imported>Tosha: /* Замечания */

2025-07-01T17:14:47Z

Замечания

Новая страница

{{Значения|Инверсия}}
{{не путать|центральная симметрия|центральной симметрией}}
[[Файл:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg|thumb|right|[[Кардиоида]] — инверсия [[парабола|параболы]]]]
'''Инве́рсия''' (от {{lang-la|inversio}} «обращение») относительно окружности — [[Преобразование (математика)|преобразование]] [[Евклидова плоскость|евклидовой плоскости]], переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

== Определение ==
[[Файл:Inversion illustration1.svg|thumb|right|200px|Инверсия]]
Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность <math>\Gamma</math> с центром <math>O</math>
(называемым '''полюсом инверсии''', или '''центром инверсии''', эта точка выколота) и радиусом <math>R</math>.
Инверсия точки <math>P</math> относительно <math>\Gamma</math> есть точка <math>P'</math>, лежащая на [[луч (геометрия)|луче]] <math>OP</math> такая, что
: <math>|OP'|\cdot|OP|=R^2.</math>

===Замечания===
*Инверсия иногда называется ''отражением относительно окружности''.
*Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.
*Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» <math>\infty</math> и считают её инверсным образом <math>O</math>, а <math>O</math> — инверсным образом <math>\infty</math>. В этом случае инверсия является [[Биекция|биективным]] [[преобразование плоскости|преобразованием]] этой расширенной [[круговая плоскость|«круговой плоскости»]].
*Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

== Свойства ==
[[Файл:Inversion.gif|thumb|right|Образ центра окружности не является центром образа]]
Инверсия относительно окружности <math>\Gamma</math> с центром ''O'' обладает следующими основными свойствами:
* Инверсия является [[инволюция (математика)|инволюцией]]: если точка ''P'' переходит в точку ''Q'', то и точка ''Q'' переходит в точку ''P''.
* Прямая, проходящая через ''O'', переходит в себя.
* Прямая, не проходящая через ''O'', переходит в окружность, проходящую через ''O'' с выколотой точкой ''O''; и обратно, окружность, проходящая через ''O'', переходит в прямую, не проходящую через ''O''.
* Окружность, не проходящая через ''O'', переходит в окружность, не проходящую через ''O'' (при этом образ её центра не является центром образа).
* Инверсия является [[конформное отображение|конформным отображением]] второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет [[ориентация|ориентацию]]).
[[Файл:Apollonius_circle_definition_labels.svg|thumb|250px|right|<math>d_1/d_2 = \text{const}</math>]]
* Инверсия относительно [[Окружность Аполлония|окружности Аполлония]] меняет местами её фокусы.
* Окружность или прямая, [[перпендикуляр]]ная к <math>\Gamma</math>, переходит в себя.
* Для того, чтобы точки <math>A</math> и <math>B</math> были инверсиями друг друга относительно окружности <math>\Gamma</math>, необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной проходящая через них, была ортогональна <math>\Gamma</math>.<ref>{{книга
|автор = [[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]
|заглавие = Введение в комплексный анализ
|ссылка =
|ответственный=|издание =
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1969]]
|том =
|страницы=192|страниц = 577
|isbn =
|isbn2=}}</ref>

[[File:Circle transformation scheme. Pedal-inversion-pedal-inversion.png|300px|right]]

*Имеет место [[Полярное преобразование кривой#Полярное преобразование кривой есть инверсия подеры|схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой]], показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения{{sfn|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|loc=Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152—153}}:
** инверсия кривой есть [[антиподера]] этой кривой с последующим [[Полярное преобразование кривой|полярным преобразованием кривой]], окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры;
** инверсия кривой есть [[подера]] полярного преобразования этой кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

=== Замечания ===
* В теории [[Окружность|окружностей]] и инверсии две окружности, пересекающиеся под [[Прямой угол|прямым углом]], называются '''ортогональными''' ('''[[перпендикуляр]]ными'''). Окружности можно считать '''ортогональными''', если они образуют [[прямой угол]] друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
* В теории [[Окружность|окружностей]] и инверсии прямая перпендикулярна к окружности <math>\Gamma</math>, если она проходит через центр последней.

== Построение ==
[[Файл:Inversion in circle 2.png|thumb|left|150px|Построение образа точки при инверсии относительно окружности]]
Получить образ ''P''' точки ''P'' при инверсии относительно данной окружности с центром ''O'' можно следующим образом<ref>{{книга|автор=[[Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]]|заглавие=Геометрия|ссылка=https://archive.org/details/libgen_00911795|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1983|страниц=288|страницы=[https://archive.org/details/libgen_00911795/page/n40 41]—42}}</ref>:
* Если расстояние от ''P'' до ''O'' больше радиуса окружности — провести из ''P'' касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой ''OP'' из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке ''P'''.
* Если расстояние от ''P'' до ''O'' меньше радиуса окружности — провести через ''P'' перпендикуляр к ''OP'', а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт ''OP'' в искомой точке ''P'''.
* Если расстояние от ''P'' до ''O'' равно радиусу окружности, образ ''P'' совпадёт с ней самой.

== Координатные представления ==

=== [[Декартовы координаты]] ===
Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением
: <math>(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)</math>.
Если точку плоскости задать одной [[комплексное число|комплексной координатой]] <math>z=x+iy</math>, то это выражение можно представить в виде
: <math>z\mapsto (\bar z)^{-1}</math>,
где <math>\bar z</math> — [[комплексное число|комплексно сопряжённое]] число для <math>z</math>.
Данная [[функция комплексного переменного]] является [[Антиголоморфная функция|антиголоморфной]], откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке <math>O=(x_0,y_0)</math> и радиусом
<math>r</math> задаётся соотношением
: <math>(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right)</math>.

=== [[Полярные координаты]] ===
Инверсия относительно окружности радиуса <math>r</math> с центром в начале координат задаётся соотношением

: <math>(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho)</math>.

== Приложения ==
* Применением инверсии решаются
**[[задача Аполлония]],
**[[Неравенство Птолемея|тождество Птолемея]].
* На свойствах инверсии основан [[механизм Липкина — Посселье]].
* Применением инверсии доказывается [[теорема Мора — Маскерони]], которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки){{sfn|Жижилкин|2009}}{{sfn|Курант|2000}}
* Одно из доказательств свойств [[Окружность Аполлония|окружности Аполлония]] основанно на свойстве инверсии.<ref>[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AГеометрия_(Давидов).djvu&page=121 § 124] «Геометрии» [[Давидов, Август Юльевич|А. Ю. Давидова]].</ref>
* При помощи инверсии доказывается [[поризм Штейнера]]: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.
* При помощи инверсии доказывается то, что равны две [[архимед]]овы окружности-близнецы в [[арбелос]]е.{{sfn|Жижилкин|2009}}
* При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в [[Цепь Паппа Александрийского|поризме Паппа Александрийского]].{{sfn|Жижилкин|2009}}
* При помощи инверсии доказывается [[Теорема о бабочке]].{{sfn|Жижилкин|2009}}

== Вариации и обобщения ==
=== Инверсия относительно конического сечения ===
Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного [[Коническое сечение|конического сечения]], с той лишь разницей, что величина <math>R</math> будет (переменным) расстоянием от центра <math>O</math> соответствующей кривой (в случае [[эллипс]]а и [[Гипербола (математика)|гиперболы]]) до точек пересечения этой кривой с прямой <math>OP</math>.

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка <math>P</math> между [[Гипербола (математика)#Асимптоты|асимптотами]], возможен случай, когда прямая <math>OP</math> не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления <math>R</math> берётся точка пересечения этой прямой с [[Гипербола (математика)#Свойства|сопряжённой гиперболой]] (если только точка <math>P</math> не лежит на асимптоте), а соответствующая величина <math>R^2</math> берётся со знаком минус, то есть луч <math>OP'</math> направляется в сторону, противоположную лучу <math>OP</math>.

Инверсия относительно [[Парабола|параболы]] — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения <math>\mathcal K</math> как середина [[Хорда (геометрия)|хорды]], высекаемой [[Полюс и поляра|полярой]] точки <math>P</math> относительно <math>\mathcal K</math> на <math>\mathcal K</math>. Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает <math>\mathcal K</math>, для полноты определения приходится применять это, частичное, определение ''в обратную сторону'' (то есть <math>P'</math> — это такая точка, что <math>P</math> является серединой хорды, высекаемой полярой <math>P'</math> на <math>\mathcal K</math>), что не всегда удобно.
== См. также ==
* {{не переведено 5|Инверсная геометрия|Инверсная геометрия||Inversive geometry}}
* [[Инверсия кривой]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{h|''Zwikker C.'' The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963|3=
''{{iw|Цвиккер, Корнелис|Zwikker C.|en|Cornelis Zwikker}}'' {{iw|Цвиккер, корнелис|The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications|en|Cornelis Zwikker#Books}}The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.
}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
{{wiktionary|инверсия}}
* Ануфриенко С. А. [http://virlib.eunnet.net/mif/text/n0197/1-1.html ''Симметрия относительно окружности''].
* Бакельман И. Я. [http://plm.mccme.ru/ann/a44.htm ''Инверсия'']. [[Популярные лекции по математике]], Вып. 44, М., Наука, 1966.
* {{книга
|автор=Жижилкин И. Д.
|название=[http://www.math.ru/lib/book/pdf/mp-seria/035_zhizhilkin.pdf ''Инверсия''].
|место=М.
|издательство=МЦНМО
|год=2009
|ref=Жижилкин
}}
* {{книга
|автор=Курант Р., Роббинс Г.
|заглавие=[[Что такое математика?]]
|страницы=Гл. III, § 4.
|место=М.
|издательство=МЦМО
|год=2000
|ISBN=5–900916–45–6
|ref=Курант
}}

[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Преобразования пространства]]
[[Категория:Конформная геометрия]]

Инверсия (геометрия) - История изменений

imported>Tosha: /* Замечания */