imported>Solar Fields Sky: Исправлена опечатка

2024-02-01T00:57:19Z

Исправлена опечатка

Новая страница

{{другие значения термина|Дирихле|Дирихле (значения)}}
[[Файл:Laplace's equation on an annulus.svg|thumb|Решение задачи Дирихле на кольце с краевыми условиями: <math>u(2,\varphi)=0</math>, <math>u(4,\varphi)=4 \sin (5\varphi)</math>]]
'''Задача Дирихле́''' — вид задач, появляющийся при решении [[дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальных уравнений в частных производных]] второго порядка. Названа в честь [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Петера Густава Дирихле]].

== Постановка задачи ==
Задача Дирихле ставится следующим образом: пусть в области <math>\Omega</math> задано уравнение
: <math> \Delta u = 0.</math>
где <math>\Delta</math> — [[оператор Лапласа]]. С [[начальные и граничные условия|краевыми условиями]]:
: <math> \Bigl.u\Bigr|_{\partial \Omega} = g(\mathbf{x}).</math>
Такая задача называется '''внутренней задачей Дирихле''' или '''первой краевой задачей'''. Сами условия называются '''условиями Дирихле''' или '''первыми краевыми условиями'''. Второе название может трактоваться шире, обозначая любую задачу решения дифференциального уравнения, когда известно значение искомой функции на всей границе области. В случае, когда надо найти значения функции вне области <math>\Omega</math>, задача называется '''внешней задачей Дирихле'''.

== Связанные теоремы ==
{{рамка}}
'''Теорема.'''<br>
Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно<ref name="smirnov">{{книга|автор=М. М. Смирнов|заглавие=Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка|место=Москва|издательство=Наука|год=1964}}.</ref>
{{конец рамки}}

== Аналитическое решение ==
Аналитически задача Дирихле может быть решена с помощью [[теория потенциала|теории потенциала]]. Решение однородного уравнения можно представить в виде<ref name = "smirnov" />:
: <math>u(\mathbf{y}) = \int_{\partial \Omega} {g(\mathbf{x}) \frac{\partial G(\mathbf{x},\mathbf{y})}{\partial n} dx},</math>
где <math>G(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> — [[функция Грина]] для оператора Лапласа в области <math>\Omega</math>.

== Численное решение ==
Построение аналитического выражения для функции Грина в сложных областях может вызвать затруднения, поэтому для решения таких задач приходится пользоваться численными методами. Для каждого метода есть свои особенности учёта первых краевых условий:
* в [[метод конечных разностей|методе конечных разностей]] для узлов на границе области записывается уравнение <math>\mathbf{q}_i = g(\mathbf{x}_i)</math>, где <math>i</math> — номер соответствующего узла;
* в [[метод конечных элементов|методе конечных элементов]] такие краевые условия называют '''главными краевыми условиями''' и они учитываются на этапе сборки матрицы; для всех весов, связанных с границей, уравнения заменяются на уравнения вида <math>\mathbf{q}_i = g(\mathbf{x}_i)</math>; далее выполняется несколько шагов [[метод Гаусса|метода Гаусса]], чтобы полученная матрица была симметричной<ref name = fem>{{книга |автор={{nobr|Соловейчик Ю.Г.}}, {{nobr|Рояк М.Э.}}, {{nobr|Персова М.Г.}} |заглавие=Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач |место=Новосибирск |издательство=НГТУ |год=2007 |страниц=896 |isbn = 978-5-7782-0749-9}}</ref>.

== Физическая интерпретация ==
Физическая интерпретация условий Дирихле — поведение искомой величины на границе:
* температуры, если рассматривается [[уравнение теплопроводности]];
* поля скорости, если рассматривается [[уравнения Навье-Стокса|уравнение Стокса]];
* магнитное или электрического поля, если рассматривается некоторое уравнение, получаемое из [[уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]] (тогда краевые условия называют '''магнитными''' или '''электрическими краевыми условиями''', соответственно).

== См. также ==
* [[Эллиптическое уравнение]]
* [[Задача Неймана]]
* [[Интеграл Пуассона]]
* [[Преобразование Кельвина]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Математическая физика}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]
[[Категория:Теория потенциала]]

Задача Дирихле - История изменений

imported>Solar Fields Sky: Исправлена опечатка