imported>Matsievsky: откат правок 37.78.234.5 (обс.) к версии EyeBot

2025-10-08T21:33:10Z

откат правок 37.78.234.5 (обс.) к версии EyeBot

Новая страница

'''Дели́мость''' — одно из основных понятий [[арифметика|арифметики]] и [[теория чисел|теории чисел]], связанное с [[Деление (математика)|операцией деления]]. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], делимость целых чисел является [[Отношение (теория множеств)|отношением]], определённым на множестве [[Целое число|целых чисел]].

== Определение ==

Если для некоторого [[целое число|целого числа]] <math>a</math> и целого числа <math>b</math> существует такое целое число <math>q</math>, что <math>bq=a,</math> то говорят, что число <math>a</math> '''делится нацело''' на <math>b</math> или что <math>b</math> '''делит''' <math>a.</math>

При этом число <math>b</math> называется '''[[Делитель|делителем]]''' числа <math>a</math>, '''[[делимое]]''' <math>a</math> будет '''кратным''' числа <math>b</math>, а число <math>q</math> называется '''[[Деление (математика)|частным]]''' от деления <math>a</math> на <math>b</math>.

Хотя свойство делимости определено на всём [[Множество целых чисел|множестве целых чисел]], обычно рассматривается лишь делимость [[Натуральное число|натуральных чисел]]. В частности, [[Функция (математика)|функция]] [[Число делителей|количества делителей]] натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

=== Обозначения ===
* <math>a\,\vdots\, b</math> означает{{sfn|Воробьев|1988|с=7}}, что <math>a</math> '''делится''' на <math>b</math>, или что число <math>a</math> '''кратно''' числу <math>b</math>.

* <math>b\mid a</math> означает, что <math>b</math> '''делит''' <math>a</math>, или, что то же самое: <math>b</math> — '''делитель''' <math>a</math>.

== Связанные определения ==
* У каждого натурального числа, большего [[1 (число)|единицы]], имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются '''[[простое число|простыми]]''', а имеющие больше двух делителей — '''[[составное число|составными]]'''. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
* У каждого натурального числа, большего <math>1</math>, есть хотя бы один [[простой делитель]].
* '''Собственным делителем''' числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
* Используется также понятие '''тривиальных делителей''': это само число и единица. Таким образом, простое число может быть определено как число, не имеющее никаких делителей, помимо тривиальных.
* Вне зависимости от делимости целого числа <math>a</math> на целое число <math>b\ne 0</math>, число <math>a</math> всегда можно [[Деление с остатком|разделить на <math>b</math> с остатком]], то есть представить в виде:
*: <math>a=b\,q + r,</math> где <math>0 \leqslant r < |b|</math>.
: В этом соотношении число <math>q</math> называется [[Неполное частное|'''неполным частным''']], а число <math>r</math> — [[Остаток от деления|'''остатком''']] от деления <math>a</math> на <math>b</math>. Как частное, так и остаток определяются однозначно.
: Число <math>a</math> делится нацело на <math>b</math> тогда и только тогда, когда остаток от деления <math>a</math> на <math>b</math> равен нулю.
* Всякое число, делящее как <math>a</math>, так и <math>b</math>, называется их '''общим делителем'''; максимальное из таких чисел называется '''[[наибольший общий делитель|наибольшим общим делителем]]'''. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: <math>+1</math> и <math>-1</math>. Если других общих делителей нет, то эти числа называются '''[[взаимно простые числа|взаимно простыми]]'''.
* Два целых числа <math>a</math> и <math>b</math> называются '''равноделимыми''' на целое число <math>m</math>, если либо и <math>a</math>, и <math>b</math> делится на <math>m</math>, либо ни <math>a</math>, ни <math>b</math> не делится на него.
* Говорят, что число <math>a</math> '''кратно''' числу <math>b</math>, если <math>a</math> делится на <math>b</math> без остатка. Если число <math>c</math> делится без остатка на числа <math>a</math> и <math>b</math>, то оно называется их '''общим кратным'''. Наименьшее такое натуральное <math>c</math> называется '''[[Наименьшее общее кратное|наименьшим общим кратным]]''' чисел <math>a</math> и <math>b</math>.

== Свойства ==
: ''Замечание:'' во всех формулах этого раздела предполагается, что <math>a,\,b,\,c</math> — целые числа.

* Любое целое число является делителем [[0 (число)|нуля]]:
: <math>0\,\vdots\,a,</math>
: и частное (при <math>a \ne 0</math>) равно нулю.

* Любое целое число делится на единицу:
: <math>a\,\vdots\,1.</math>

* На ноль делится только ноль:
: <math>a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0</math>,
: причём частное в этом случае не определено.

* Единица делится только на единицу:
: <math>1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1.</math>

* Для любого целого числа <math>a \ne 0</math> найдётся такое целое число <math>b \ne a,</math> для которого <math>b\,\vdots\,a.</math>

* Если <math>a\,\vdots\,b</math> и <math>\left|b\right| > \left|a\right|,</math> то <math>a\,=\,0.</math> Отсюда же следует, что если <math>a\,\vdots\,b</math> и <math>a \ne 0</math> то <math>\left|a\right| \geqslant \left|b\right|.</math>

* Для того чтобы <math>a\,\vdots\,b</math> необходимо и достаточно, чтобы <math>\left|a\right| \vdots \left|b\right|.</math>

* Если <math>a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b,</math> то <math>\left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b.</math>

* Отношение делимости натуральных чисел является [[Отношение порядка|отношением нестрогого порядка]] и, в частности, оно:
** [[Рефлексивность|рефлексивно]], то есть любое целое число делится на себя же: <math>\quad a\,\vdots\,a.</math>
** [[Транзитивность|транзитивно]], то есть если <math>a\,\vdots\,b</math> и <math>b\,\vdots\,c,</math> то <math>a\,\vdots\,c.</math>
** [[Антисимметричное отношение|антисимметрично]], то есть если <math>a\,\vdots\,b</math> и <math>b\,\vdots\,a,</math> то <math>a\,=\,b.</math>
:: В системе целых чисел выполняются только первые два из этих трёх свойств; например, <math>2\,\vdots-2</math> и <math>-2\,\vdots\,2,</math> но <math>2 \ne -2</math>. То есть отношение делимости целых чисел является только лишь [[Предпорядок|предпорядком]].

== Число делителей ==
{{main|Число делителей}}

Число положительных делителей натурального числа <math>n,</math> обычно обозначаемое <math>\tau(n),</math> является [[мультипликативная функция|мультипликативной функцией]], для неё верна [[Асимптотическая оценка|асимптотическая]] [[формула Дирихле]]:
: <math>\sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right).</math>
Здесь <math>\gamma</math> — [[постоянная Эйлера — Маскерони]], а для <math>\theta</math> Дирихле получил значение <math>\frac{1}{2}.</math> Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат <math>\theta=\frac{131}{416}</math> (получен в 2003 году Хаксли). Однако наименьшее значение <math>\theta</math>, при котором эта формула останется верной, неизвестно (доказано, что оно не меньше, чем <math>\frac{1}{4}</math>).<ref>{{книга |автор=А. А. Бухштаб |заглавие=Теория чисел |место=М. |издательство=Просвещение |год=1966 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu |archivedate=2012-01-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120113174306/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu }}</ref><ref>{{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Аналитическая теория чисел|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}}</ref><ref>{{MathWorld|DirichletDivisorProblem|Dirichlet Divisor Problem}}</ref>

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как <math>\frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}</math>, что было обнаружено А. Карацубой<ref name="Arnold">{{книга|автор=В. И Арнольд|заглавие=Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2005|страниц=72|страницы=70}}</ref>. По компьютерным оценкам М. Королёва <math>c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0{,}7138067</math>.

== Обобщения ==

Понятие делимости обобщается на произвольные [[кольцо (алгебра)|кольца]], например, [[целые гауссовы числа]] или [[кольцо многочленов]].

== См. также ==
* [[Кратность]]
* [[Деление (математика)]]
* [[Деление с остатком]]
* [[Признаки делимости]]
* [[Модульная арифметика]]
* [[Конгруэнтность (алгебра)]]
* [[Сравнение по модулю]]
* [[Кольцо (математика)]]
* [[Факторизация]]

== Ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=SqJG-5qiaJ0&feature=channel_video_title Видео о делимости]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Виноградов И. М.'' [http://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Основы теории чисел.] М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
* {{книга |ref=Воробьев |год=1988 |автор=Воробьев Н. Н. |заглавие=Признаки делимости |ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a39.htm |серия=[[Популярные лекции по математике]] |том=38 |издание=4-е изд |место=М. |издательство=Наука |страниц=96 |isbn=5-02-013731-6 }}
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |ссылка = https://archive.org/details/libgen_00069640 |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Делимость |страницы = [https://archive.org/details/libgen_00069640/page/n95 95]}}

{{Внешние ссылки}}
{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Математические отношения]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Делимость и остатки]]

Делимость - История изменений

imported>Matsievsky: откат правок 37.78.234.5 (обс.) к версии EyeBot