imported>Gabrusenko: Удаленное утверждение ложно. Импликация - логическая связка, следовательно связывает два суждения (высказывания, пропозиции). В общеутвердительном суждении связка A связывает два понятия.

2025-12-07T18:12:12Z

Удаленное утверждение ложно. Импликация - логическая связка, следовательно связывает два суждения (высказывания, пропозиции). В общеутвердительном суждении связка A связывает два понятия.

Новая страница

{{Булева функция
| Название = Импликация
| Другое название = Не больше, IMPLY
| Диаграмма Венна = Venn1011.svg
| Определение = <math>x \rightarrow y</math>
| Таблица истинности = <math>(1101)</math>
| Логический вентиль = IMPLY ANSI.svg
| ДНФ = <math>\overline{x} + y</math>
| КНФ = <math>\overline{x} + y</math>
| Полином Жегалкина = <math>1 \oplus x \oplus xy</math>
| Сохраняет 0 = Нет
| Сохраняет 1 = Да
| Монотонна = Нет
| Линейна = Нет
| Самодвойственна = Нет
}}
'''Имплика́ция''' (от {{lang-la|[[wikt:implicatio#Латинский|implicatio]]}} «связь; сплетение») — [[бинарная операция|бинарная]] логическая связка, по своему применению приближенная к союзам '''«''если''…, ''то''…»'''.

Импликация записывается как ''посылка'' <math>\Rightarrow</math> ''следствие''; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

[[Суждение]], выражаемое импликацией, выражается также следующими способами{{sfn|Эдельман|с=30|1975}}{{sfn|Гиндикин|с=21|1972}}:
* ''посылка'' является [[достаточное условие|условием, достаточным]] для выполнения следствия:
* ''следствие'' является [[необходимое условие|условием, необходимым]] для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы{{sfn|Эдельман|с=16|1975}}.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением{{sfn|Гиндикин|с=18|1972}}.

== Булева логика ==
В [[алгебра логики|булевой логике]] импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества <math>\{0, 1\}</math>. Результат также принадлежит множеству <math>\{0, 1\}</math>. Вычисление результата производится по простому правилу либо по [[таблица истинности|таблице истинности]]. Вместо значений <math>0, 1</math> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например <math>\operatorname{false}, \operatorname{true}</math> или <math>F, T</math> или «ложь», «истина».

Правило:
: Импликация как булева функция ''ложна'' лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция <math>A \to B</math> — это сокращённая запись выражения <math>\neg A \lor B</math>.<br>
Таблицы истинности:

'''Прямая импликация'''
(от ''a'' к ''b, <math>\neg A \lor B</math>'') ({{нп3|Material implication|материальная импликация}}, {{нп3|Material conditional|материальный кондиционал}})
: {| class="wikitable"
!<math>a</math>
!<math>b</math>
!<math>a \to b, a \leqslant b</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|}
* '''если''' первый операнд '''не больше''' второго операнда, '''то''' 1,
* '''если''' <math>a \leqslant b</math>, '''то''' истинно (1).

'''«Житейский» смысл импликации. '''
Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:
: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
: В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).
В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику.
По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

{{якорь|Обратная импликация}}
'''Обратная импликация''' (от ''b'' к ''a'', <math>A \lor (\neg B)</math>)
: {| class="wikitable"
!<math>a</math>
!<math>b</math>
!<math>a \leftarrow b, a \geqslant b</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|}
* '''если''' первый операнд '''не меньше''' второго операнда, '''то''' 1,
* '''если''' <math>a\geqslant b</math>, '''то''' истинно (1).
Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

{{якорь|Коимпликация}}
'''Отрицание (инверсия, негация) прямой импликации, коимпликация{{sfn|Фролов|2001|с=16}}''' ('''<math>A \land (\neg B)</math>''')
: {| class="wikitable"
!<math>a</math>
!<math>b</math>
!<math>a \not\to b, a > b</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|}
* '''если''' первый операнд '''больше''' второго операнда, '''то''' 1,
* '''если''' <math>a > b</math>, '''то''' истинно (1).

{{якорь|Обратная коимпликация}}
'''Отрицание (инверсия, негация) обратной импликации, обратная коимпликация''' (<math>\lnot A \land B</math>),
разряд займа в [[Двоичная логика#Двоичный полувычитатель|двоичном полувычитателе]].
: {| class="wikitable"
!<math>a</math>
!<math>b</math>
!<math>a \not\leftarrow b, a < b</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>0</math>
|}
* '''если''' первый операнд '''меньше''' второго операнда, '''то''' 1,
* '''если''' <math>a < b</math>, '''то''' истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

== Синонимические импликации выражения в русском языке ==
* Если '''А''', то '''Б'''
* '''Б''' в том случае, если '''А'''
* При '''А''' будет '''Б'''
* Из '''А''' следует '''Б'''
* В случае '''А''' произойдёт '''Б'''
* '''Б''', так как '''А'''
* '''Б''', потому что '''А'''
* '''А''' — достаточное условие для '''Б'''
* '''Б''' — необходимое условие для '''А'''
* '''А''' имплицирует '''Б'''
* '''А''' влечёт '''Б'''

== Многозначная логика ==
{{В планах|дата=2016-11-30}}

== Классическая логика ==
'''В [[исчисление высказываний|классическом исчислении высказываний]] свойства импликации определяются с помощью [[аксиома|аксиом]].'''

Можно доказать эквивалентность импликации <math>A \rightarrow B</math> формуле <math>\neg A \lor B</math> (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле <math> \neg (A \land \neg B)</math>, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).
Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}

== Интуиционистская логика ==
В [[интуиционистская логика|интуиционистской логике]] импликация никоим образом не сводится к [[отрицание (логика)|отрицаниям]]. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде <math>A \rightarrow \nvDash</math>, где <math>\nvDash</math> — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) [[отображение|отображений]] из A в B.

== Лингвистика ==
В лингвистике под импликацией (от {{lang-la|implicāre}} — вплетать, впутывать) понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке{{Нет АИ|20|05|2024}}. Так, например, А. Д. Швейцер и Б. Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский{{каких?}} выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

== См. также ==
* [[Закон тождества|Тождество]]
* [[Обратная теорема|Обратная импликация]]
* [[Таблица истинности]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = Эдельман С. Л. | заглавие = Математическая логика | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1975 | страниц = 176 | isbn = | ref = Эдельман}}
* {{книга | автор = [[Игошин, Владимир Иванович|Игошин В. И.]] | заглавие = Задачник-практикум по математической логике | место = М. | издательство = Просвещение | год = 1986 | страниц = 158 | isbn = | ref = }}
* {{книга | автор = [[Гиндикин, Семён Григорьевич|Гиндикин С. Г.]] | заглавие = Алгебра логики в задачах | место = М. | издательство = Наука | год = 1972 | страниц = 288 | isbn = | ref = Гиндикин}}
* {{книга |автор= Фролов И. С.|заглавие= Элементы математической логики|язык=ru|место= Самара|издательство= Самарский университет |год=2001|ref= Фролов}}
* ''Барабанов О. О.'' Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. — С. 49—53.
* ''Климзо Б. Н.'' Ремесло технического переводчика. — {{М.}}: Р.Валент, 2003. — 288 с. — С. 75—84.
* ''Швейцер А. Д.'' Перевод и лингвистика. — {{М.}}: Воениздат, 1973.

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20080917113810/http://www.ctc.msiu.ru/materials/Book2/ch_07_sheets/01_logic/03_implies/ Импликация и эквивалентность]
* [https://book.mathit.ru/base-math-logic/implication/ Импликация] в учебнике MathIt

{{Внешние ссылки}}
{{Булева алгебра}}
{{нет сносок|В данной статье|дата=2010-04-15}}
[[Категория:Логика высказываний]]
[[Категория:Логические элементы]]

Импликация - История изменений