2A02:A31A:C143:8980:546B:E68:B4D6:AFF8: отмена правки 137943008 участника Makar0nkin (обс.)

2024-06-08T10:29:36Z

отмена правки 137943008 участника Makar0nkin (обс.)

Новая страница

'''Измери́мые функции''' представляют естественный класс [[Функция (математика)|функций]], связывающих пространства с выделенными [[Алгебра (теория множеств)|алгебрами множеств]], в частности [[Сигма-алгебра#Измеримое пространство|измеримыми пространствами]].

== Определение ==
Пусть <math>(X,\mathcal{F})</math> и <math>(Y,\mathcal{G})</math> — два множества с выделенными [[Алгебра (теория множеств)|алгебрами подмножеств]]. Тогда функция <math>f: X\to Y</math> называется <math>\mathcal{F} / \mathcal{G}</math>-''измеримой'', или просто ''измеримой'', если [[Функция (математика)#Образ и прообраз (при отображении), значение в точке|прообраз]] любого множества из <math>\mathcal{G}</math> принадлежит <math>\mathcal{F}</math>, то есть <math display="block">\forall B \in \mathcal{G},\; \{x\colon f(x)\in B\} \in \mathcal{F}.</math>

== Замечания ==
* Если <math>X</math> и <math>Y</math> — [[Топологическое пространство|топологические пространства]], и алгебры <math>\mathcal{F}</math> и <math>\mathcal{G}</math> явно не указаны, то предполагается, что это [[борелевская сигма-алгебра|борелевские σ-алгебры]] соответствующих пространств.
* Смысл данного определения в том, что если на множестве <math>X</math> задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество <math>Y</math>.

== Вещественнозначные измеримые функции ==

Пусть дана функция <math>f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

* Функция <math>f</math> измерима, если
*:<math>\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \ > c\} \in \mathcal{F}</math>.

* Функция <math>f</math> измерима, если
*: <math>\forall a,b\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>a \le b</math>, имеем <math>\{x\in X \mid f(x) \in \langle a,b\rangle \} \in \mathcal{F}</math>,
:где <math>\langle a,b\rangle</math> обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

== Связанные определения ==
* Пусть <math>(X,\mathcal{F}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> и <math>(Y,\mathcal{G}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской [[σ-алгебра|σ-алгеброй]]. Тогда измеримая функция <math>f: (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> называется [[борелевы функции|борелевской]].
* Измеримая функция <math>f:(\Omega, \mathcal{F}) \to (Y,\mathcal{G})</math>, где <math>\Omega</math> — [[пространство элементарных событий|множество элементарных исходов]], а <math>\mathcal{F}</math> — σ-алгебра [[случайное событие|случайных событий]], называется [[Случайный элемент|случайным элементом]]. Частным случаем случайного элемента является [[случайная величина]], для которой <math>(Y,\mathcal{G})=(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>.

== Примеры ==
* Пусть <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — [[непрерывная функция]]. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
* Пусть <math>f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),</math> и <math>f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in X</math> — [[Индикатор (математика)|индикатор]] множества <math>A \not\in \mathcal{F}.</math> Тогда функция <math>f</math> не является измеримой.

== Свойства ==

*[[Теорема Лузина]]. Функция <math>f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> измерима тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует непрерывная функция <math>h\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> отличающаяся от <math>f</math> на множестве меры не больше <math>\varepsilon</math>.

== История ==
В 1901 году французский математик [[Лебег, Анри Леон|А. Лебег]], на основе построенной им теории [[Интеграл Лебега|интеграла Лебега]], поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов.
К этому времени уже существовала общая [[теория меры]], разработанная [[Борель, Эмиль|Э. Борелем]] (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию.
В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой [[Мера Лебега|меры Лебега]].
Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию [[Предел (математика)|предельного перехода]].
В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, [[Рис, Марсель|М. Рис]], [[Витали, Джузеппе|Дж. Витали]], [[Фреше, Морис Рене|М. Р. Фреше]], [[Лузин, Николай Николаевич|Н. Н. Лузин]], [[Егоров, Дмитрий Фёдорович|Д. Ф. Егоров]] и др.
Было введено понятие [[Сходимость по мере|сходимости по мере]] (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|канторовской]] [[Теория множеств|теории множеств]], и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

== Литература ==
* [[Колмогоров, Андрей Николаевич|''Колмогоров А. Н.'']], ''Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
* {{статья |автор=Медведев Ф. А. |заглавие=К истории понятия измеримой функции.
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=12 |издательство=[[Физматгиз]]
|место=М. |год=1959 |страницы=481-492 }}
* [[Халмош, Пол Ричард|''Халмош П.'']] Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Типы функций]]

Измеримая функция - История изменений

2A02:A31A:C143:8980:546B:E68:B4D6:AFF8: отмена правки 137943008 участника Makar0nkin (обс.)