imported>Tosha: /* Классическое построение */

2025-12-31T20:28:11Z

Классическое построение

Новая страница

'''Ка́нторово мно́жество''' (''канторов дисконтинуум'', ''канторова пыль'') — один из простейших [[фрактал]]ов, подмножество единичного отрезка [[вещественное число|вещественной прямой]], которое является классическим примером [[дисконтинуум]]а в [[математический анализ|математическом анализе]].

Описано в [[1883 год в науке|1883 году]] [[Кантор, Георг|Георгом Кантором]].
Этим он ответил на следующий вопрос [[Миттаг-Леффлер, Магнус Гёста|Магнуса Миттаг-Леффлера]], заданный в письме от 21 июня 1882 года:<ref>
{{статья|автор=Moore, Gregory H.|заглавие=The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology|ссылка=|язык=en|издание=Historia Math|год=2008|том=35|номер=3|страницы=220–241|doi=|issn=}}</ref>
:Пусть <math>P'</math> обозначает множество предельных точек множества <math>P</math>. Существует ли нигде неплотное множество <math>P</math>, такое что пересечение
::<math>P\cap P'\cap P''\cap\dots</math>
:не пусто?

== Определения ==

=== Классическое построение ===
Из единичного отрезка <math>C_0=[0,1]</math> удалим среднюю треть, то есть [[Промежуток (математика)|интервал]] <math>\left ( \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \right )</math>.
Оставшееся точечное множество обозначим через <math>C_1</math>.
Множество <math>C_1 = \left[0; \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}; 1\right]</math> состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через <math>C_2</math>.
Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем <math>C_3</math>.
Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств <math>C_0\supset C_1\supset C_2\supset\dots</math>.
Пересечение
: <math>C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i</math>
и называется ''канторовым множеством''.

{| align="center" style="text-align: center;"
|-
|
[[Файл:Cantor set in seven iterations.svg|Семь итераций построения канторова множеств]]
|-
|Множества <math>C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6</math>
|}

=== С помощью троичной записи ===

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в [[система счисления|троичной записи]] с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в <math>n</math>-м разряде вырезаются на <math>n</math>-м шаге построения).
Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление.
Например, <math>0{,}1_3\in C</math>, так как <math>0{,}1_3=0{,}0(2)_3</math>.
В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

=== Как аттрактор ===

Канторово множество может быть определено как [[аттрактор]].
Рассмотрим все последовательности точек <math>\{x_n\}</math> такие, что для любого <math>n</math>
: <math>x_{n + 1} = \frac{x_n}{3}</math> или <math>x_{n+1}-1 = \frac{x_n-1}{3}</math>.
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

=== Как счётная степень простого двоеточия ===
В литературе по [[Общая топология|общей топологии]] канторово множество определяется как счётная [[декартова степень|степень]] двухточечного [[Дискретное пространство|дискретного пространства]] — <math>\{0;1\}^{\aleph_0}</math>{{sfn|Энгелькинг|1986|с=136}}; такое пространство [[Гомеоморфизм|гомеоморфно]] классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией){{sfn|Энгелькинг|1986|с=207—208}}<ref>{{Из|МЭ|заглавие=Канторово множество|автор=В. В. Федорчук}}</ref>.

== Свойства ==
* Канторово множество [[Замкнутое множество|замкнуто]].
* Канторово множество является [[нигде не плотное множество|нигде не плотным]] [[Совершенное множество|совершенным множеством]].
* Канторово множество [[Континуум (теория множеств)|континуально]].
* Канторово множество имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 0.
* Канторово множество имеет промежуточную (то есть не [[целое число|целую]]) [[Хаусдорфова размерность|хаусдорфову размерность]] равную <math>\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}63</math>. В частности, оно имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]].
* Каждый нульмерный [[Метризуемое пространство|метризуемый]] компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
* Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором [[Непрерывное отображение|непрерывном отображении]].
* Канторово множество [[Универсальное пространство|универсально]] для всех нульмерных [[Вторая аксиома счётности|пространств со счётной базой]].

== Вариации и обобщения ==
'''''Канторов куб''''' (''обобщённый канторов дисконтинуум'') веса <math>\mathfrak{m} \geqslant \aleph_0</math> — <math>\mathfrak{m}</math>-я степень двухточечного дискретного пространства <math>\{0;1\}^{\mathfrak{m}}</math>.
Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств [[Вес топологического пространства|веса]] не больше <math>\mathfrak{m}</math>.
Каждый [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфов]] компакт веса не больше <math>\mathfrak{m}</math> есть непрерывный образ подпространства канторова куба <math>\{0;1\}^{\mathfrak{m}}</math>.

{{iw|Диадический компакт|Диадический компакт|en|Dyadic compactum}} — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. {{iw|Диадическое пространство|Диадическое пространство|en|Dyadic space}}<ref>{{Из|МЭ|заглавие=Диадическое пространство|автор=В. А. Ефимов}}</ref> — топологическое пространство, для которого существует [[компактификация]], являющаяся диадическим компактом.

== См. также ==
* [[Канторова лестница]]
* [[Функция Минковского]]
* [[Дисконтинуум]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Энгелькинг Р. |заглавие=Общая топология|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1986|страниц=752|ref=Энгелькинг}}
{{Фракталы}}

[[Категория:Фракталы]]
[[Категория:Топологические пространства]]
[[Категория:Числовые множества]]

Канторово множество - История изменений

imported>Tosha: /* Классическое построение */