imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T08:17:45Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

{{значения|Дискриминант (значения)}}

'''Дискримина́нт''' [[многочлен]]а — математическое понятие (в [[Алгебра|алгебре]]), обозначаемое буквами <math>\mathcal{D}</math> или <math>\Delta</math> <ref>{{cite web 2|lang=ru |title=Дискриминант многочлена |website=Математический справочник |url=http://dict.scask.ru/index.php?id=467}}</ref>.

Для многочлена <math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n</math>, <math>a_n \neq 0</math>, его дискриминант есть произведение
: <math>\mathcal{D}(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i \neq j}^{\frac{n^{2}-n}{2}}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>,
: где <math>\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n</math> — все [[Корень многочлена|корни многочлена]] (с учётом кратностей) в некотором [[Расширение поля|расширении]] основного поля, в котором они существуют.

Дискриминант - это такое число, которое определяет характер корней многочлена:
*Если <math> \mathcal{D}(p) > 0 </math>, это означает, что корни уравнения являются простыми, и все они различны. Геометрически, график <math> p(x) </math> пересекает ось <math> x </math> в <math> n </math>-разных местах.
*Если <math> \mathcal{D}(p) = 0 </math>, это означает, что некоторые из корней (или все) совпадают, т.е. кратны. Геометрически, график <math> p(x) </math> касается ось <math> x </math> в некоторых местах (или во всех).
*Если <math> \mathcal{D}(p) < 0 </math>, это означает, что некоторые из корней (или все) комплексные числа. Геометрически, график <math> p(x) </math> будет находиться над или под осью <math> x </math>, и касаться ее только в некоторых местах (или не будет касаться вовсе).

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена{{Переход|Многочлен второй степени}}, знак которого определяет количество действительных корней.

== Свойства ==
* Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
* Дискриминант является [[симметрический многочлен|симметрическим многочленом]] относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена [[целое число|целые]] независимо от [[Расширение поля|расширения]], в котором берутся корни.
*<math>\mathcal{D}(P(\lambda + x)) = \mathcal{D}(P(x)) </math>
*<math>\mathcal{D}(P(\lambda \cdot x)) = \lambda^{n(n-1)} \mathcal{D}(P(x)) </math> , где <math> \lambda = const </math>
*<math>\mathcal{D}(\lambda \cdot P(x)) = \lambda^{2n-2}\mathcal{D}(P(x)) </math>
*<math>\mathcal{D}(x \cdot P(x)) = a_0^{2} \mathcal{D}(P(x)) </math>
*<math>\mathcal{D}((P(x))^k) = \mathcal{D}((x^k \cdot P(x))) = 0 </math>, при <math> k > 1 </math>
* <math>\mathcal{D}(P(x))=\dfrac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}\mathcal{R}(P(x),P'(x))</math>, где <math>\mathcal{R}(P(x),P'(x))</math> — [[результант]] многочлена <math>P(x)</math> и его производной <math>P'(x)</math>.

* Также дискриминант можно записать в виде [[определитель|определителя]] матрицы <math>n \times n</math> вида
: <math> \mathcal{D}(P(x)) = a_n^{2n-2}
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^{2} & x_2^{2} & x_ 3^{2} & \cdots & x_n^{2} \\
x_1^{3} & x_2^{3} & x_3^{3} & \cdots & x_n^{3} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\
\end{vmatrix}^{2}
</math>.
Где (<math> x_1 , x_2, x_3, \cdots , x_n </math>) - корни уравнения от [[многочлен|многочлена]] <math> P(x) </math>

== Примеры ==
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

=== Многочлен второй степени ===
Дискриминант квадратного трёхчлена <math>ax^2+bx+c</math> равен <math>\mathcal{D} = b^2-4ac.</math>

* При <math>\mathcal{D} > 0</math> трёхчлен будет иметь два вещественных корня:
*: <math>x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a}= \dfrac{2c}{-b \mp \sqrt{\mathcal{D}}}.</math>
* При <math>\mathcal{D} = 0</math> — один корень [[Кратность корня многочлена|кратности]] 2 (другими словами, два одинаковых корня):
*: <math>x = -\dfrac{b}{2a}.</math>
* При <math>\mathcal{D} < 0</math> вещественных корней нет, однако есть два [[Сопряжённые числа|комплексно-сопряжённых]] корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
*: <math>x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\mathcal{D}|}}{2a}</math> или <math>x_{1,2} = \dfrac{2c}{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}} = \dfrac{2c}{-b \pm i\sqrt{|\mathcal{D}|}}.</math>

==== Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения ====
Дискриминант квадратного трёхчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:

<math>l=\dfrac{\sqrt{\mathcal{D}}}{2a}</math> .<ref>{{Cite web|lang=ru|url=https://mathematics-repetition.com/diskriminant-formula-diskriminanta/|title=Дискриминант и его геометрический смысл|website=Математика для всех|access-date=2022-12-16|archive-date=2022-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20221216230758/https://mathematics-repetition.com/diskriminant-formula-diskriminanta/|url-status=live}}</ref>

=== Многочлен третьей степени ===
Дискриминант кубического многочлена <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> равен
: <math> D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd = 27\left(6a\frac{b}{3}\frac{c}{3}d - 4\left(a\left(\frac{c}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{3}\right)^3d\right) + 3\left(\frac{b}{3}\right)^2\left(\frac{c}{3}\right)^2 - a^2d^2\right).</math>
В частности, дискриминант кубического многочлена <math>x^3+px+q</math> (корни которого вычисляются по [[формула Кардано|формуле Кардано]]) равен <math>-4p^3-27q^2 = -108\left(\left( \frac{p}{3} \right)^3+\left( \frac{q}{2} \right)^2\right).</math>.
* При <math>D > 0</math> кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
* При <math>D = 0</math> он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
* При <math>D < 0</math> кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

=== Многочлен четвёртой степени ===
Дискриминант многочлена четвёртой степени <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> равен
: <math>\begin{align}
D &= 256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4\ + \\
&+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e\ - \\
&- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2.
\end{align} </math>
Для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math> дискриминант имеет вид
: <math>\begin{align}
D &= 256 s^3 - 128 q^2 s^2 + 144 q r^2 s - 27 r^4 + 16 q^4 s - 4 q^3 r^2 = \\
&= 256\left(s^3-18\left(\frac{q}{6}\right)^2s^2-27\left(\frac{r}{4}\right)^4-54\left(\frac{q}{6}\right)^3 \left(\frac{r}{4}\right)^2+54\left(\frac{q}{6}\right)\left(\frac{r}{4}\right)^2s+81\left(\frac{q}{6}\right)^4s\right).
\end{align}</math>
и равенство <math>D=0</math> определяет в пространстве <math>(q,r,s)</math> поверхность, называемую [[Ласточкин хвост (поверхность)|ласточкиным хвостом]].

* При <math>D < 0</math> многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
* При <math>D > 0</math> многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
: А именно, для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math><ref name=autogenerated1>{{статья |заглавие=Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation |ссылка=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1922-02_29_2/page/n1 |издание=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] |том=29 |номер=2 |страницы=51—55 |jstor=2972804 |doi=10.2307/2972804 |язык=en |тип=journal |автор=Rees, E. L. |год=1922 |archive-date=2016-05-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160526211918/http://www.jstor.org/stable/2972804 }}</ref>:
:* если <math>q \geqslant 0</math>, то все корни комплексные;
:* если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то все корни комплексные;
:* если <math>q < 0</math> и <math>s < \frac{q^2}{4}</math>, то все корни вещественные.
* При <math>D = 0</math> многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
: Точнее<ref name=autogenerated1 />:
:* если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
:* если <math>q < 0</math> и <math>-\frac{q^2}{12} < s < \frac{q^2}{4}</math>, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
:* если <math>q < 0</math> и <math>s = \frac{q^2}{4}</math>, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
:* если <math>q < 0</math> и <math>s = -\frac{q^2}{12}</math>, то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
:* если <math>q > 0</math>, <math>s > 0</math> и <math>r \neq 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
:* если <math>q > 0</math>, <math>s = \frac{q^2}{4}</math> и <math>r = 0</math>, то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
:* если <math>q > 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
:* если <math>q = 0</math> и <math>s > 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
:* если <math>q = 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 4.

== История ==
Термин образован от латинского слова {{lang-lat|discrimino}} — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант [[Квадратичная форма|квадратичной формы]]» использовалось в работах [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]], [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]], [[Кронекер, Леопольд|Кронекера]], [[Вебер, Генрих Мартин|Вебера]] и др. Термин ввёл британский математик [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Джеймс Джозеф Сильвестр]] (1814—1897)<ref>{{Cite web |url=http://www.numericana.com/answer/matrix.htm |title=Matrices and Determinants — Numericana |access-date=2010-05-09 |archive-date=2010-06-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100601025220/http://www.numericana.com/answer/matrix.htm |url-status=live }}</ref>.

== См. также ==
* [[Результант]]
* [[Дискриминант алгебраического числового поля]]

== Литература ==
* {{книга|автор=Прасолов В. В.|заглавие=Многочлены|место=М.|издательство=[[МЦНМО]]|год=1999, 2001, 2003}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

{{внешние ссылки}}

[[Категория:Многочлены]]

Дискриминант - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}