2A03:D000:4103:DC2C:1:0:3A2A:9955: /* Свойства */Исправление неточности

2025-11-18T13:06:09Z

Свойства: Исправление неточности

Новая страница

'''Замкнутое множество''' — [[множество]], содержащее свои предельные точки.
Впервые определено [[Кантор, Георг|Георгом Кантором]] в 1884 году<ref>G. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392.</ref>.

== Определения ==
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\tau)</math>, тогда следующие утверждения эквивалентны:

# Множество <math>A\subseteq X</math> '''замкнуто''' в <math>X</math>.
# <math>A^c=X\setminus A</math>, является открытым подмножеством <math>(X,\tau)
</math>, то есть <math>A^c\in \tau</math>.
# <math>A</math> совпадает со своим [[Замыкание (топология)|замыканием]] в <math>X</math>.
# <math>A</math> содержит все свои [[Предельная точка|предельные точки]].
# <math>A</math> содержит все свои [[Граница (топология)|граничные точки]].

===Замечания===

{{Якорь|Канонически замкнутое множество}}Важный подкласс замкнутых множеств образуют '''''канонически замкнутые множества''''', каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей [[внутренность|внутренности]]). В каждом замкнутом множестве <math>F</math> содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества <math>F</math><ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А. |заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}} — C. 24.</ref>.

Альтернативное определение замкнутого множества вводится с помощью [[Последовательность|последовательностей]] и [[Направленность (математика)|сетей]]. Так, множество <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> замкнуто в <math>X</math> тогда и только тогда, когда любой [[Предел последовательности|предел]] всякой сети из <math>A</math> также лежит в <math>A</math>. В пространствах, удовлетворяющих [[Первая аксиома счётности|первой аксиоме счётности]] (в том числе [[Метрическое пространство|метрических пространствах]]) достаточно доказать сходимость всех последовательностей, вместо сетей. Одним из достоинств этого определения является возможность определить {{Не переведено|Пространство сходимости|пространства сходимости|en|Convergence space}} — обобщения топологических пространств. Стоит заметить, что такое определение зависит от окружающего пространства <math>X</math>, так как сходимость последовательности или сети зависит от [[Точка (геометрия)|точек]], содержащихся в <math>X</math>.
Будем говорить, что точка <math>x\in X</math> '''''близка''''' к множеству <math>A\subseteq X</math>, если <math>x\in \mathrm{cl}_X A</math>, где <math>\mathrm{cl}_X A</math> означает замыкание <math>A</math> в <math>X</math>.
Тогда можно непосредственно определить замкнутые множества:
<blockquote>
множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои близкие точки.</blockquote>

В терминах сходимости сетей, точка <math>x\in X</math> близка к <math>A</math>, только если существует сеть в <math>A</math>, сходящаяся к <math>x</math>.

Замкнутые множества можно также определить через [[Непрерывная функция|непрерывные функции]]: отображение <math>f:X\rightarrow Y</math> непрерывно тогда и только тогда, когда <math>\forall A\subseteq X : f(\mathrm{cl}_X A)\subseteq \mathrm{cl_Y}(f(A))</math>, то есть близкие точки <math>A</math> при <math>f</math> переводятся в близкие точки [[Образ (математика)|образа]] <math>f</math>.

Выше, понятие замкнутого множество было дано в терминах открытых множеств, которое справедливо в контексте топологических пространств и пространств, несущих топологическую структуру.

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено.
Так, например, [[Компактное пространство|компактные]] [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовы пространства]] являются «''абсолютно замкнутыми»'' в том смысле, что при вложении компактного хаусдорфова пространства <math>D</math> в произвольное хаусдорфово пространство <math>X</math>, <math>D</math> будет всегда замкнуто в <math>X</math>.
В этом смысле, [[компактификация Стоуна — Чеха]] может быть описана, как дополнение пространства пределами расходящихся сетей.

Замкнутые множества дают удобное определение компактности: топологическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда всякое [[Семейство (математика)|семейство]] непустых замкнутых подмножеств <math>X</math> с пустым [[Пересечение множеств|пересечением]] допускает конечное подсемейство с пустым пересечением.

==Связанные определения==

Множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми, называются [[Открыто-замкнутое множество|открыто-замкнутыми]].

Множества, полученные объединением счётного числа множеств называются '''[[F-сигма-множество|F-сигма-множествами]]''' или <math>F_\sigma</math>.

== Свойства ==
* Замкнутое множество содержит свою границу. Это справедливо в том числе для множеств с пустой границей.
* Пересечение любого семейства замкнутых множеств также замкнуто.
* Объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.
* Само пространство и [[пустое множество]] являются замкнутыми.
* Топологическое пространство <math>X</math> [[Связное пространство|несвязно]], если существуют непересекающиеся непустые открытые множества <math>A,B\subset X</math>, [[Объединение множеств|объединение]] которых есть <math>X</math>.

== Примеры ==

* [[Промежуток (математика)#Замкнутый (закрытый) конечный промежуток|Замкнутый промежуток]] <math>[a,b]</math> числовой прямой замкнут.
* Единичный отрезок <math>[0,1]</math> замкнут в метрическом пространстве над <math>\mathbb{R}</math>, и множество <math>[0,1]\cap\mathbb{Q}</math> замкнуто в <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в <math>\mathbb{R}</math>.
* Множество <math>[0,1)</math> ни замкнуто, ни открыто.
* [[Луч (геометрия)|Луч]] <math>[1,+\infty)</math> замкнут.
* [[Канторово множество]] является необычным примером замкнутого множества, состоящего только из своих граничных точек, являясь при этом [[Нигде не плотное множество|нигде не плотным]].
* [[Синглетон (математика)|Одноточечные множества]] замкнуты в пространствах, удовлетворяющих [[Аксиомы отделимости|первой аксиоме отделимости]], и хаусдорфовых пространствах.
* Множество [[Целое число|целых чисел]] <math>\mathbb{Z}</math> является [[Бесконечное множество|бесконечным]] и [[Ограниченность|неограниченным]] замкнутым множеством в <math>\mathbb{R}</math>.
* Отображение <math>f:X\rightarrow Y</math> между топологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств <math>Y</math> замкнуты в <math>X</math>.

== См. также ==
* [[Открыто-замкнутое множество]]
* [[Открытое множество]]
* [[Окрестность]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга|автор=Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric|заглавие=Convergence Foundations Of Topology|год=2016|язык=en|место=New Jersey|издательство=World Scientific Publishing Company|isbn=978-981-4571-52-4}}
* {{Книга|автор=Dugundji, James|заглавие=Topology|ссылка=https://archive.org/details/topology0000dugu|год=1966|язык=en|место=Boston|издательство=Allyn and Bacon|isbn=978-0-697-06889-7}}
* {{Книга|автор=Schechter, Eric|заглавие=Handbook of Analysis and Its Foundations|год=1996|язык=en|место=San Diego, CA|издательство=Academic Press|isbn=978-0-12-622760-4}}
{{ВС}}

[[Категория:Общая топология]]

Замкнутое множество - История изменений

2A03:D000:4103:DC2C:1:0:3A2A:9955: /* Свойства */Исправление неточности