imported>Д.Ильин: img

2026-01-08T10:53:10Z

img

Новая страница

[[Файл:EpicycloidK1.gif|right|thumb|Кардиоида — траектория заданной точки окружности, катящейся по неподвижной окружности равного радиуса]]
[[Файл:Cardioid is pedal of circle.svg|right|thumb|Кардиоида — подера окружности с полюсом на этой окружности]]
{{Обзорная статья|Улитка Паскаля}}

'''Кардио́ида, или сердцеви́дная крива́я{{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=§ 2. Атлас кривых. Кардиоида (сердцевидная кривая), с. 93}}''' ({{lang-el|καρδία}} — сердце, {{lang-el|εἶδος}} — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой [[окружность|окружности]], катящейся по неподвижной окружности с таким же [[радиус]]ом{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со [[Символ сердца|стилизованным изображением]] [[сердце|сердца]].

Кардиоида является частным случаем [[Улитка Паскаля|улитки Паскаля]], [[Эпициклоида|эпициклоиды]] и [[Синусоидальная спираль|синусоидальной спирали]], а также [[Подера#Подера окружности|подерой окружности]] с полюсом на этой окружности, [[Подера#Подера и антиподера на плоскости|антиподерой]] {{iw|Секстика Кэли|секстики Кэли|en|Cayley's sextic}} и [[Инверсия (геометрия)|инверсией]] [[Парабола|параболы]].

== Уравнения ==
[[Файл:Kardioide.svg|thumb|Порождение кардиоиды и используемая система координат]]
Пусть <math> a </math> — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой или левой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах{{sfn|Савелов А. А.|1960|с=121—122|name=SAV121}}:

* в [[прямоугольные координаты|прямоугольных координатах]]{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}:
*: <math>(x^2 + y^2 \pm 2 a x)^2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) \, = \, 0;</math>
* в [[полярные координаты|полярных координатах]]<ref name=SAV121/>{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}:
*: <math>r = 2a (1 \mp \cos\varphi);</math>

В прямоугольных координатах с началом координат в центре неподвижной окружности (параметрическая запись):
: <math>x(t) = 2 a \cos t \mp a \cos 2 t,</math>
: <math>y(t) = 2 a \sin t \mp a \sin 2 t,</math>

то же самое на комплексной плоскости (параметрическая запись){{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter XX. Cardioid and limaçon, p. 257}}:
: <math>z(t) = 2 a e^{it} \mp a e^{i2t}.</math>

Во всех уравнениях этого раздела в знаках <math>\pm</math> и <math>\mp</math><math> a </math> верхний знак соответствует началу координат и каспу справа, нижний — слева.

== Свойства ==
* Кардиоида является частным случаем [[Улитка Паскаля|улитки Паскаля]]
* Кардиоида является частным случаем [[Синусоидальная спираль|синусоидальной спирали]]
* Кардиоида — [[алгебраическая кривая]] четвёртого порядка.
* Кардиоида имеет один [[касп]].
* Кардиоида — [[Подера#Подера окружности|подера окружности]] с полюсом на этой окружности — каспом кардиоиды.
* [[Длина дуги]] одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах

: <math>r = 2 a (1 - \cos\varphi)</math>

: равна:

:<math>L=2\int_0^\pi{\sqrt{r(\varphi)^2+(r'(\varphi))^2}} \; d\varphi=\cdots=8a\int_0^\pi\sqrt{\tfrac{1}{2}(1-\cos\varphi)}\; d\varphi= 8a\int_0^\pi\sin(\tfrac{\varphi}{2}) d\varphi= 16a</math>

* [[Площадь фигуры]], ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах

: <math>r =2 a (1 - \cos\varphi)</math>

: равна:

:<math> S=2\cdot \tfrac{1}{2}\int_0^\pi{(r(\varphi))^2}\; d\varphi=\int_0^\pi{4a^2(1-\cos\varphi)^2}\; d\varphi=\cdots =4a^2\cdot\tfrac{3}{2}\pi=6\pi a^2</math> .

Радиус кривизны любой линии:

:<math>\rho(\varphi) = \frac{\left[r(\varphi)^2 + \dot r(\varphi)^2\right]^{3/2}}
{r(\varphi)^2 + 2 \dot r(\varphi)^2 - r(\varphi) \ddot r(\varphi)} \ .</math>

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

: <math>r(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)=4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2},</math>

:<math>\rho(\varphi)=\cdots=\frac{[16a^2\sin^2\frac{\varphi}{2}]^\frac{3}{2}}
{24a^2 \sin^2\frac{\varphi}{2}} = \frac{8}{3}a\sin\frac{\varphi}{2} \ .</math>

== Обобщение ==
[[Файл:Pascal limaçons.svg|thumb|Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная <math>2a>\ell</math>, красная (кардиоида) <math>2a=\ell</math> и синяя <math>2a<\ell</math>]]
* Кардиоида есть [[Синусоидальная спираль]] при <math>\textstyle n=\frac{1}{2}</math>;
* Кардиоида есть [[Улитка Паскаля]] при <math>2a=\ell</math>.
[[File:Polar pattern cardioid.svg|right|thumb|Диаграмма направленности кардиоидного микрофона]]

== История ==
Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (''Louis Carrè'', 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году [[Кастильон, Иоганн|Джованни Сальвемини ди Кастиллоне]] (он упоминается также как ''Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon'').

«[[Спрямление]]», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (''Philippe de La Hire''), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (''J. Koersma'', 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

== Микрофоны ==

Односторонняя направленность достигается в [[микрофон]]ах комбинированного типа. Их диаграммы направленности близки по форме к кардиоиде, поэтому нередко их называют кардиоидными. Модификации микрофонов, имеющих ещё меньшую направленность, чем кардиоидные, называют суперкардиоидными и гиперкардиоидными, однако эти разновидности, в отличие от кардиоидного микрофона, также чувствительны к сигналам с противоположной стороны.

Эти микрофоны имеют определённые преимущества в эксплуатации: источник звука располагается с одной стороны микрофона в пределах достаточно широкого пространственного угла, а звуки, распространяющиеся за его пределами, микрофон не воспринимает<ref>{{Cite web |url=https://dms-online.ru/pages/kardioidnie-mikrofoni#:~:text=%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%BE%D0%BD%D1%8B%20%2D%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D1%82%D0%B8%D0%BF%20%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85,%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%2C%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BE%D1%81%D0%B8%20%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0. |title=КАРДИОИДНЫЙ МИКРОФОН - ОПИСАНИЕ, ОСОБЕННОСТИ, СФЕРА ПРИМЕНЕНИЯ |access-date=2024-04-06 |archive-date=2024-04-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240406091427/https://dms-online.ru/pages/kardioidnie-mikrofoni#:~:text=%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%BE%D0%BD%D1%8B%20%2D%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D1%82%D0%B8%D0%BF%20%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85,%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%2C%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BE%D1%81%D0%B8%20%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0. |url-status=live }}</ref>.

== См. также ==
* [[Пространственная кардиоида]]
* [[Стержень Витгенштейна]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{wiktionary|кардиоида}}
* {{книга |заглавие=Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство)
|автор=Савелов А. А. |место=М. |издательство=Физматлит |год=1960 |страницы=230—233
|страниц=293 |ref=Савелов А. А.}}. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |ссылка = https://archive.org/details/libgen_00069640 |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Кардиоида |страницы = [https://archive.org/details/libgen_00069640/page/n130 130]—131 |ref = Энциклопедический словарь юного математика}}
* {{h|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|3=
''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
}}
* {{h|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|3=
''{{iw|Цвиккер, Корнелис|Zwikker C.|en|Cornelis Zwikker}}'' {{iw|Цвиккер, корнелис|The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications|en|Cornelis Zwikker#Books}}The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.
}}

{{Кривые}}

[[Категория:Алгебраические кривые]]

Кардиоида - История изменений

imported>Д.Ильин: img