imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: wikify → ш:плохое оформление (2008-09-07), refless → ш:нет сносок (2009-11-29)

2025-05-17T04:20:17Z

Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: wikify → ш:плохое оформление (2008-09-07), refless → ш:нет сносок (2009-11-29)

Новая страница

[[Файл:Lorenz system r28 s10 b2-6666.png|thumb|240px|right|Фазовая диаграмма [[Аттрактор Лоренца|странного аттрактора Лоренца]] — популярный пример нелинейной динамической системы. Изучением подобных систем занимается [[теория хаоса]].]]

'''Динамическая система''' — [[множество]] элементов, для которого задана [[функциональная зависимость]] между [[Время|временем]] и положением в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] каждого элемента системы.{{нет АИ|8|06|2017}} Данная [[математическая абстракция]] позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в [[Пространство состояний (теория управления)|пространстве состояний]]. Эволюция динамической системы определяется [[Детерминированность|детерминированной]] функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.

== Введение ==
Динамическая система представляет собой такую [[Математическая модель|математическую модель]] некоего объекта, процесса или явления, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».{{sfn|Андронов|1981|с=18—19}}

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая ''состоянием''. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. [[Фазовое пространство]] системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Различают системы с ''дискретным'' временем и системы с ''непрерывным'' временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются ''каскадами'', поведение системы (или, что то же самое, [[траектория]] системы в фазовом пространстве) описывается ''последовательностью'' состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются ''потоками'', состояние системы определено для ''каждого'' момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в [[символическая динамика|символической]] и [[топологическая динамика|топологической]] динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается [[автономная система дифференциальных уравнений|автономной системой дифференциальных уравнений]], заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых [[дифференциальные уравнения|дифференциальными уравнениями]]. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (''аттракторы'') и отталкивающих (''репеллеры'') множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — [[устойчивость (динамические системы)|устойчивость состояний равновесия]] (то есть способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и [[грубость (динамические системы)|грубость]] (то есть сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели; «''грубая система'' — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»).{{sfn|Андронов|1955|с=3—19}}{{sfn|Андронов|1981|с=18—19}}

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с ''инвариантной мерой''.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Методы теории динамических систем востребованы в других разделах естествознания, таких как [[неравновесная термодинамика]], [[теория динамического хаоса]], [[синергетика]].

== Определение ==
Пусть <math>X</math> — произвольное [[гладкое многообразие]].

'''Динамической системой''', заданной на гладком многообразии <math>X</math>, называется отображение <math>g\colon \mathbb {R}\times X\to X</math>, записываемое в параметрическом виде <math>g^{t}(x)</math>, где <math>t\in \mathbb {R}, x\in X</math>, которое является дифференцируемым отображением, причём <math>g^0</math> — тождественное отображение пространства <math>X</math>. В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство <math>\{g^{t}:t\in \mathbb {R}\}</math> образует [[группа преобразований|группу преобразований]] [[топологическое пространство|топологического пространства]] <math>X</math>, а значит, в частности, для любых <math>t_1,t_2\in \mathbb {R} </math> выполняется тождество <math>g^{t_1}\circ g^{t_2}=g^{t_1+t_2}</math>.

Из дифференцируемости отображения <math>g</math> следует, что функция <math>g^{t}(x_0)</math> является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве <math>\mathbb{R} \times X</math> и называется '''интегральной траекторией''' (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство <math>X</math>, которое носит название [[фазовое пространство|фазового пространства]], называется '''фазовой траекторией''' (кривой) динамической системы{{нет АИ|27|04|2024}}.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории{{нет АИ|27|04|2024}}.

Замена координат представляет собой диффеоморфизм (если структура гладкая) или гомеоморфизм (с топологической точки зрения) фазовых пространств. Можно определить множество эквивалентности между динамическими системами, которые связаны с разными классами координат. Проблема структуры орбит в таком случае может пониматься как задача классификации динамических систем с точностью до отношений эквивалентности{{нет АИ|27|04|2024}}.

== Способы задания динамических систем ==
Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство <math>X</math>, множество моментов времени <math>T</math> и некоторое ''правило'', описывающее движение точек фазового пространства со временем.
Множество моментов времени <math>T</math> может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время ''непрерывно''), так и множеством целых или натуральных чисел (''дискретное'' время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно [[орбита (динамические системы)|орбитой]]. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

=== Фазовые потоки ===
Пусть фазовое пространство <math>X</math> представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка <math>x</math> фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости <math>v(x)</math>. Тогда траектория точки <math>x_0\in X</math> будет решением автономного дифференциального уравнения <math>\frac{dx}{dt}=v(x)</math> с начальным условием <math>x(0)=x_0</math>. Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

=== Каскады ===
Пусть <math>X</math> — произвольное множество, и <math>f\colon X\to X</math> — некоторое отображение множества <math>X</math> на себя. Рассмотрим [[итерация|итерации]] этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством <math>X</math> и множеством моментов времени <math>T=\mathbb N</math>. Действительно, будем считать, что произвольная точка <math>x_0\in X</math> за время <math>1</math> переходит в точку <math>x_1=f(x_0)\in X</math>. Тогда за время <math>2</math> эта точка перейдет в точку <math>x_2=f(x_1)=f(f(x_0))</math> и т. д.

Если отображение <math>f</math> обратимо, можно определить и ''обратные итерации'': <math>x_{-1}=f^{-1}(x_0)</math>, <math>x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_0))</math> и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени <math>T=\mathbb Z</math>.

=== Примеры ===
* Система дифференциальных уравнений
<center><math>
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=v\\
\frac{dv}{dt}=-kx
\end{cases}</math></center>
задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость <math>(x,v)</math>, где <math>v</math> — скорость точки <math>x</math>. Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.
* Пусть <math>\varphi</math> — угол, задающий положение точки на единичной окружности. Отображение удвоения <math>f(\varphi)=2\varphi\pmod{2\pi}</math>, задаёт динамическую систему с дискретным временем, фазовым пространством которой является окружность.
* [[Быстро-медленная система|Быстро-медленные системы]] описывают процессы, одновременно развивающиеся в нескольких масштабах времени.
* Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранного [[лагранжиан]]а, известны как «лагранжевы динамические системы».

== Вопросы теории динамических систем ==
Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

# Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
# Как устроены [[Инвариантное многообразие|инвариантные многообразия]] системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?
# Как устроен [[аттрактор]] системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
# Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
# Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
# Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

{{rq|
{{плохое оформление|дата=2008-09-07}}
{{нет сносок|дата=2009-11-29}}
}}

== См. также ==
{{Div col}}
* [[Теория устойчивости]]
* [[Теория бифуркаций]]
* [[Теория катастроф]]
* [[Теория хаоса]]
* [[Нелинейная система]]
* [[Центральное многообразие]]
* [[Нелинейная динамика]]
* [[Линейная динамическая система]]
* [[Статистическая модель]]
* [[Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера]]
* [[Скользящий режим]]
{{Div col end}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Андронов, Александр Александрович (старший)|Андронов А. А.]], [[Витт, Александр Адольфович|Витт А. А.]], [[Хайкин, Семён Эммануилович|Хайкин С. Э.]]
|заглавие = Теория колебаний
|ссылка =
|издание = 2-е изд., перераб. и испр.
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1981
|страниц = 918
|isbn =
|тираж =
|ref = Андронов
}}
* {{книга
|заглавие = Памяти Александра Александровича Андронова
|ссылка = http://cardio.a-v-m.ru/ArtLib/Andron01/index.htm
|место = М.
|издательство = Изд-во Академии наук СССР
|год = 1955
|страниц =
|isbn =
|тираж =
|ref = Андронов
}}
* {{книга
|автор = [[Малинецкий, Георгий Геннадиевич|Малинецкий Г. Г.]], {{nobr|Потапов А. Б.}}, {{nobr|Подлазов А. В.}}
|заглавие = Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды
|ссылка = http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&page=Book&id=30226&lang=Ru&blang=ru&list=Found
|место = М.
|издательство = УРСС
|год = 2006
|страниц =
|isbn =
|тираж =
}}
* {{книга
|ответственный = ред. Д. В. Аносов
|заглавие = Гладкие динамические системы
|место = М.
|издательство = Мир
|год = 1977
|страниц = 256
|isbn =
|тираж =
}}
* {{книга
|автор = Евланов Л. Г.
|заглавие = Контроль динамических систем
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1972
|страниц = 423
|isbn =
|тираж = 4800
}}
* {{книга
|автор = [[Биркгоф, Джордж Дейвид|Биркгоф Дж.]]
|заглавие = Динамические системы
|место = М.
|издательство = ОГИЗ
|год = 1999
|страниц = 480
|isbn = 5-7029-0356-0
|тираж = 3500
}}

* {{книга
|автор = Гукенхеймер Дж., {{нп4|Холмс, Филип|Холмс Ф.||Philip Holmes}}
|заглавие = Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей
|место =
|издательство =
|год = 2002
|страниц = 560
|isbn = 5-93972-200-8
|тираж =
}}

* {{книга
|автор = Палис Ж., ди Мелу В.
|заглавие = Геометрическая теория динамических систем: Введение
|место =
|издательство = Мир
|год = 1986
|страниц = 301
|isbn =
|тираж =
}}
* Шесть лекций по теории нелинейных динамических систем / ''[[Карлов, Николай Васильевич|Н. В. Карлов]], [[Кириченко, Николай Александрович (физик)|Н. А. Кириченко]]''. МФТИ, [1998?]. — 178 с. : ил.; 30 см; ISBN 5-7417-0096-9

== Ссылки ==
* {{MathWorld|title=Dynamical Systems|urlname=DynamicalSystem}}
{{вс}}

[[Категория:Динамические системы|*]]
[[Категория:Синергетика]]

Динамическая система - История изменений

imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: wikify → ш:плохое оформление (2008-09-07), refless → ш:нет сносок (2009-11-29)