31.41.57.218 в 19:39, 22 июня 2024

2024-06-22T19:39:03Z

Новая страница

{{Значения|Изоморфизм (значения)}}
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto; float:right; width:350px"
|-
|[[Файл:Graph isomorphism a.svg|100px]] [[Файл:Graph isomorphism b.svg|210px]]
|-
|bgcolor=white|Пример двух изоморфных графов. Изоморфизм ставит в соответствие вершинам одного графа вершины другого графа того же цвета: две вершины соединены ребром в одном графе тогда и только тогда, когда вершины тех же цветов соединены ребром в другом графе.
|}
'''Изоморфи́зм''' (от {{lang-grc|ἴσος}} — равный, одинаковый, подобный и {{lang-grc2|μορφή}} — форма) — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах [[математика|математики]] и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов.
Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой [[математическая структура|структурой]], например, для [[группа (математика)|групп]], [[кольцо (алгебра)|колец]], [[линейное пространство|линейных пространств]]; в этом случае он определяется как обратимое отображение ([[биекция]]) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры.
Если между объектами существует изоморфизм, то они называются ''изоморфными''. Изоморфизм всегда задаёт [[отношение эквивалентности]] на классе таких структур.

Например, два [[Граф (математика)|графа]] называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм: то есть вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа, так чтобы соединённым вершинам первого графа соответствовали соединённые вершины второго графа и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин).

Другим классическим примером изоморфных систем могут служить множество <math>\mathbb R</math> всех [[Вещественное число|вещественных чисел]] с определённой на нём операцией сложения и множество <math>\mathbb R_+</math> положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения.
Отображение <math>x\mapsto \exp(x)</math> в этом случае является изоморфизмом.

Понятие возникло в математике применительно к [[Группа (математика)|группам]], впоследствии перенесено на другие классы объектов.

== Общая алгебра ==
В [[Общая алгебра|общей алгебре]] изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является [[гомоморфизм]]ом.

Например, для [[группа (математика)|групп]] <math>G</math> и <math>H</math>
[[биекция]] <math>f\colon G\to H </math> называется изоморфизмом, если для любых <math>a,\;b\in G</math> выполнено <math>f(a) f(b)=f(ab)</math>.
Если группы являются [[Топологическая группа|топологическими]], то добавляется условие [[гомеоморфизм|гомеоморфности]] соответствующих топологических пространств<ref name="Pontr 392">''Л. С. Понтрягин'' Непрерывные группы. С. 392</ref>.

Для [[поле (алгебра)|полей]] <math>F_1</math> и <math>F_2</math> биекция <math>f\colon F_1\to F_2</math> называется '''изоморфизмом''', если она сохраняет обе операции поля, то есть для любых <math>a,b\in F_1</math> выполняется:
* <math>f(a) + f(b)=f(a + b)</math>,
* <math>f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b)</math>.

Например, [[факторкольцо]] для [[Кольцо многочленов|кольца многочленов]] с вещественными коэффициентами <math>\mathbb{R}[x]</math> по модулю многочлена <math>x^2+1</math> является полем, изоморфным<ref>{{книга|автор=Фаддеев Д. К.|заглавие=Лекции по алгебре |место=М. |издательство=Наука |год=1984|страницы=200—201|страниц=416}}</ref> полю [[Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math>:
: <math>\mathbb R[x]/(x^2 + 1) \ \stackrel \cong \longrightarrow \ \mathbb C</math>

Для полей с дополнительной структурой ([[Упорядоченное поле|упорядоченные]], [[Топологическое поле|топологические поля]]) может добавляться условие, что биекция сохраняет также эти дополнительные структуры.

Наиболее общим образом изоморфизм определяется в [[теория категорий|теории категорий]]: объекты категории изоморфны, если между ними существует обратимый морфизм, то есть морфизм <math>\varphi</math>,
для которого существует такой морфизм <math>\varphi^{-1}</math>, что композиции <math>\varphi^{-1}\circ\varphi</math> и <math>\varphi\circ\varphi^{-1}</math> — тождественные морфизмы. Определения категории групп, категории колец, категории векторных пространств и других структур строятся таким образом, что классические определения изоморфизма групп, колец, векторных пространств совпадают с общим определением изоморфизма в категории. При этом вводится также понятие [[изоморфизм категорий|изоморфизма категорий]] — взаимно-однозначного соответствия между категориями с обратимыми функторами.

== Теория множеств ==
В [[Теория множеств|теории множеств]] любая [[биекция]] является изоморфизмом.

К примеру, два частично упорядоченных множества изоморфны, если между ними есть биекция, сохраняющая порядок<ref name="Shen 48">[[Верещагин, Николай Константинович|Н. К. Верещагин]], [[Шень, Александр Ханиевич|А. Шень]]. Лекции по математической логике и теории алгоритмов.
Часть 1. Начала теории множеств. стр. 48</ref>.

== Линейные пространства ==
Два [[линейное пространство|линейных пространства]] <math>V'(F)</math> и <math>V''(F)</math> над одним и тем же [[Поле (алгебра)|полем]] <math>F</math> называются '''изоморфными''', если между векторами <math>x' \in V'</math> и <math>x'' \in V''</math> можно установить [[биекция|взаимно однозначное соответствие]] таким образом, что выполняются условия<ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70</ref>:
* если вектору <math>\mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x}'' \in V''</math>, а вектору <math>\mathbf{y}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{y}'' \in V''</math>, то вектору <math>\mathbf{x}' + \mathbf{y}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x}'' + \mathbf{y}'' \in V''</math>.
* если вектору <math>\mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x}'' \in V''</math>, и <math>\lambda</math> — элемент поля <math>F</math>, то вектору <math>\lambda \mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\lambda \mathbf{x}'' \in V''</math>.

== Нормированные пространства ==
Для [[Нормированное пространство|нормированных пространств]] отображение одного из них в другое называется ''изоморфизмом нормированных пространств'', если оно [[Линейное отображение|линейно]], [[Непрерывное отображение|непрерывно]] и [[Биекция|биективно]], и [[обратное отображение]] тоже непрерывно. В этом смысле изоморфизм сохраняет структуру [[Линейное пространство|линейного пространства]] и [[Топологическое пространство|топологию]], но не обязательно сохраняет норму. Если изоморфизм ещё и сохраняет норму, то он называется ''изометрическим изоморфизмом'' или ''[[Изометрия (математика)|изометрией]]''<ref>{{Книга|автор=Петр Бородин, А. Савчук, И. Шейпак|заглавие=Задачи по функциональному анализу|ссылка=https://books.google.com/books?id=v-BwDgAAQBAJ&pg=PA28|ответственный=|издание=|место=|издательство=МЦНМО|год=2017|страницы=28|страниц=337|isbn=9785040485147|isbn2=}}</ref>.

== Теория графов ==
{{Основная статья|Изоморфизм графов}}
Граф <math>G</math> называется изоморфным графу <math>H</math>, если существует [[биекция]] <math>f</math> из множества вершин графа <math>G</math> в множество вершин графа <math>H</math>, обладающая следующим свойством: если в графе <math>G</math> есть ребро из вершины <math>A</math> в вершину <math>B</math>, то в графе <math>H</math> должно быть ребро из вершины <math>f(A)</math> в вершину <math>f(B)</math> и наоборот — если в графе <math>H</math> есть ребро из вершины <math>A</math> в вершину <math>B</math>, то в графе <math>G</math> должно быть ребро из вершины <math>f^{-1}(A)</math> в вершину <math>f^{-1}(B)</math>. В случае [[ориентированный граф|ориентированного графа]] эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае [[взвешенный граф|взвешенного графа]] биекция также должна сохранять вес ребра.

В [[теория вычислительной сложности|теории вычислительной сложности]] до сих пор является открытым вопрос о сложности [[Изоморфизм графов|задачи изоморфности графов]]. На данный момент не доказана ни её принадлежность [[класс P|классу <math>P</math>]], ни её [[NP-полная задача|<math>NP</math>-полнота]].

== Связанные определения ==
Изоморфизм алгебраической системы на себя называется [[автоморфизм]]ом. Совокупность всех автоморфизмов некоторой алгебраической системы с операцией [[Композиция функций|композиции]] и [[Тождественное отображение|тождественным отображением]] в качестве [[Нейтральный элемент|нейтрального элемента]] образует [[Группа (математика)|группу]]. Группа автоморфизмов алгебраической системы <math>K</math> обозначается <math>\operatorname{Aut}K</math>. Наиболее простой пример автоморфизма — это автоморфизм [[множество|множества]], то есть [[перестановка]] элементов этого множества.

Любой элемент <math>g</math> группы определяет следующий автоморфизм, который называют ''[[Внутренний автоморфизм|внутренним автоморфизмом]]'': каждому элементу группы <math>x</math> ставится в соответствие сопряжённый ему элемент <math>gxg^{-1}</math>:
: <math>f(x)=gxg^{-1}</math>.

[[Файл:First-isomorphism-theorem.svg|thumb|right|Первая теорема об изоморфизме]]

== Теоремы об изоморфизме ==
{{main|Теоремы об изоморфизме}}
''Теоремы об изоморфизме'' в [[алгебра|алгебре]] — ряд [[теорема|теорем]], связывающих понятия [[факторпространство|фактора]], [[гомоморфизм]]а и [[подмножество|вложенного объекта]]. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары [[группа (математика)|групп]], [[кольцо (алгебра)|колец]], [[модуль над кольцом|модулей]], [[линейное пространство|линейных пространств]], [[алгебра Ли|алгебр Ли]] или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три [[теоремы об изоморфизме]], называемые Первой (также ''основная теорема о [[гомоморфизм]]е''), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала [[Эмми Нётер]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Ван дер Варден Б. Л.'' Алгебра. СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.
* ''[[Понтрягин, Лев Семёнович]]''. Непрерывные группы. — {{М}}: [[УРСС]], 2004. — 520 с. — ISBN 5-354-00957-X.
* {{Из|МЭ|заглавие = Изоморфизм| автор = О. А. Иванова., Д. М. Смирнов}}

{{ВС}}
[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Теория категорий]]

Изоморфизм - История изменений

31.41.57.218 в 19:39, 22 июня 2024