imported>Mikisavex: унификация начертания векторов

2022-08-04T17:22:09Z

унификация начертания векторов

Новая страница

'''Закон движения''' — математическая формулировка того, как движется тело или как происходит движение более общего вида или набор зависимостей, которые выявляют все данные о движении точки.

В классической механике [[материальная точка|материальной точки]] закон движения представляет собой три зависимости трёх пространственных координат от времени, либо зависимость одной векторной величины ([[радиус-вектор]]а) от времени, вида

: <math>\vec r = \vec r(t) = x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y + z(t)\vec{e}_z</math>.

Закон движения может быть найден, в зависимости от задачи, либо из дифференциальных законов механики (см. [[Законы Ньютона]]), либо из интегральных (см. [[Закон сохранения энергии]], [[Закон сохранения импульса]]), либо из так называемых вариационных принципов.

== Частные случаи ==

=== Равномерное прямолинейное движение ===
Простейшим случаем движения [[Материальная точка|материальной точки]] является равномерное и прямолинейное движение, то есть движение с постоянной по модулю и направлению [[скорость]]ю. В этом случае её закон движения выглядит следующим образом:
: <math>\vec r (t) = \vec r_0 + \vec v t</math>,
где <math>\vec r_0</math> — радиус-вектор, характеризующий положение точки в момент времени <math>t=0</math>, <math>\vec v</math> — вектор скорости материальной точки.

Если ось ''x'' выбрать направленной вдоль направления вектора скорости, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени <math>t=0</math>, то закон принимает особо простую форму:
: <math>x (t) = v t</math>,
где <math>v</math> — [[модуль вектора]] скорости материальной точки.

=== Равноускоренное прямолинейное движение ===
Другим важным частным случаем является прямолинейное движение с постоянным [[ускорение]]м. В этом случае закон движения имеет вид:
: <math>\vec r (t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{\vec a t^2}{2}</math>,
где <math>\vec v_0</math> — вектор скорости материальной точки в момент времени <math>t=0</math>, <math>\vec a</math> — вектор ускорения материальной точки.

Если ось ''x'' выбрать направленной вдоль направления вектора ускорения, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени <math>t=0</math>, то закон принимает более простую форму:
: <math>x (t) = v_{0x} t + \frac{a t^2}{2}</math>,
где <math>v_{0x}</math> — [[проекция вектора]] скорости материальной точки на ось ''x'' в момент времени <math>t=0</math>, <math>a</math> — модуль вектора ускорения материальной точки.

=== Равномерное движение по окружности ===
При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью (или, что то же самое с постоянной угловой скоростью) вектор ускорения направлен строго перпендикулярно вектору скорости в сторону центра окружности. В этом случае закон движения может быть записан в следующем виде:
: <math>\vec r (t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{a_n \vec n(t) t^2}{2}</math>,
где <math>a_n</math> — так называемое [[нормальное ускорение]], <math>\vec n</math> — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру окружности, то есть <math>(\vec v \cdot \vec n) = 0</math>. Величина <math>a_n</math> постоянна и равна <math>a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R</math>. Вектор <math>\vec n</math> равномерно вращается с угловой скоростью <math>\omega = \frac{v}{R}</math>, где ''R'' — радиус окружности, по которой движется материальная точка.

Удобнее при рассмотрении движения по окружности перейти к угловым переменным: углу <math>\varphi</math>, угловой скорости <math>\omega</math> и угловому ускорению <math>\varepsilon</math>. В этих переменных закон равномерного движения по окружности принимает следующий вид:
: <math>\varphi (t) = \varphi_0 + \omega t</math>

=== Равноускоренное движение по окружности ===
При равноускоренном движении по окружности вектор ускорения меняет как своё направление, так и величину модуля. Постоянным остаётся только так называемая тангенциальная составляющая ускорения, равная проекции вектора ускорения на прямую, вдоль которой направлен вектор скорости (эта же прямая является касательной к окружности, по которой движется материальная точка). Закон движения может быть при этом записан в следующем виде:
: <math>\vec r (t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{\left(a_n (t) \vec n (t) + a_\tau \vec s(t) \right) t^2}{2}</math>,
где <math>a_\tau</math> — [[тангенциальное ускорение]], <math>\vec s</math> — единичный вектор касательной к окружности. Величина <math>a_\tau</math> остаётся постоянной, величина <math>a_n = \frac{v^2(t)}{R}</math> изменяется с изменением модуля скорости, вектора <math>\vec n</math> и <math>\vec s</math> вращаются с переменной угловой скоростью <math>\omega (t) = \frac{v(t)}{R}</math>.

В угловых переменных закон равноускоренного движения по окружности имеет более простой вид:
: <math>\varphi (t) = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2}</math>,
где <math>\varepsilon = \frac{a_\tau}{R}</math>.

== Литература ==
* {{Книга:Сивухин Д.В.: Механика|1979|ref=Сивухин}}

[[Категория:Механика]]
[[Категория:Математическая физика]]

Закон движения - История изменений

imported>Mikisavex: унификация начертания векторов