] и европейских математиков по этой теме долгое время касались в основном уточнения значения числа <math>\pi</math> и подбора приближённых формул для квадратуры круга. В средневековой Европе задачей занимались [[Фибоначчи]], [[Николай Кузанский]] и [[Леонардо да Винчи]]. Позднее обширные исследования опубликовали [[Кеплер, Иоганн|Кеплер]] и [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенс]]. Постепенно укреплялась уверенность в том, что число <math>\pi</math> не может быть точно выражено с помощью конечного числа арифметических операций (включая [[извлечение корня]]), отсюда вытекала бы невозможность квадратуры круга{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=97—98}}.

В 1732 году английский математик и школьный учитель [[Бакстер, Томас|Томас Бакстер]] опубликовал свой труд ''The Circle Squared'', который содержал неверное утверждение без доказательства: «если диаметр круга равен единице, то длина его окружности равна 3,0625»<ref name="morgan">{{cite book|first=Augustus|last=De Morgan|title=A Budget of Paradoxes|date=1872|location=London|publisher=Longmans, Green, & Co.|page=87|url=https://archive.org/details/cu31924092900863/page/n161}}</ref>.

В 1775 году [[Парижская академия наук]] (за которой последовал ряд других академий мира) постановила не принимать к рассмотрению попытки квадратуры круга и прочих неразрешимых задач.

[[Иррациональное число|Иррациональность]] числа <math>\pi</math> была доказана [[Ламберт, Иоганн Генрих|Ламбертом]] в 1766 году в работе «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга». Труд Ламберта содержал пробелы, вскоре исправленные [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандром]] (1794 год). Окончательное доказательство неразрешимости квадратуры круга дал в 1882 году [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеман]] (см. следующий раздел){{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=144—168}}. Математики также предложили множество практически полезных способов приближённой квадратуры круга с хорошей точностью{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=188—191}}.

== Неразрешимость ==
Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить ''x'' длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: <math>x^2=\pi</math>, откуда: <math>x=\sqrt{\pi}</math>. С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение [[Квадратный корень|квадратного корня]]; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины <math>\pi</math>.
Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности ([[трансцендентное число|трансцендентности]]) [[Пи (число)|числа <math>\pi</math>]], которая была доказана в [[1882 год]]у [[Линдеман, Карл Луи Фердинанд|Линдеманом]].

Однако эту неразрешимость следует понимать как неразрешимость при использовании только [[Построение с помощью циркуля и линейки|циркуля и линейки]]. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, [[Квадратриса|квадратрису]]). Простейший механический способ предложил [[Леонардо да Винчи]]<ref>{{книга |автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е |ссылка=https://archive.org/details/isbn_9785382008394 |издательство=ЛКИ |место=СПб. |год=2008 |страниц=248 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_9785382008394/page/n70 71] |isbn=978-5-382-00839-4 }}</ref>. Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания <math>R</math> и высотой <math>\frac{R}{2}</math>, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью <math>\pi R^2</math>. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Из теоремы Линдемана также следует, что осуществить квадратуру круга нельзя не только циркулем и линейкой, то есть с помощью прямых и окружностей, но и с помощью любых других [[Алгебраическая кривая|алгебраических кривых]] и [[Алгебраическая поверхность|поверхностей]] (например, [[эллипс]]ов, [[Гипербола (математика)|гипербол]], [[Кубическая парабола|кубических парабол]] и т. п.){{sfn|Рудио Ф.|1936|с=87}}.

== Приближённое решение ==
Пусть <math>a</math> — сторона квадрата, <math>D</math> — диагональ квадрата, <math>r</math> — радиус круга. Равенство площадей квадрата и круга: <math>\pi r^2 = a^2</math>. По теореме Пифагора <math>D^2 = a^2 + a^2</math>, откуда <math>D = a \sqrt{2}</math>, <math>a = \frac{D}{\sqrt{2}}</math>. Подставив <math>a</math> в равенство, получим <math>\pi r^2 = \left( \frac{D}{\sqrt{2}} \right)^2</math>. Выразив <math>D</math>, получим <math>D = r \sqrt{2 \pi} \approx 2{,}506628275 \cdot r </math>. Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата<ref>{{Cite web |url=http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-45531 |title=Можно ли построить квадратуру круга? |access-date=2012-04-20 |archive-date=2012-01-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120119110846/http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-45531/ |url-status=live }}</ref>. При данном построении погрешность составит 0,016592653. При исходном радиусе в 1 метр вы получите «недостачу по площади» в размере чуть более 10 спичечных коробков.

== Метафора «квадратура круга» ==
Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает [[Сизифов труд|безнадёжное, бессмысленное или тщетное предприятие]]. См. также [[вечный двигатель]].

== См. также ==
* [[Квадратриса]]
* [[Построение с помощью циркуля и линейки]]
* [[Трисекция угла]]
* [[Удвоение куба]]
* [[Квадратура круга Тарского]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Родственные проекты}}
* {{книга |автор=Белозеров С. Е. |заглавие=Пять знаменитых задач древности. История и современная теория
|место=Ростов |издательство=изд-во Ростовского университета |год=1975 |страниц=320
|ref=Пять знаменитых задач древности }}
* ''[[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]]'' О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. [http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-4.htm Книга четвёртая (геометрия)] {{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-4.htm |date=20110918003800 }}, М., Физматгиз, 1963. — 568 с.
* ''[[Перельман, Яков Исидорович|Перельман Я. И.]]'' [[s:Квадратура круга (Перельман)|Квадратура круга]]. Л.: Дом занимательной науки, 1941.
* [http://www.math.ru/lib/plm/62 ''Прасолов В. В.''. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга.] {{Wayback|url=http://www.math.ru/lib/plm/62 |date=20081209041154 }} М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
* {{книга |автор=Рудио Ф. |заглавие=О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр)
|издание=Изд. 3-е |место=М.—Л. |издательство=ОГИЗ |год=1936 |страниц=237 |ref=Рудио Ф.
|серия=[[Классики естествознания]] }}
* {{книга |заглавие = Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов. Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга |оригинал = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever
|автор = Хал Хеллман. |isbn = 0-471-35066-4 |страниц = 320 |год = 2007 |место = М.
|издательство = [[Диалектика (издательство)|«Диалектика»]] }}
* {{книга |автор=Чистяков В. Д. |заглавие=Три знаменитые задачи древности
|место=М. |издательство=Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР |год=1963
|страниц=96 |ref=Три знаменитые задачи древности}}.
* {{статья |автор=[[Щетников, Андрей Иванович|Щетников А. И.]] |заглавие=Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? |оригинал= |ссылка= |автор издания= |издание=Математическое образование |тип= |место= |издательство= |год=2008 |месяц= |число= |том= |выпуск= |номер=4 (48) |страницы=3—15 |isbn= |issn= |doi= |bibcode= |arxiv= |pmid= |язык= |ref= |archive-url= |archive-date=}}

{{Математика в Древней Греции}}

[[Категория:Геометрические построения]]
[[Категория:Неразрешимые задачи древности]]

Квадратура круга - История изменений

imported>LGB: Отмена — слово «решённая» может быть ошибочно понято в том смысле, что способ построения указанного квадрата с помощью циркуля и линейки найден