imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:29:56Z

Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''Квадратичная форма''' — функция на [[Векторное пространство|векторном пространстве]], задаваемая [[однородный многочлен|однородным многочленом]] второй степени от координат вектора.

== Определение ==
Пусть <math>L</math> есть [[векторное пространство]] над полем <math>K</math> и <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — базис в <math>L</math>.

[[Функция (математика)|Функция]] <math>Q : L \to K</math> называется квадратичной формой, если её можно представить в виде
:<math>Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,</math>
где <math>x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n</math>, а <math>a_{ij}</math> — некоторые элементы поля <math>K</math>.

== Связанные определения и свойства ==
* [[Матрица (математика)|Матрицу]] <math>A=(a_{ij})</math> называют матрицей квадратичной формы <math>Q(x)</math> в данном базисе. В случае, если [[характеристика поля]] <math>K</math> не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть <math>a_{ij}=a_{ji}</math>. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде
: <math>Q(x_1,x_2) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2</math>.
* При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>) с матрицей замены <math>C</math> матрица квадратичной формы изменяется по формуле
: <math>A' = C^T A \, C,</math>
: где <math>A'</math> — матрица квадратичной формы в новом базисе.
* Из формулы <math>A' = C^T A \, C</math> следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы [[Линейное отображение|линейного отображения]]), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ''ранга квадратичной формы''.
* Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг <math>n</math>, то квадратичную форму называют ''невырожденной'', в противном случае — ''вырожденной''.
* Для любой квадратичной формы <math>Q</math> существует единственная симметричная [[билинейная форма]] <math>B</math> такая, что <math>Q(x)=B(x,x)</math>. Билинейную форму <math>B</math> называют ''полярной'' к <math>Q</math>, если она может быть вычислена по формуле
: <math>B(x,y)=\frac{1}{2}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).</math>
* Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

== Знакоопределённые и знакопеременные формы ==
В случае, когда <math>K = \R</math> (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе для различных приложений, играют понятия '''''положительно''''' и '''''отрицательно определённой''''' квадратичной формы.

* Квадратичная форма <math>Q</math> называется '''''положительно''''' ('''''отрицательно''''') '''''определённой''''', если для любого <math>x\neq 0</math> выполнено неравенство <math>Q(x)>0</math> <math>(Q(x)<0)</math>. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются '''''знакоопределёнными'''''.
* Квадратичная форма <math>Q(x)</math> называется '''''знакопеременной''''' ('''''индефинитной'''''), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
* Квадратичная форма <math>Q(x)</math> называется '''''положительно''''' ('''''отрицательно''''') '''''полуопределенной''''', если <math>Q(x)\ge 0</math> <math>(Q(x)\le 0)</math> для любого <math>x\in L</math> и существует <math>x\neq 0</math> такой, что <math>Q(x)=\ 0</math>.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется [[критерий Сильвестра]]:
* Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые [[Минор (линейная алгебра)|миноры]] её матрицы строго положительны.
* Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки всех угловых [[Минор (линейная алгебра)|миноров]] её матрицы чередуются, причём минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем [[скалярное произведение|аксиомам скалярного произведения]].

== Канонический вид ==

=== Вещественный случай ===
В случае, когда <math>K = \R</math> (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет ''канонический вид'', то есть содержит только квадраты переменных:
: <math>Q(x)= a_1x^2_1+ \cdots+ a_px^2_p - a_{p+1}x^2_{p+1}- \cdots -a_{p+q}x^2_{p+q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*)</math>
где <math>r</math> — ранг квадратичной формы. В этом случае коэффициенты <math>a_{i}</math> называются ''каноническими коэффициентами''. В случае невырожденной квадратичной формы <math>p+q=n</math>, а в случае вырожденной — <math> p+q < n </math>.

Существует также ''нормальный вид'' квадратичной формы:<math>Q_{n}(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p -x^2_{p+1}- \cdots -x^2_{p+q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*)</math>.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются [[Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду|метод Лагранжа]] или ортогональные преобразования базиса, причём привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

{{falseredirect|Закон инерции Сильвестра}}
Число <math>q</math> (отрицательных членов) называется ''индексом инерции'' данной квадратичной формы, а число <math>p-q</math> (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется ''[[Сигнатура (линейная алгебра)|сигнатурой]]'' квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару <math>(p,q)</math>. Числа <math>p,q, p-q</math> являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (''закон инерции [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Сильвестра]]'').

=== Комплексный случай ===
В случае, когда <math>K = \Complex</math> (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид
: <math>Q(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_r, \qquad (**)</math>
где <math>r</math> — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один-единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

== Примеры ==
* [[Скалярное произведение]] векторов <math>(x,y)</math> — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма <math>Q(x)=(x,x)</math> является положительно определённой, она сопоставляет вектору <math>x</math> квадрат его длины.
* Квадратичная форма <math>Q(x)=x_1x_2</math> на плоскости (вектор <math>x</math> имеет две координаты: <math>x_1</math> и <math>x_2</math>) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду <math>x_1'^2-x_2'^2</math> с помощью линейной замены <math>x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2'</math>.

== См. также ==
* [[Теорема Витта]]
* [[Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* ''[[Беклемишев, Дмитрий Владимирович|Беклемишев Д. В.]] Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
* ''Гельфанд И. М.'', [https://web.archive.org/web/20030706015956/http://www.nature.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=index.html Линейная алгебра]. Курс лекций.
* ''[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]]'' Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
*{{книга|автор=[[Конвей, Джон Хортон|Конвей Дж.]]|заглавие=Квадратичные формы, данные нам в ощущениях|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2008|ISBN=978-5-94057-268-8|тираж=1000|страниц=144|ссылка=http://biblio.mccme.ru/node/1931}}
* ''Мальцев А. И.'' Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
* ''[[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев Д. К.]]'' Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
* ''Кострикин А. И.'' Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
* ''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

{{rq|
{{нет сносок|дата=2013-08-12}}
{{оформить литературу|дата=2013-08-12}}
}}
{{Векторы и матрицы}}

[[Категория:Линейная алгебра]]

Квадратичная форма - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО