imported>Matsievsky: /* Определения */

2024-10-20T11:11:40Z

Определения

Новая страница

{{Значения|Бэр}}
'''Категория Бэра''' — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества.
Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Названа в честь французского математика [[Бэр, Рене-Луи|Рене-Луи Бэра]].

== Определения ==
{{Якорь|Пространство первой категории Бэра}}{{Якорь|Пространство второй категории Бэра}}
* [[Топологическое пространство|Топологические пространства]], допускающие [[счётное множество|счётное]] покрытие [[нигде не плотное множество|нигде не плотными]] подмножествами, относятся к '''пространствам первой категории Бэра''', не допускающие такого покрытия — к '''пространствам второй категории Бэра.'''

{{Якорь|Множество первой категории Бэра}}
* Подмножество топологического пространства <math>X</math>, которое можно представить в виде [[счётное множество|счётного]] объединения [[нигде не плотное множество|нигде не плотных]] в <math>X</math> множеств, называется '''множеством первой категории Бэра''' в пространстве <math>X</math>.

{{Якорь|Множество второй категории Бэра}}
* Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется''' множеством второй категории Бэра '''в пространстве <math>X</math>.

* Топологическое пространство, в котором любое множество первой категории не содержит внутренних точек, называется '''пространством Бэра'''.

== Свойства ==
Для целей анализа удобно, когда рассматриваемое пространство относится ко второй категории Бэра, так как отнесение к этой категории равносильно справедливости [[теорема существования|теорем существования]], таких как:
# Если пространство второй категории Бэра покрыто счётным семейством замкнутых множеств, то хотя бы одно из них имеет внутреннюю точку (''теорема существования внутренней точки'').
# В пространстве второй категории Бэра всякое счётное семейство открытых [[Всюду плотное множество|всюду плотных множеств]] имеет непустое пересечение (''теорема существования общей точки'').

Если всё-таки пространство относится к первой категории Бэра, из этого можно получить лишь результаты отрицательного характера — например, всякая [[Метрика (метрическая геометрия)|метрика]] на этом пространстве, совместимая с топологией, неполна, а замыкание любого (непустого) открытого подмножества [[компактность|некомпактно]]. По этой причине, например, пространство многочленов неполно в любой метрике, в которой оно является [[топологическое векторное пространство|топологическим векторным пространством]] (счётномерное [[векторное пространство]] во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра).

Применение категорий Бэра к подмножествам заданного топологического пространства имеет смысл, если объемлющее пространство относится ко второй категории Бэра (иначе все подмножества будут первой категории в данном пространстве). Грубо говоря, множества первой категории считаются «маленькими» («тощими»), а второй — «большими» («тучными»).

В этом смысле понятие категории напоминает понятие [[Мера множества|меры]], однако в отличие от меры, категория подмножества зависит только от топологии объемлющего пространства.

Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры.
Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные [[выпуклое множество|выпуклые]] подмножества [[евклидово пространство|евклидова пространства]]».

== Теорема Бэра ==
'''Теорема.''' [[Полное метрическое пространство|Полные метрические пространства]] и локально компактные [[хаусдорфово пространство|хаусдорфовы пространства]] относятся к пространствам второй категории Бэра.

Для доказательства достаточно показать, что всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств <math>G_k\;(k=1,\;2,\;\ldots)</math> имеет непустое пересечение.

В случае полного метрического пространства индуктивно строится последовательность шаров <math>B_k</math> такая, что при каждом <math>k</math> <math>\bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k</math> и радиус шара <math>B_k</math> был бы меньше, чем <math>2^{-k}</math>. Последовательность стягивающихся замкнутых шаров имеет непустое пересечение в силу полноты пространства, и общая точка этих шаров будет общей и для множеств <math>G_k</math>.

В случае локально компактного хаусдорфова пространства индуктивно строится последовательность открытых множеств <math>B_k</math> такая, что при каждом <math>k</math> <math>\bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k</math> и замыкание множества <math>B_k</math> компактно. Тогда последовательность множеств <math>\bar B_k</math> образует центрированную систему замкнутых подмножеств в компактном хаусдорфовом пространстве <math>\bar{B}_1</math> и потому имеет непустое пересечение.

'''Пример.''' В качестве приложения категорий Бэра, можно показать, что множество иррациональных точек <math>\R\setminus\Q</math> не может быть множеством всех точек разрыва никакой функции на числовой прямой. Множество всех точек разрыва любой функции <math>f</math> на <math>\R</math> является счётным объединением замкнутых множеств <math>E_n</math>, состоящих из тех точек, в которых [[колебание функции]] <math>f</math> не меньше, чем <math>1/n</math>. Если бы искомая функция существовала, множества <math>E_n</math> были бы нигде не плотными, так как их объединение не имеет внутренних точек. Из этого получалось бы, что множество <math>\R\setminus\Q</math> первой категории в <math>\R</math>, а так как его дополнение тоже имеет первую категорию, то и всё пространство <math>\R</math> было бы первой категории, что противоречит его полноте.

== См. также ==
[[G-дельта-множество]]

== Ссылки ==
* ''Окстоби Дж.'' Мера и категория. — Перев. с англ. — М.: Мир, 1974. — 157 с.

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Метрическая геометрия]]

Категория Бэра - История изменений

imported>Matsievsky: /* Определения */