imported>Tosha: убрал повтор

2025-05-23T00:59:53Z

убрал повтор

Новая страница

[[Файл:Group action on equilateral triangle.svg|right|thumb|[[Циклическая группа]] порядка три действует на множестве вершин равностороннего треугольника поворотами вокруг его центра на углы, кратные 120°, циклически переставляя их.]]

'''Де́йствие гру́ппы''' — вообще говоря, гомоморфизм группы в группу преобразований, то есть биекций множества в себя.
Однако чаще всего дополнительно предполагают, что преобразования сохраняют некую дополнительную структуру (например линейную структуру или метрику).{{sfn|''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры, 2011|loc=Глава 10. Группы. § 3. Действия, с. 451—452}}.

В случае, когда множество наделено некоторой [[Математическая структура|дополнительной структурой]], предполагается, что преобразования [[Автоморфизм|сохраняют эту структуру]]. Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата [[теория групп|теории групп]].

Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа [[Движение (математика)|движений]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображённых в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа [[Симметрия|симметрий]] некоторого [[многогранник]]а действует на множествах его [[Вершина (геометрия)|вершин]], [[Ребро (геометрия)|рёбер]] и [[Грань (геометрия)|граней]].

В случае действий на [[топологическое пространство|топологических пространствах]] все отображения предполагаются [[гомеоморфизм|гомеоморфизмами]]. Такие действия часто называются ''непрерывными''.

Действия групп на [[векторное пространство|векторных пространствах]] называются их [[Представление группы|линейными представлениями]]. В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами [[Полная линейная группа|полной линейной группы]] <math>{\rm GL}_n(K)</math>, то есть группы обратимых матриц размера <math>n\times n</math> над некоторым полем <math>K</math>.

== Определения ==

=== Действие слева ===
Говорят, что [[группа (математика)|группа]] <math>G</math> ''действует слева'' на множестве <math>M</math>, если задан [[гомоморфизм групп|гомоморфизм]] <math>\Phi\colon G\to S(M)</math> из группы <math>G</math> в [[симметрическая группа|симметрическую группу]] <math>S(M)</math> множества <math>M</math>.
Для краткости <math>(\Phi(g))(m)</math> часто записывают как <math>g(m)</math>, <math>g\cdot m</math>, <math>g{.}m</math> или <math>gm</math>.
Элементы группы <math>G</math> называются в этом случае ''преобразованиями'', а сама группа <math>G</math> — ''группой преобразований'' множества <math>M</math>. Тот факт, что сопоставление <math>\Phi</math> является гомоморфизмом, означает то, что произведению элементов в группе соответствует [[Композиция функций|композиция]] преобразований, а [[Нейтральный элемент|нейтральному элементу]] группы соответствует [[Тождественное отображение|тождественное преобразование]].

Другими словами, группа <math>(G, \ast)</math> действует слева на множестве <math>M</math>, если задано такое отображение <math>G\times M\to M</math>,
при котором образ пары <math>(g,m)</math> обозначается <math>g(m)</math>, что:
# <math>(g\ast h)(m)=g(h(m))</math> для всех <math>g,h\in G</math> и <math>m\in M</math>;
# <math>e(m)=m</math>, где <math>e</math> — нейтральный элемент группы <math>G</math>.

=== Действие справа ===
Аналогично, правое действие группы <math>G</math> на <math>M</math> задаётся таким отображением <math>M\times G\to M</math>, при котором образ пары <math>(m,g)</math> обозначается <math>(m)g</math>, что:
# <math>(m)(g\ast h)=((m)g)h</math>;
# <math>(m)e=m</math>.
Другими словами, правое действие группы <math>G</math> на <math>M</math> задаётся гомоморфизмом <math>\rho: G^{op} \to S(M)</math>, где <math>G^{op}</math> — [[инверсная группа]] группы <math>G</math>. Или, что то же самое, левым действием группы <math>G^{op}</math> на <math>M</math>.

Разница между левыми и правыми действиями состоит в порядке, в котором произведение <math>gh</math> действует на данном элементе. В левом действии сначала действует <math>h</math>, затем <math>g</math>. А в правом действии сначала действует <math>g</math>, затем <math>h</math>.

Благодаря формуле <math>(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}</math>, отображение <math>g \mapsto g^{-1}</math> осуществляет изоморфизм между инверсной группой и исходной, который позволяет, путём взятия композиции с ним, построить взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями группы.

Таким образом, для установления общих свойств действий групп достаточно рассматривать только левые действия.

== Типы действий ==
* ''Свободное'', если для любых различных <math>g,\;h\in G</math> и любого <math>m\in M</math> выполняется <math>gm\ne hm</math>.
* ''Транзитивное'', если для любых <math>m,\;n\in M</math> существует <math>g\in G</math> такой, что <math>gm=n</math>. Другими словами, действие транзитивно, если <math>Gm=M</math> для любого элемента <math>m\in M</math>.
** ''Примитивное'' действие транзитивно и без собственных инвариантных подмножеств.
* ''Эффективное'', если для любых двух элементов <math>g\ne h</math> в <math>G</math> существует <math>m\in M</math> такой, что <math>gm\ne hm</math>.
* ''Вполне разрывное'', если для любого компактного множества <math>K</math> множество всех <math> g \in G</math>, для которых пересечение <math>K \cap gK</math> непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: [[топологическая группа|топологических групп]] и [[группа Ли|групп Ли]]. Действие <math>\rho: G \to \mathrm{X}</math> топологической группы на топологическом пространстве называют ''непрерывным'', если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется ''гладкое действие'' группы Ли на гладком многообразии.
* Непрерывное действие группы на пространстве ''жёстко'' (или ''квазианалитично''), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
** Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
* Непрерывное действие группы называется ''кокомпактным'', если факторпространство по этому действию компактен.

== Орбиты ==
Подмножество
: <math>Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M</math>
называется ''орбитой'' элемента <math>m\in M</math> (иногда обозначается как <math>\mathrm{Orb}(m)</math>).

Действие группы <math>G</math> на множестве <math>M</math> определяет на нём [[отношение эквивалентности]]
: <math>\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).</math>
При этом [[класс эквивалентности|классами эквивалентности]] являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно <math>k</math>, то
: <math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,</math>
где <math>m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M</math> попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия <math>k=1</math>.

=== Стабилизаторы ===
Подмножество
: <math>G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G</math>
является [[подгруппа|подгруппой]] группы <math>G</math> и называется '''''стабилизатором''''', или '''''стационарной подгруппой''''' элемента <math>m\in M</math> (иногда обозначается как <math>\mathrm{Stab}(m)</math>).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если <math>n\,\sim_{_G}\,m</math>, то найдётся такой элемент <math>g\in G</math>, что
: <math>G_m=gG_ng^{-1}.</math>

=== Количество элементов в орбите ===
: <math>|Gm|=[G:G_m]</math>, <math>G_m</math> — стабилизатор элемента <math>m</math> и <math>[G:G_m]</math> — [[индекс подгруппы]] <math>G_m\subset G</math>, в случае [[Конечная группа|конечных групп]] равен <math>\frac{|G|}{|G_m|}</math>.
: Размерность орбиты можно вычислить так:
: <math>\dim |Gm| = \dim |G| - \dim |G_m|</math>, где
<math>\dim|Gm|</math> размерность отдельной орбиты,
: <math>\dim|G_m|</math> размерность стабилизатора, <math>\dim|G|</math> размерность группы Ли.
Если <math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k</math>, то
: <math>|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]</math> — ''формула разложения на орбиты''.
Эта формула также влечёт следующие тождества:
# <math>\forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;</math>
# <math>\sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;</math>
# [[лемма Бёрнсайда|лемму Бёрнсайда]].

== Примеры действий ==

=== Действия на себе ===
==== Слева ====
Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае <math>M=G</math>, и гомоморфизм <math>\Phi:G\to S(G)</math> задан как <math>(\Phi(g))(h)=gh</math>.

==== Справа ====
Аналогично определяется действие на себе справа: <math>(\Phi(g))(h)=hg^{-1}</math>.

==== Слева и справа ====
Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения <math>G\times G</math> на <math>M=G</math> с гомоморфизмом <math>\Phi:G\times G\to S(G)</math>, заданным как <math>(\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}</math>.

==== Сопряжениями ====
Пусть <math>M=G</math>, и гомоморфизм <math>\Phi:G\to S(G)</math> задан как <math>(\Phi(g))(h)=ghg^{-1}</math>. При этом для каждого элемента <math>h\in G</math> стабилизатор <math>G_h</math> совпадает с [[централизатор]]ом <math>C(h)</math>:
: <math>G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).</math>
Например, для элемента <math>h</math> из [[центр группы|центра группы]] <math>G</math> (то есть <math>h\in Z(G)</math>) имеем <math>C(h)=G</math> и <math>G_h=G</math>.

== Вариации и обобщения ==
* [[Псевдогруппа преобразований]]

== См. также ==
* [[Представление группы]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры, 2011|3=
''[[Винберг, Эрнест Борисович|Винберг Э. Б.]]'' Курс алгебры. Новое издание, перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2011. 590 с., ил. ISBN 978-5-94057-685-3.
}}
* {{книга|автор = Кострикин, А. И.|заглавие = Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры|издание = 3-е изд|место = {{М.}}|издательство = ФИЗМАТЛИТ|год = 2004|страниц = 272|isbn = 5-9221-0489-6}}.

[[Категория:Теория групп]]

Действие группы - История изменений

imported>Tosha: убрал повтор