imported>Karavadgoo: /* Преамбула */ Всё-таки так будет лучше

2026-01-12T13:54:14Z

Преамбула: Всё-таки так будет лучше

Новая страница

'''Диофа́нтово уравнение''' (также '''уравнение в целых числах''') — это [[уравнение]] вида
: <math>P(x_1, \dots, x_m) = 0,</math>
где <math>P</math> — [[целое число|целочисленная]] [[функция (математика)|функция]], например, [[полином]] с целыми коэффициентами, а переменные <math>x_i</math> принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика [[Диофант Александрийский|Диофанта]].

Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение
: <math>P(a_1, \dots, a_n,x_1, \dots, x_m) = 0,</math>
с параметрами <math>a_1, \dots, a_n</math> и неизвестными <math>x_1, \dots, x_m</math> считается разрешимым при данных значениях набора параметров <math>(a_1, \dots, a_n) </math>, если существуют набор чисел <math>(x_1, \dots, x_m)</math>, при которых это равенство становится верным.

Таким образом, '''диофантовыми уравнениями''' называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух<ref>. Абакумова С. И., Гусева А. Н. Диофантовы уравнения Фундаментальные и прикладные исследования в современном
мире. — 2014. — Т. 1, № 6. — С. 133—137.</ref>. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика [[Диофант Александрийский|Диофанта Александрийского]], который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения<ref>Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения — Москва : Наука, 1972. — 68 с</ref>. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика»<ref>Жмурова, И. Ю. Диофантовы уравнения: от древности до нашихдней. Молодой учёный. — 2014. — № 9. -С. 1-5</ref>. После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века<ref>Кожаев, Ю. П. Греческий математик Диофант и диофантовы уравнения. Материалы IV Всероссийской научно — практической конференции «Культура и общество: история и современность»- Ставрополь : АГРУС. — 2015. — С. 150—154.</ref>. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: [[Леонардо Фибоначчи]] (ок.1170 — 1250 гг.), [[Франсуа Виет]] (1540—1603 гг.), [[Симон Стевин]] (ок. 1549—1620 гг.)<ref>Мельников Р. А. Краткий обзор этапов развития диофантовых уравнений. Материалы международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования» — Рязань : издательство РГУ им. С. А. Есенина, 2016. — С. 429—435.</ref>.

Задача нахождения всех целочисленных решений полностью решена для уравнений произвольной степени с одним неизвестным, уравнений первой степени произвольного числа неизвестных и уравнений второй степени с двумя неизвестными.

== Примеры ==
* <math>x^n + y^n = z^n</math>:
** При <math>n=2</math> решениями этого уравнения являются [[пифагоровы тройки]].
** Согласно [[Великая теорема Ферма|Великой теореме Ферма]], это уравнение не имеет ненулевых целых решений при <math>n>2</math>.
* <math>\sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^n</math> — [[гипотеза Эйлера]] утверждает, что для любого натурального числа <math>n > 2</math> это уравнение неразрешимо в натуральных числах <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math>, то есть никакую ''n''-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы <math>(n - 1)</math> ''n''-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для <math>n = 4</math> и <math>n = 5</math>, после чего была выдвинута [[гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа]].
* <math>x^2 - n y^2 = 1</math>, где параметр ''n'' не является точным квадратом — [[уравнение Пелля]].
* <math>x^z - y^t = 1</math>, где <math>z, t>1</math>, — [[Гипотеза Каталана|уравнение Каталана]], которое имеет единственное решение <math> 3^2-2^3=1 </math>.
* <math>\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c</math> при <math>n\ge 3</math> и <math>c\ne 0</math> — [[уравнение Туэ]].

== {{якорь|линейные}} Линейные диофантовы уравнения ==
Общий вид '''линейного диофантова уравнения''':
: <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_k x_k=d.</math>
В частности, '''''линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными''''' имеет вид:
: <math>ax+by=c.\qquad(1)</math>

Если <math>(a,b) \nmid c</math> (то есть [[наибольший общий делитель]] <math>(a,\;b)</math> не делит <math>c</math>), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если <math>(a,\;b) \ne 1</math>, то число, стоящее слева в (1), делится на <math>(a,\;b)</math>, а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении <math>ax+by=c</math> выполняется <math>(a,b) \mid c</math>, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть <math>(x_0,\;y_0)</math> — частное решение уравнения <math>ax+by=c</math>. Тогда все его решения находятся по формулам:
: <math>\begin{cases} x=x_0-n\frac{b}{(a,\;b)} \\ y=y_0+n\frac{a}{(a,\;b)}\end{cases}\quad n \in\mathbb Z.</math>

Частное решение <math>(x_0,\;y_0)</math> можно построить следующим образом. Если <math>(a, b)\ne 1</math> и <math>c</math> делится на <math>(a,b)</math>, то после деления всех коэффициентов на <math>(a,b)</math> уравнение приобретает вид <math>a_1x+b_1y = c_1</math>, где <math>(a_1,b_1)=1</math>. Для последнего уравнения частное решение получается из [[соотношение Безу|соотношения Безу]] для <math>a_1, b_1</math>:
: <math>u a_1 + v b_1 = 1,</math>
исходя из которого, можно положить <math>(x_0,\;y_0) = (c_1\cdot u,\;c_1\cdot v).</math>

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения, следующая из [[Теорема Эйлера (теория чисел)|теоремы Эйлера]]<ref>{{книга|автор=Воробьёв Н. Н.|заглавие=Признаки делимости|место=М.|издательство=Наука|год=1988|серия=[[Популярные лекции по математике]]|страницы=60|страниц=96|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a39.htm|archivedate=2020-07-18|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200718113718/http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a39.htm}}</ref>:
: <math>\begin{cases}x_t=c a^{\varphi(b)-1}+b t,\\ y_t=c\frac{1-a^{\varphi(b)}}{b}-a t,\end{cases}</math>
где <math>\varphi(\cdot)</math> — [[функция Эйлера]], а ''t'' — произвольный целый параметр.

== Алгебраические диофантовы уравнения ==
При рассмотрении вопроса разрешимости [[алгебраическое уравнение|алгебраических]] диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

=== Диофантовы множества ===
'''Диофантовым множеством''' называется множество состоящее из упорядоченных наборов из n целых чисел, для которого существует алгебраическое диофантово уравнение:
: <math>P(a_1, \dots, a_n,x_1, \dots, x_m) = 0,</math>
которое разрешимо тогда и только тогда, когда набор чисел <math>(a_1, \dots, a_n)</math> принадлежит этому множеству. Рассматриваемое диофантово уравнение называется '''диофантовым представлением''' этого множества. Важный результат, полученный [[Матиясевич, Юрий Владимирович|Ю. В. Матиясевичем]], состоит в том, что каждое [[перечислимое множество]] имеет диофантово представление<ref>{{Из|МЭ|заглавие=Диофантово множество|автор=Ю. В. Матиясевич}}</ref>.

=== Неразрешимость в общем виде ===
{{main|Десятая проблема Гильберта}}
[[Десятая проблема Гильберта]], сформулированная в [[1900 год]]у, состоит в нахождении [[алгоритм]]а для определения существования решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В [[1970 год]]у [[Матиясевич, Юрий Владимирович|Ю. В. Матиясевич]] доказал [[Алгоритмически неразрешимая задача|алгоритмическую неразрешимость]] этой проблемы.<ref>{{книга |автор=Матиясевич Ю. В. |заглавие=Десятая проблема Гильберта |место=М. |издательство=Наука |год=1993 |ссылка=http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/H10Pbook/index.html |archivedate=2013-10-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131028230444/http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/H10Pbook/index.html }}</ref>

== Экспоненциальные диофантовы уравнения ==
Если одна или более переменных в диофантовом уравнении входит в выражение показателя [[возведение в степень|возведения в степень]], такое диофантово уравнение называется '''экспоненциальным'''.

Примеры:
* [[Уравнение Рамануджана — Нагеля]]
* Уравнения [[Гипотеза Ферма — Каталана|гипотезы Ферма — Каталана]]
* [[Гипотеза Била]]
Общая теория решения таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как [[Гипотеза Каталана]], были исследованы. Однако большинство из этих уравнений всё же удаётся решить специальными методами, такими как {{iw|теорема Стёрмера|||Størmer's theorem}} или даже [[метод проб и ошибок]].

== См. также ==
* [[Малая теорема Ферма]]
* [[Сравнение по модулю#Решение сравнений|Решение сравнений]]
* [[Теория чисел в средневековом исламском мире#Диофантовы уравнения|Диофантовы уравнения в средневековом исламском мире]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* ''[[Башмакова И. Г.]]'' Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972. German translation: ''Diophant und diophantische Gleichungen''. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: ''Diophantus and Diophantine Equations''. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
* ''Башмакова И. Г., Славутин Е. И.'' История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984.
* Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat, " ''Revue d’Histoire des Sciences'' 19 (1966), pp. 289—306
* Bashmakova, Izabella G. «Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,» ''Historia Mathematica'' 8 (1981), 393—416.
* {{книга |автор=[[Гельфонд А. О.]] |заглавие=Решение уравнений в целых числах |серия=[[Популярные лекции по математике]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm}}
* {{статья |автор=Михайлов И.|заглавие=О диофантовом анализе |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1980 |номер=6 |страницы=16—17,35 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1980/06/o_diofantovom_analize.htm}}
* Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. ''Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique'', Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
* Rashed, Roshdi, ''Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat'', Berlin, New York : Walter de Gruyter.
* {{книга |автор=Серпинский В. Н.|заглавие=О решении уравнений в целых числах |место=М. |издательство=[[Физматлит]] |год=1961 |страниц=88 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm}}
* {{статья |автор=Степанов С. А.|заглавие=Диофантовы уравнения |издание=Тр. МИАН СССР |год=1984 |том=168 |страницы=31–45 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/tm2221}}
* {{MathWorld |urlname=DiophantineEquation |title=Diophantine Equation}}

{{вс}}

[[Категория:Диофантовы уравнения|*]]

Диофантово уравнение - История изменений

imported>Karavadgoo: /* Преамбула */ Всё-таки так будет лучше