imported>KrBot: подстановка даты в шаблон:Нет сносок

2023-04-18T03:40:53Z

Новая страница

{{Значения|Заряд}}
'''Заряд''' — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой <math>\sigma</math>-алгебре, (например, [[Борелевская сигма-алгебра|борелевских подмножеств]]).

В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.

Множество всех зарядов над произвольным множеством <math>X</math> c сигма-алгеброй <math>\Sigma</math> принято обозначать <math>\operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math>.

== Связанные определения ==
* Положительный заряд <math>\nu\in \operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math> называется '''чисто конечно аддитивным''', если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры <math>\mu</math> из <math>0\leqslant\mu\leqslant\nu</math> вытекает, что <math>\mu=0</math>.
** Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды <math>\nu^{+}</math> и <math>\nu^{-}</math>.
* Заряд <math>\lambda</math> '''абсолютно непрерывен относительно меры''' <math>\mu</math>, если <math>(\forall A\in \Sigma) ( \mu(A)=0 \to \lambda(A)=0 ).</math>

== Свойства ==
* Множество всех зарядов образует [[нормированная решётка|нормированную решётку]] и даже, более того, <math>K</math>-пространство.
* Для любого заряда <math>\nu</math> имеется положительная часть <math>\nu^{+}\geqslant 0</math> и отрицательная часть <math>\nu^{-}\leqslant 0</math>. Имеет место '''разложение Хана — Жордана''' <math>\nu=\nu^++ \nu^-</math>, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
* Пусть <math>\mu\in \operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math>.<br> Любой заряд <math>\nu</math> единственным образом представим в виде суммы <math>\nu=\nu_{1}+\nu_{2}</math>, где <math>\nu_{1}</math> [[абсолютно непрерывная мера|абсолютно непрерывна]] относительно <math>\mu</math> и <math>\nu_{2}</math> дизъюнктна <math>\mu</math>. Такое представление меры <math>\nu</math> принято назвать разложением по Лебегу.
* Любой заряд <math>\nu\in \operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math> единственным образом представим в виде суммы <math>\nu=\nu_{ca}+\nu_{pfa}</math>, где <math>\nu_{ca}</math> — произвольная счётно-аддитивная мера, а <math>\nu_{pfa}</math> — произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют '''разложением Иосиды — Хьюита'''.
* Пространство <math>\operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math> является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.

== История ==
Термин «заряд» был впервые введён [[Александров, Александр Данилович|А. Д. Александровым]].
Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).

== См. также ==
* {{не переведено|Теорема Хана о разложении||en|Hahn decomposition theorem}}

== Литература ==
* ''Данфорд Н., Шварц Дж.'' Линейные операторы. Общая теория. — {{М}}: ИЛ, 1962.
* ''[[Ландкоф, Наум Самойлович|Ландкоф Н. С.]]'' Основы современной теории потенциалов. — {{М}}, 1966.
* ''Халмош П.'' Теория меры. // Пер. с англ. — {{М}}, 1953.
* ''Alexandroff A. D.'' Additive set-functions in abstract spaces I // ''Матем. сборник'' 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
* ''Alexandroff A. D.'' Additive set-functions in abstract spaces II // ''Матем. сборник'' 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
* ''Alexandroff A. D.'' Additive set-functions in abstract spaces III // ''Матем. сборник'' 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
* ''Yosida K., Hewitt E.'' Finitely additive mesures // ''Trans. Amer. Math. Soc.'' 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.

{{полностью нет сносок|дата=2022-02-22}}

[[Категория:Теория меры]]

Заряд (теория меры) - История изменений

imported>KrBot: подстановка даты в шаблон:Нет сносок