imported>DasQwerty: /* Упругие колебания атомов в цепочке */ Исправлена опечатка

2025-07-25T18:32:20Z

Упругие колебания атомов в цепочке: Исправлена опечатка

Новая страница

{{не путать|Соотношения Крамерса — Кронига|соотношениями Крамерса — Кронига}}

'''Зако́н диспе́рсии''', или '''дисперсио́нное соотноше́ние''', в [[Физика колебаний и волн|теории волн]] — функция зависимости [[частота|частоты]] волны от [[волновой вектор|волнового вектора]]:

: <math>\omega = \omega(\mathbf k)</math>.

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временно́й и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.

Из закона дисперсии можно получить [[фазовая скорость|фазовую]] и [[групповая скорость|групповую скорости]] волны:
: <math> \mathbf{v}_\text{ph} = \frac{\omega}{k} \cdot \frac{\mathbf{k}}{k}, \quad
\mathbf{v}_\text{gr} = \frac{d\omega}{d\mathbf{k}}</math>.
В простейшем случае линейной связи <math>\omega</math> и <math>k</math> эти скорости совпадают.

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для [[Электромагнитная волна|электромагнитных]] и [[Упругая волна|упругих]]. Концепция [[корпускулярно-волновой дуализм|корпускулярно-волнового дуализма]] позволяет записать данный закон также для [[волны де Бройля|волн де Бройля]], ассоциируемых с частицами, например электронами.

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

: <math>E = E(\mathbf k)</math>

для энергии [[квант]]а колебаний ([[фотон]]а, [[фонон]]а) <math>E = \hbar\omega</math> или частицы, где <math>\hbar</math> — [[Постоянная Дирака|постоянная Планка-Дирака]].

== Волновое уравнение и дисперсия ==
В гармоническом решении классического [[Волновое уравнение|волнового уравнения]] фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение [[Гармоническая функция|гармонической функции]], можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и [[Волновое число|волновым числом]] уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

== Нахождение дисперсионного соотношения ==
Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости [[Показатель преломления|показателя преломления]].

== Примеры для волн различных типов ==
=== Дисперсия видимого света в оптике ===
[[Файл:Prism-rainbow.svg|frame|right|Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде]]
[[Дисперсия (оптика)|Дисперсия]] возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или [[Диспергирующая среда|диспергирующей средой]]. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от [[Длина волны|длины волны]].

Дисперсия стекла и [[закон Снеллиуса]] приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

=== Упругие колебания атомов в цепочке ===
Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой <math>m</math>, расстояние между ними <math>d</math>. Сместим <math>n</math>-й [[атом]] на малое расстояние <math>u_n</math>. Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

С учётом ближайших соседей, действующая на <math>n</math>-й атом сила запишется как
: <math>F_n = - \beta (u_n-u_{n+1}) - \beta (u_n - u_{n-1}) = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}), </math>
где <math>\beta</math> — коэффициент. Уравнение движения для <math>n</math>-го атома имеет вид
: <math>ma_n = F_n \quad\Longleftrightarrow\quad m \cfrac {d^2 u_n} {dt^2} = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1})</math>.

Его решение ищется в форме <math>A e^{i(kd - \omega t)}</math>, где <math>k</math> — волновое число, <math>A =\,</math>const, а <math>\omega</math> — частота. Тогда
: <math>-m\omega^2 = \beta (e^{ikd} + e^{-ikd} -2) = - 2 \beta (1 - \cos kd) = - 4 \beta \sin^2 (kd/2),</math>
откуда получается:
: <math> \omega = \pm \omega_m \sin {kd/2},\,\,</math> где <math>\,\,\omega_m = 2 \sqrt{\beta/m}</math>.
Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.

=== Законы дисперсии для электронов ===
В [[физика твёрдого тела|физике твёрдого тела]] закон дисперсии выражает связь между энергией [[электрон]]а и его [[волновой вектор|волновым вектором]]. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается [[эффективная масса]] электрона в разных квантовых состояниях.

В [[полупроводник]]ах, в диапазоне энергий электрона <math>E</math> вблизи [[Дно зоны проводимости|минимума зоны проводимости]] <math>E_c</math> дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой <math>m^*</math> отличной от массы свободного электрона:
: <math> E = E_c + \hbar^2k^2/2m^*</math>.
Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.

== См. также ==
* [[Дисперсия волн]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // ''Нелинейные волны''. — М.: Мир, 1977.

{{phys-stub}}

[[Категория:Теория волн]]

Закон дисперсии - История изменений

imported>DasQwerty: /* Упругие колебания атомов в цепочке */ Исправлена опечатка