imported>Sldst-bot: Уточнение даты установки ш:Нет источников: 2009-05-10 (до 2024-10-20 ш:Rq с параметром sources)

2025-09-05T11:29:52Z

Уточнение даты установки ш:Нет источников: 2009-05-10 (до 2024-10-20 ш:Rq с параметром sources)

Новая страница

[[Файл:Kantor Stairs.png|right|thumb|250px|Канторова лестница]]
'''Канторова лестница''' — пример непрерывной монотонной функции <math>[0,1]\to [0,1]</math>, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в [[почти всюду|почти всех]] точках ([[сингулярная функция|сингулярной функции]]). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».<ref>{{MathWorld|DevilsStaircase|Devil's Staircase}}</ref>

== Построения ==

=== Стандартное ===
В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части <math>\left(0,\frac{1}{3}\right)</math>, <math>\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)</math> и <math>\left(\frac{2}{3},1\right)</math>. На среднем сегменте полагаем <math>F(x) = \frac{1}{2}</math>. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах <math>F(x)</math> полагается равной <math>\frac{1}{4}</math> и <math>\frac{3}{4}</math>. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах <math>F(x)</math> определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями <math>F(x)</math>. На остальных точках [[Единичный отрезок|единичного отрезка]] определяется по непрерывности.
Полученная функция называется '''канторовой лестницей'''.

=== По двоичной и троичной записи ===
Любое число <math>x\in[0,1]</math> можно представить в [[Троичная система счисления|троичной системе счисления]] <math>x=(0{,}a_1a_2\dots)_3</math>, <math>a_i\in\{0,1,2\}</math>.
Если в записи <math>0{,}a_1a_2\dots</math> встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1.
Получившаяся последовательность <math>0{,}b_1b_2\dots</math> даёт запись значения канторовой лестницы в точке <math>x</math> в [[Двоичная система счисления|двоичной системе счисления]].

== Свойства ==
* [[Производная функции|Производная]] канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме [[канторово множество|канторова множества]].
* Канторова лестница [[непрерывная функция|непрерывна]], [[функция ограниченной вариации|ограниченной вариации]], но не [[абсолютно непрерывная функция|абсолютно непрерывна]].
* Канторова лестница не обладает [[Свойство Лузина|свойством Лузина]].

== См. также ==
* [[Функция Минковского]]
* [[Фрактал]]

== Ссылки ==
<references/>

{{Нет источников |дата=2009-05-10}}

[[Категория:Функции]]
[[Категория:Фракталы]]
[[Категория:Математический анализ]]

Канторова лестница - История изменений

imported>Sldst-bot: Уточнение даты установки ш:Нет источников: 2009-05-10 (до 2024-10-20 ш:Rq с параметром sources)