imported>Lyonyaseryo: /* Преамбула */

2025-12-28T03:13:01Z

Преамбула

Новая страница

{{другие значения|Идеал (значения)}}
'''Идеал''' — [[Общая алгебра|общеалгебраическая]] конструкция, возникшая в [[Теория колец|теории колец]] как обобщение идеи замкнутых относительно умножения числовых подмножеств, таких как чётные целые числа или кратные трём целые числа. В дальнейшем понятие распространилось на [[Алгебра над полем|алгебры]], на произвольные [[Полугруппа|полугруппы]] и структуры, их содержащие, и заняло одно из важных мест в общей алгебре, как при обобщениях [[Теория чисел|теории чисел]] на общие структуры, так и во множестве смежных отраслей, в том числе [[гомологическая алгебра|гомологической алгебре]], [[Алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]].

{{Якорь|Левый идеал|Правый идеал|Двусторонний идеал}}Идеал для [[Кольцо (алгебра)|кольца]] <math>R</math> формально определяется как [[подмножество]] <math>I \subset R</math>, являющееся [[подгруппа|подгруппой]] аддитивной группы кольца <math>(R,+)</math> и замкнутое относительно умножения на элементы из <math>R</math>, то есть для любых <math>i \in I</math> и <math>r \in R</math> выполнено <math>ir \in I</math> и <math>ri \in I</math>. Если выполняется только одно из условий — <math>ir \in I</math> и <math>ri \in I</math>, то есть подмножество является замкнутым лишь относительно умножения слева или справа, то говорят, что <math>I</math> является ''левым идеалом'' и ''правым идеалом'' соответственно; в связи с этим идеал (являющийся одновременно левым и правым) иногда называют ''двусторонним идеалом''.

Название «идеал» ведёт своё происхождение от [[идеальное число|идеальных чисел]], введённых в [[1847 год в науке|1847 году]] [[Куммер, Эрнст Эдуард|Эрнстом Куммером]]<ref>{{Из КНЭ|2|439|Идеал}}</ref> в рамках изучения разложимости на простые множители в [[Круговое поле|круговых полях]]. Непосредственно идеал был впервые определён [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекиндом]] в [[1871 год в науке|1871 году]] во втором издании «Лекций по теории чисел». Первые применения конструкции — обобщения результатов теории чисел на общие кольца: [[Простое число|простые числа]] обобщаются в понятии [[Простой идеал|простых идеалов]], как обобщение [[взаимно простые числа|взаимно простых чисел]] вводятся взаимно простые идеалы, для идеалов можно доказать аналог [[китайская теорема об остатках|китайской теоремы об остатках]], а в [[Дедекиндово кольцо|дедекиндовых кольцах]] можно даже получить аналог [[основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]: в них каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.

[[Идеал полугруппы]] — [[подполугруппа]], замкнутая относительно подполугруппового умножения (слева, справа или двусторонне — в зависимости от этого будет являться левым, правым или двусторонним). (Левый, правый, двусторонний) идеал [[модуль над кольцом|модуля над кольцом]] — [[подмодуль]], замкнутый относительно умножения (слева, справа или двусторонне) на элементы кольца. Это определение естественным образом распространяется на [[Алгебра над кольцом|алгебры над кольцом]] и [[Алгебра над полем|алгебры над полем]]; в случае [[Алгебра с единицей|алгебр с единицей]] требование замкнутости относительно умножения на элементы поля выполняется автоматически. Для <math>R</math>-алгебры <math>A</math> алгебры над кольцом <math>R</math> идеал кольца <math>A</math> может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры <math>A</math>, так как это подкольцо необязательно будет [[Подалгебра|подалгеброй]], то есть ещё и [[Подмодуль|подмодулем]] над <math>R</math>. Например, если <math>A</math> есть <math>k</math>-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца <math>A</math> совпадает с множеством всех подгрупп [[Аддитивная группа|аддитивной группы]] <math>A</math>, а множество всех идеалов алгебры <math>A</math> совпадает с множеством всех подпространств [[векторное пространство|векторного]] <math>k</math>-пространства <math>A</math>. Однако в случае, когда <math>A</math> — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

== Связанные определения ==
{{Якорь|Нулевой идеал|Тривиальный идеал|Собственный идеал}}Для любого кольца <math>R</math> само <math>R</math> и ''нулевой'' идеал <math>0</math> являются идеалами (двусторонними) — такие идеалы называются ''тривиальными''. ''Собственные идеалы'' — идеалы, образующие [[собственное подмножество]], то есть не совпадающие со всем <math>R</math><ref>{{MathWorld|title=Proper Ideal|urlname=ProperIdeal|author=Margherita Barile}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/staff:bunina:lecture_13.pdf |title=Лекция по алгебре на мехмате МГУ |access-date=2013-11-02 |archive-date=2013-11-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131103220414/http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/staff:bunina:lecture_13.pdf |url-status=live }}</ref>.

Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например, кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется [[Простое кольцо|простым]]; кольцо, не имеющее нетривиальных идеалов (не обязательно двусторонних), является [[тело (алгебра)|телом]]; через условия на идеалы определяются [[кольцо главных идеалов]], [[артиново кольцо]], [[нётерово кольцо]].

С любым коммутативным кольцом с единицей связано [[топологическое пространство]] <math>\operatorname{Spec} A</math> — [[спектр кольца]], точками которого являются все простые идеалы кольца <math>A</math>, отличные от <math>A</math>, а замкнутые множества определяются как множества простых идеалов, содержащих какое-то множество <math>E</math> элементов кольца <math>A</math> (или, что то же, идеал <math>I</math>, порождённый этим множеством). Эта топология называется [[Топология Зарисского|топологией Зарисского]].

Понятие идеала тесно связано с понятием [[модуль над кольцом|модуля]]. Идеал (правый или левый) можно определять как [[подмодуль]] кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

== Свойства ==
Левые идеалы в <math>R</math> являются правыми идеалами в [[противоположное кольцо|противоположном кольце]] <math>R^0</math> (кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определённым <math>a \star b = ba</math>), и наоборот.

Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и [[нормальная подгруппа|нормальные подгруппы]] в [[группа (математика)|группах]]: для всякого [[гомоморфизм]]а <math>f\colon A\to B</math> ядром <math>\operatorname{Ker}f</math> является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма. Более того, идеал однозначно (с точностью до [[Изоморфизм (математика)|изоморфизма]]) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: <math>f(A)</math> изоморфен [[факторкольцо|факторкольцу]] ([[факторалгебра|факторалгебре]]) <math>A/I</math>.

В кольце <math>\Z</math> целых чисел все идеалы главные и имеют вид <math>n\Z = \{nz \mid z \in \Z \}</math>, где <math>n \in \N_0</math>.

Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется [[наименьшее общее кратное|наименьшим общим кратным]]).

== Типы идеалов ==
{{Якорь|Порождённый идеал}}''Порождённый идеал'' — идеал, образованный заданным множеством. Поскольку пересечение произвольного семейства (левых, правых, двусторонних) идеалов кольца — (левый, правый, двусторонний) идеал того же кольца, для всякого подмножества <math>M</math> кольца <math>R</math> существует минимальный (левый, правый, двусторонний) идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество <math>M</math>.

[[Главный идеал]] — идеал, порождённый одним элементом. [[Конечнопорождённый идеал]] — идеал, порождённый конечным множеством элементов.

[[Максимальный идеал]] — собственный идеал, не являющийся собственным подмножеством какого-либо другого собственного идеала; [[факторкольцо]] по максимальному идеалу является [[Поле (алгебра)|полем]]. [[Радикальный идеал]] — идеал, совпадающий со своим [[Радикал идеала|радикалом]]. Понятие простого числа обобщается посредством [[простой идеал|простых]], [[Примарный идеал|примарных]] и [[первичный идеал|первичных]] идеалов.

Среди других важных типов идеалов — [[модулярный идеал|модулярные]], [[нильпотентный идеал|нильпотентные]], [[фундаментальный идеал|фундаментальные]], [[существенный идеал|существенные]].

== Операции ==
{{Якорь|Сумма идеалов}}Если в кольце <math>R</math> задано произвольное семейство идеалов <math>I_{\alpha} </math>, их ''суммой'' <math>\sum I_{\alpha}</math> называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения (само объединение идеалов является идеалом в общем случае не является). Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют [[Решётка (теория множеств)|решётку]]. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).

{{Якорь|Пересечение идеалов}}''Пересечение идеалов'' (определяемое как [[пересечение множеств]]) всегда является идеалом.

{{Якорь|Произведение идеалов}}''Произведением идеалов'' <math>I</math> и <math>J</math> называется идеал <math>IJ</math>, порождённый всеми произведениями <math>ab</math>, где <math>a</math> — элемент идеала <math>I</math>, <math>b</math> — элемент идеала <math>J</math>. Бесконечное произведение идеалов в общем случае неопределено.

{{Якорь|Аннулятор идеала|Частное идеалов}}''Частное идеалов'' может быть определено в коммутативном кольце для ненулевого идеала <math>I</math> и произвольного идеала <math>J</math> как идеал <math>I^{-1}J = \{x\in R\colon\, \forall i\in I\, ix\in J \}</math>. Этот идеал называется ''аннулятором'' идеала <math>I</math> в случае, когда <math>J=(0)</math>.

{{Якорь|Радикальный идеал}}[[Радикал идеала]] <math>I</math> — множество <math>\sqrt{I}=\{f\in A \mid \exist n\in \N \,\,f^n\in{I}\}</math>. Радикал тоже является идеалом кольца <math>R</math>, если только кольцо коммутативно. В случае, когда <math>I=(0)</math>, этот идеал называется [[нильрадикал]]ом кольца <math>R</math>, его элементами являются все [[Нильпотентный элемент|нильпотентные элементы]] кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется [[радикальное кольцо|радикальным]]. Идеал <math>I</math> называется ''радикальным'', если он совпадает со своим радикалом; в этом случае [[факторкольцо]] <math>R/I</math> не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.

Если задано семейство (цепочка) идеалов <math>\{I_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, занумерованное [[линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченным множеством]] <math>A</math>', так, что для любых индексов <math>\alpha< \beta</math> из <math>A</math>' идеал <math>I_{\alpha}</math> содержится в идеале <math>I_{\beta}</math>, тогда их объединение является идеалом — ''индуктивным пределом'' данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца <math>R</math> индуктивно упорядочено, и к нему применима [[лемма Цорна]]. Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами.

Образ идеала при сюръективном гомоморфизме является идеалом (в общем случае это неверно); в частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.

Если <math>f \colon A \to B</math> — [[гомоморфизм]] колец, его [[Ядро гомоморфизма|ядро]] <math>\operatorname{Ker}f = \{a\in A \mid f(a)=0\}</math> является двусторонним идеалом. Более общо, если <math>I</math> — произвольный идеал в кольце <math>B</math>, его полный [[прообраз]] <math>f^{-1}I = \{a\in A:\, f(a)\in I\}</math> является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал <math>I</math>).

Если <math>I</math> — двусторонний идеал в кольце <math>R</math>, по нему можно определить [[отношение эквивалентности]] на <math>R</math> по правилу: <math>x \sim y</math> тогда и только тогда, когда разность <math>x-y</math> принадлежит <math>I</math>. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определёнными на множестве <math>R/I</math> классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца <math>R</math>, если они есть). Одновременно с этим кольцом определён ''гомоморфизм факторизации'' (''канонический гомоморфизм'') <math>\pi \colon R\to R/I</math>, который каждому элементу <math>a</math> из <math>R</math> ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента <math>a</math> есть множество элементов вида <math>a+i</math> по всем <math>i</math> из идеала <math>I</math>, поэтому он обозначается <math>a + I</math>, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности <math>[a]</math>. Поэтому <math>\pi(a) = [a] = a+I</math>. Кольцо <math>R/I</math> при этом называется [[факторкольцо]]м кольца <math>R</math> по идеалу <math>I</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = Винберг Э. Б. | заглавие = Курс алгебры | место = М | издательсотво = Факториал Пресс | год = 2002 | ISBN = 5-88688-060-7}}
* {{книга | автор = Зарисский О., Самюэль П. | заглавие = Коммутативная алгебра | том = 1—2 | место =М | издательство = Иностранная литература | год = 1963}}
* {{книга | автор = Ленг С. | заглавие = Алгебра | место = М | издательство = Мир | год = 1968}}
* {{Книга:Общая алгебра|3}}

[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Теория колец]]

Идеал (алгебра) - История изменений

imported>Lyonyaseryo: /* Преамбула */