imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)

2025-07-16T10:11:52Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)

Новая страница

[[Файл:Snells law2-ru.svg|thumb|200px|Преломление света на границе двух сред с различным [[показатель преломления|показателем преломления]]]]
[[Файл:Fénytörés.jpg|thumb|200px|Преломление света]]
'''Зако́н Сне́ллиуса''' (также '''Снелля''' или '''Снелла''') описывает [[преломление]] света на границе двух прозрачных сред. Также применим и для описания преломления волн другой природы, например, звуковых. Теоретическое объяснение закона Снеллиуса см. в статье [[Преломление]].

Закон был открыт в [[1621 год в науке|1621 году]] голландским математиком [[Снеллиус, Виллеброрд|Виллебрордом Снеллиусом]]<ref>Снеллиус — латинизированная форма оригинальной фамилии ''Снелл''</ref>. Несколько позднее опубликован (и, вероятно, независимо переоткрыт) [[Декарт, Рене|Рене Декартом]].

== Формулировка ==
{{теорема|Угол падения света на поверхность связан с углом преломления соотношением:

: <math>n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2,</math>
}}
: где <math>n_1</math> — [[показатель преломления]] среды, из которой свет падает на границу раздела;
: <math>\theta_1</math> — угол падения света — угол между падающим на поверхность лучом и нормалью к поверхности;
: <math>n_2</math> — показатель преломления среды, в которую свет попадает, пройдя границу раздела;
: <math>\theta_2</math> — угол преломления света — угол между прошедшим через поверхность лучом и [[нормаль]]ю к поверхности.

{{начало скрытого блока|Заголовок=Вывод закона |Рамка = |Фон_заголовка =| Ссылка = left}}

Пусть <math>\vec{k}</math> лежит в плоскости чертежа. Пусть ось <math>x</math> направлена горизонтально, ось <math>y</math> — вертикально. Из соображений симметрии следует, что <math>\vec{k},</math> <math>\vec{k'}</math> и <math>\vec{k''}</math> (для падающей, отраженной и преломленной волны, соответственно) должны лежать в одной плоскости.

Выделим из падающего луча плоскополяризованную составляющую, у которой угол между <math>\vec{E}</math> и плоскостью произволен. Тогда если выбрать начальную фазу равной нулю, то:

: <math>E = E_m e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{r})} = E_m e^{i(\omega t - k_x x - k_y y)};</math>
: <math>E' = E'_m e^{i(\omega' t-\vec{k'}\vec{r})} = E'_m e^{i(\omega' t - k'_x x - k'_y y + \alpha')};</math>
: <math>E'' = E''_m e^{i(\omega'' t-\vec{k''}\vec{r})} = E''_m e^{i(\omega'' t - k''_x x - k''_y y + \alpha'')}.</math>

Результирующее поле в первой и второй среде равны соответственно:

: <math>E_1 = E + E' = E_m e^{i(\omega t - k_x x - k_y y)} + E'_m e^{i(\omega' t - k'_x x - k'_y y + \alpha')};</math>
: <math>E_2 = E'' = E''_m e^{i(\omega'' t - k''_x x - k''_y y + \alpha'')}.</math>

Очевидно, что тангенциальные составляющие <math>E_1</math> и <math>E_2</math> должны быть равны на границе раздела то есть при <math>y=0.</math>

Тогда:

: <math>E_m e^{i(\omega t - k_x x)} + E'_m e^{i(\omega' t - k'_x x + \alpha')} = E''_m e^{i(\omega'' t - k''_x x + \alpha'')}.</math>

Для того, чтобы последнее уравнение выполнялось для всех <math>t,</math> необходимо, чтобы <math>\omega = \omega' = \omega''</math>, а для того, чтобы оно выполнялось при всех <math>x, </math> необходимо, чтобы:

: <math>k_x = k'_x = k''_x \Leftrightarrow k\sin{\alpha} = k'\sin{\alpha'} = k''\sin{\alpha''} \Leftrightarrow \cfrac {\omega} {v_1} \sin{\alpha} = \cfrac {\omega} {v_1} \sin{\alpha'} = \cfrac {\omega} {v_2} \sin{\alpha''},</math>

: где <math>v_1</math> и <math>v_2</math> — скорости волны в первой и второй среде соответственно.

Отсюда следует, что <math>\cfrac {\sin{\alpha}} {\sin{\alpha''}} = \cfrac {v_1} {v_2} = n_{12} \blacksquare.</math>

{{конец скрытого блока}}

== Область применимости закона ==
Закон Снеллиуса хорошо определён для случая «[[геометрическая оптика|геометрической оптики]]», то есть в случае, когда длина волны достаточно мала по сравнению с размерами преломляющей поверхности, вообще же говоря, работает в рамках приближённого описания, каковым и является геометрическая оптика.

Если <math>n_1 \sin \theta_1 > n_2,</math> имеет место [[полное внутреннее отражение]] (преломлённый луч отсутствует, падающий луч полностью отражается от границы раздела сред).

Следует заметить, что в случае [[Анизотропия|анизотропных сред]] (например, кристаллов с низкой симметрией или механически [[Деформация|деформированных]] твердых тел) преломление подчиняется несколько более сложному закону. При этом возможна зависимость направления преломленного луча не только от направления падающего, но и от его поляризации (см. [[двойное лучепреломление]]).

Закон Снеллиуса не описывает соотношение интенсивностей и поляризаций падающего, преломленного и отраженного лучей, рассматриваемые в более детальных [[Формулы Френеля|формулах Френеля]].

== Исторический очерк ==
Первым закон преломления света, то есть зависимость угла преломления от угла падения, попытался экспериментально определить знаменитый античный астроном [[Клавдий Птолемей]] в пятой книге своего трактата {{iw|Оптика (Птолемей)|«Оптика»||Optics (Ptolemy)}}. Птолемей измерил, как меняется угол преломления в зависимости от угла падения при изменении последнего от <math>10^\circ</math> до <math>80^\circ,</math> и составил таблицы для трёх вариантов смены среды: воздух-вода, воздух-стекло и вода-стекло. Например, для случая воздух-вода таблица Птолемея следующая (для сравнения приведены также современные данные и величина ошибки)<ref name=BRON157>{{книга |автор=Бронштэн В. А. |заглавие=Клавдий Птолемей |ответственный=Отв. ред. А. А. Гурштейн |место=М. |издательство=Наука |год=1988 |страниц=239 |страницы=157—161}}</ref><ref name=SABRA/>:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Углы преломления по Птолемею и по современным данным (воздух-вода)
|-
|Угол падения,<br>градусов|| 10° || 20° || 30° || 40° || 50° || 60° || 70° || 80°
|-
| Данные Птолемея || 8° 0' || 15° 30' || 22° 30' || 29° 0' || 35° 0' || 40° 30' || 45° 30' || 50° 0'
|-
| Современные данные || 7° 29' || 14° 52' || 22° 01' || 28° 49' || 35° 04' || 40° 30' || 44° 48' || 47° 36'
|-
| Величина ошибки || +31' || +38' || +29' || +11' || −4' || 0' || +42' || +144'
|}

Историки пришли к выводу, что реально Птолемей измерял отклонение луча только в районе 60° и близких к нему углов, потому что во всех трёх таблицах для этого значения ошибка равна нулю, а для других углов выполнил линейную аппроксимацию с подобранными им коэффициентами. Однако на деле зависимость угла преломления от угла падения нелинейна, поэтому у Птолемея получились большие ошибки<ref name=BRON157/><ref>{{cite web |title=Ptolemy (ca. 100-ca. 170) |work=Eric Weinstein's World of Scientific Biography |url=http://scienceworld.wolfram.com/biography/Ptolemy.html |access-date=2021-07-28 |archive-date=2006-04-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060427010746/http://scienceworld.wolfram.com/biography/Ptolemy.html |url-status=live }}</ref>.

Арабский физик и астроном XI века [[Ибн аль-Хайсам]] в своей «{{iw|Книга оптики|''Книге оптики''||Book of Optics}} (1021 год) также рассуждает на эту тему и приводит свои таблицы, близкие к птолемеевским, однако не делает попыток выразить искомый закон математически<ref name=SABRA>Sabra A. I. (1981), ''Theories of Light from Descartes to Newton'', [[Издательство Кембриджского университета]]. ([[ср.]] Pavlos Mihas, [https://web.archive.org/web/20120527202345/http://www.ihpst2005.leeds.ac.uk/papers/Mihas.pdf Use of History in Developing ideas of refraction, lenses and rainbow], p. 5, Demokritus University, [[Фракия]], [[Греция]].)</ref>.

В 1990 году арабский историк науки [[Рашед, Рошди|Рошди Рашед]], специализирующийся на поиске арабского вклада в мировую науку, опубликовал статью, в которой сообщил, что он нашёл два фрагмента арабской рукописи малоизвестного учёного X века [[Ибн Сахл|ибн Саля]], одного из учителей Ибн аль-Хайсама. Рашед также сообщил, что он сумел реконструировать текст, из которого следует, что ибн Саль открыл и правильно сформулировал закон Снеллиуса. Независимые подтверждения для утверждений Рашеда пока отсутствуют. Требуется также объяснить, почему никто из последователей ибн Саля, включая его ученика Ибн аль-Хайсама, не упоминает об этом фундаментальном достижении, и почему сам ибн Саль не сообщает, какими экспериментами он доказал своё открытие<ref>''Dr. Gorden Videen''. ''[https://www.researchgate.net/publication/279669748_Whose_law_of_refraction Whose Law of Refraction?] {{Wayback|url=https://www.researchgate.net/publication/279669748_Whose_law_of_refraction |date=20210727160117 }}'', [https://www.osa-opn.org/home/articles/volume_19/issue_5/ Optics & Photonics News (May 2008)] {{Wayback|url=https://www.osa-opn.org/home/articles/volume_19/issue_5/ |date=20210727160102 }}</ref><ref name=SABRA/>.

В Европе первая формулировка закона преломления обнаружена в неопубликованной рукописи английского математика [[Хэрриот, Томас|Томаса Хэрриота]] (1602 год). Немецкий астроном [[Иоганн Кеплер]], занимавшийся проблемой выбора наилучшей формы зажигательных линз, просил Хэрриота сообщить подробности открытого тем закона, но Хэрриот ограничился отправкой уточнённых таблиц, сославшись на то, что плохое здоровье не позволяет ему выразить закон в форме, подходящей для публикации<ref>{{cite journal |last1=Kwan |first1=A. |last2=Dudley |first2=J. |last3=Lantz |first3=E. |year=2002 |title=Who really discovered Snell's law? |journal=[[PhysicsWorld]] |volume=15 |issue=4 |pages=64 |doi=10.1088/2058-7058/15/4/44}}</ref>.

Ещё одно оставшееся неопубликованным открытие этого закона произошло в 1621 году, когда нидерландский математик [[Виллеброрд Снелл]] (''Снеллиус'') записал закон преломления в форме, равносильной современной: «''в одних и тех же средах отношение [[Тригонометрические функции|косекансов]] углов падения и преломления остаётся постоянным''». Скоропостижная смерть в 1626 году помешала Снеллу обнародовать своё открытие, однако слухи о нём разошлись, а набросок статьи Снелла сохранился и находится в библиотеке [[Амстердамский университет|Амстердамского университета]]<ref>{{книга |автор=[[Розенбергер, Иоганн Карл Фердинанд|Розенбергер Ф.]] |заглавие=[[s:История физики (Розенбергер)|История физики]] |место={{М.}}—{{Л.}} |издательство=ГИТТЛ |год=1934 |том=2 |страницы=94—95}}</ref>.

Позже «закон Снеллиуса» был независимо открыт и опубликован [[Декарт, Рене|Рене Декартом]] в трактате «[[Рассуждение о методе]]» (приложение «Диоптрика», 1637). Приоритет Снелла установил [[Христиан Гюйгенс]] в трактате «Диоптрика», изданном в 1703 году (спустя 77 лет после смерти Снелла), когда этот закон уже был общеизвестен; Гюйгенс также обосновал (в труде «{{iw|Трактат о свете|||Traité de la Lumière}}») вывод закона Снеллиуса из [[Волновая теория света|волновой теории света]] и [[Принцип Гюйгенса — Френеля|принципа Гюйгенса — Френеля]]. Недоброжелатели обвинили Декарта в [[Плагиат|плагиате]], подозревая, что во время одного из своих визитов в Лейден Декарт услышал об открытии Снелла и смог ознакомиться с его рукописями<ref>{{БРЭ |статья=Снеллиус |ссылка=https://old.bigenc.ru/physics/text/3588195|архив=https://web.archive.org/web/20221017124939/https://bigenc.ru/physics/text/3588195|архив дата=2022-10-17}}</ref>. Однако никаких доказательств плагиата нет, а самостоятельный путь Декарта к этому открытию подробно изучен историками<ref>{{книга |часть=Математика XVII столетия |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]], в трёх томах |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=II |страницы=32}}</ref><ref>{{книга |автор=[[Дорфман, Яков Григорьевич|Дорфман Я. Г.]] |заглавие=Всемирная история физики. С древнейших времён до конца XVIII века |издание=Изд. 3-е |место=М. |издательство=ЛКИ |год=2010 |страниц=352 |isbn=978-5-382-01091-5 |страницы=198—199}}</ref>.

== Принцип Ферма ==
{{main|Принцип Ферма}}
[[Файл:Fermat_Snellius.svg|мини|Луч света попадает из точки A в точку B за минимальное время.]]
Известный принцип<ref>{{книга
|автор = Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.
|заглавие = Фейнмановские лекции по физике. Том 3: Излучение. Волны. Кванты. Перевод с английского (издание 4)
|издательство = Эдиториал УРСС
|isbn = 5-354-00701-1
}}</ref> о движении светового луча по пути между двумя точками, который требует наименьшего времени можно использовать для доказательства закона преломления. Пусть скорость света в двух средах составляет <math>v_1</math> и <math>v_2</math>, тогда время движения между точками А и В зависит от выбора точки P на границе между средами:

: <math>T=\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{v_2}\,.</math>

Эта функция будет иметь минимум когда её [[Производная функции|производная]] равна нулю<ref>{{книга | автор = Ландсберг, Г. С| часть = | заглавие = Оптика: учебное пособие для вузов| оригинал = | ссылка =https://archive.org/details/isbn_5922103148| издание = 6-е изд. стереот| ответственный = | место = М.| издательство = ФИЗМАТЛИТ| год = 2003| том = | страницы = [https://archive.org/details/isbn_5922103148/page/n251 252]| страниц = 848| isbn = 5-9221-0314-8|ref=Ландсберг}}</ref>:

: <math>\frac{dT}{dx} = \frac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{-(d-x)}{v_2\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}=0\,.</math>

Здесь синусы углов можно выразить через треугольники:

: <math>\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}=\sin\alpha\,,\qquad \frac{d-x}{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}=\sin\beta</math>

Производная приводится к виду

: <math>\frac{\sin\alpha}{v_1} - \frac{\sin\beta}{v_2}=0\,,</math>

из чего следует, что

: <math>\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{v_1}{v_2}\,.</math>

Это выражение представляет собой закон Снеллиуса<ref>{{Книга:Физическая энциклопедия|4 | автор = | статья = Снелля закон | ссылка = http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3722.html | страницы = }}</ref>.

== Векторная формула ==
Пусть <math>\scriptstyle \vec v_1</math> и <math>\scriptstyle\vec v_2</math> ''лучевые векторы'' падающего и преломленного световых лучей, то есть векторы, указывающие направления лучей и имеющие длины <math>\scriptstyle |\vec v_1| = n_1</math> и <math>\scriptstyle |\vec v_2| = n_2,</math> а <math>\scriptstyle \vec n</math> единичный нормальный вектор к преломляющей поверхности в точке преломления. Тогда:

: <math>\vec v_2 = \vec v_1 + \left(\sqrt{\frac{n_2^2-n_1^2}{(\vec v_1 \cdot \vec n)^2} +1} - 1 \right)(\vec v_1 \cdot \vec n)\vec n.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://elementy.ru/trefil/21086 Элементы большой науки: Закон Снеллиуса]



[[Категория:Геометрическая оптика]]
[[Категория:1621 год в науке]]

Закон Снеллиуса - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)